数学（文）卷·2019届湖南省衡阳市八中高二（实验班）上学期第一次月考（2017-09） 12页

衡阳八中2016年下期高二年级第一次月考试卷 数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第一次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．若x≠0，则x+≥2‎ B．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1‎ C．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件 D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0‎ ‎2.“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.如图所示程序框图，输出结果是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎4.齐王与田忌赛马，每人各有三匹马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，共进行三场比赛，每次各派一匹马进行比赛，马不能重复使用，三场比赛全部比完后胜利场次多者为胜，则田忌获胜的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知命题p：∃x0∈R，使log2x0+x0=2017成立，命题q：∀a∈（﹣∞，0 ），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．¬p∧¬q ‎6.已知在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点．在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对酒驾的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员216人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，24，43．则这四社区驾驶员的总人数N为（　　）‎ A．2160 B．1860 C．1800 D．1440‎ ‎8.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：‎ ‎ 广告费x ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 销售额y ‎29‎ ‎41‎ ‎50‎ ‎ 59‎ ‎ 71‎ 由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（　　）‎ A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2‎ ‎9.若过椭圆+=1的上顶点与右焦点的直线l，则该椭圆的左焦点到直线l的距离为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎10.椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣2‎ ‎11.设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.椭圆x2+‎ ‎=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（　　）‎ A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知命题“∀x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，则a的取值范围是　 　．‎ ‎14.设，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零点，则a的取值范围为　　．‎ ‎15.正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径，过AC作外接球截面，当截面圆最小时，其半径为　　．‎ ‎16.已知△ABC的顶点A（﹣3，0）和顶点B（3，0），顶点C在椭圆+=1上，则=　 　．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 命题p：“∀x∈（0，+∞），有9x+≥7a+1，其中常数a＜0”，若命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”‎ 若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．‎ ‎（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；‎ ‎（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ ‎△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上 ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若△ABC为锐角三角形且满足=+，求实数m的最小值．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知数列{an}满足a1=，an=（n≥2）．‎ ‎（1）求证：{﹣1}为等比数列，并求出{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=，求{bn}的前n项和Sn．‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 设椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．‎ ‎（Ⅰ）求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ 衡阳八中2017年下期高二年级文科实验班第一次月考数学参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B D C C C C C B C B ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.3‎ ‎17.∵a＜0，若p为真命题，则（9x+）min≥7a+1，‎ 又∵9x+≥2=|6a|=﹣6a，‎ ‎∴﹣6a≥7a+1，‎ ‎∴a≤﹣，（3分）‎ 若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，‎ ‎∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，‎ 即a≥1或a≤﹣2，（5分）‎ 若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p和命题q一真一假 ‎∴当p真q假时，则，‎ ‎∴﹣2＜a≤﹣，（7分）‎ 当p假q真时，则，‎ ‎∴a≥1，（9分）‎ 综上，符合条件的a的取值范围为（﹣2，﹣]∪[1，+∞）．（10分）‎ ‎18.‎ ‎（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，‎ 解得x=0.004，（2分）‎ ‎∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，‎ 而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，（4分）‎ 故甲乙两校的合格率相同．（6分）‎ ‎（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，‎ 则随机抽取2名学生的基本事件有：‎ ‎{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，‎ ‎{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，（9分）‎ 其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，（11分）‎ ‎∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．（12分）‎ ‎19.‎ ‎（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由，∴BD⊥AC．（2分）‎ 再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．（4分）‎ 而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．（6分）‎ ‎（Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，‎ ‎∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．‎ ‎△BCD的面积S△BCD=BC•CD•sin∠BCD==．（9分）‎ ‎∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣=×‎ ‎==．（12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）由题得a（sinA﹣sinB）+bsinB=csinC，‎ 由正弦定理得a（a﹣b）+b2=c2，即a2+b2﹣c2=ab．‎ ‎∴余弦定理得cosC==，‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴C=．（4分）‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴=+===，（7分）‎ 即mcosC=，有m===，（9分）‎ ‎∵0＜A＜，﹣＜2A﹣＜，‎ ‎∴﹣＜sin（2A﹣）≤1，‎ ‎∴sin（2A﹣）+≤，‎ ‎∴mmin==2．（12分）‎ ‎21.（1）∵数列{an}满足a1=，an=（n≥2），‎ ‎∴=，n≥2‎ ‎∴，n≥2，（3分）‎ 又，‎ ‎∴{﹣1}为首项为1，公比为2的等比数列，（5分）‎ ‎∴，，‎ ‎∴．（6分）‎ ‎（2）∵bn===（2n﹣1）（2n﹣1+1）=（2n﹣1）•2n﹣1+2n﹣1，（8分）‎ ‎∴{bn}的前n项和：‎ Sn=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+2（1+2+3+…+n）﹣n ‎=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+2×﹣n ‎=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+n2，①‎ ‎2Sn=2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n+2n2，②‎ ‎②﹣①，得Sn=﹣1﹣（22+23+…+2n）+（2n﹣1）•2n+n2‎ ‎=﹣1﹣+（2n﹣1）•2n+n2‎ ‎=（2n﹣3）•2n+3+n2．‎ ‎∴{bn}的前n项和Sn=（2n﹣3）•2n+3+n2．（12分）‎ ‎22.（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，‎ ‎△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…（2分）‎ ‎∴依题意知，即…（3分）‎ ‎∴C的离心率…（4分）‎ ‎（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，‎ 代入椭圆方程得…‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（6分）‎ 设M（x0，y0），则①…（7分）‎ 由得…（8分）‎ 代入①得…（9分）‎ 因为，，‎ 所以②…（10分）‎ 而…（11分）‎ 从而②式不成立．‎ 故不存在点M，使成立…（12分）‎