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- 2021-06-23 发布
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第 1 讲 不等关系与不等式
一、知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法{a－b > 0⇔a > b
a－b＝0⇔a＝b（a，b ∈ R）
a－b < 0⇔a < b
.
(2)作商法{a
b > 1⇔a > b
a
b＝1⇔a＝b（a ∈ R，b > 0）
a
b < 1⇔a < b
.
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ⇒
可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔
Error!⇒ac>bc
对乘性
Error!⇒acb＋d ⇒
同向同正可乘
性
Error!⇒ac>bd ⇒
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b 同为正数
可开方性 a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)
常用结论
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒1
a<1
b；
②a<0b>0，0b
d；
④0b>0，m>0，则
①b
ab－m
a－m(b－m>0)；
②a
b>a＋m
b＋m；a
b0)．
二、教材衍化
1．若 a，b 都是实数，则“ a－ b>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 A. a－ b>0⇒ a> b⇒a>b⇒a2>b2，
但由 a2－b2>0⇒/
a－ b>0.
2． 1
5－2
______ 1
6－ 5(填“>”“<”或“＝”)．
解析：分母有理化有 1
5－2
＝ 5＋2， 1
6－ 5
＝ 6＋ 5，显然 5＋2< 6＋ 5，所以 1
5－2
< 1
6－ 5.
答案：<
3．若 0b，a＝b，a1，则 a>b.( )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)a>b>0，c>d>0⇒a
d>b
c.( )
(6)若 ab>0，则 a>b⇔1
a<1
b.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
二、易错纠偏
常见误区|Ｋ (1)乱用不等式的相乘性致错；
(2)命题的必要性出错；
(3)求范围乱用不等式的加法原理致错．
1．若 a>b>0，c0 B．a
c－b
d<0
C.a
d>b
c D．a
dac，
又因为 cd>0，所以bd
cd>ac
cd，即b
c>a
d.
2．设 a，b∈R，则“a>2 且 b>1”是“a＋b>3 且 ab>2”的________条件(填“充分不
必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．
解析：若 a>2 且 b>1，则由不等式的同向可加性可得 a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向
同正可乘性可得 ab>2×1＝2.即“a>2 且 b>1”是“a＋b>3 且 ab>2”的充分条件；反之，若
“a＋b>3 且 ab>2”，则“a>2 且 b>1”不一定成立，如 a＝6，b＝1
2.所以“a>2 且 b>1”是“a
＋b>3 且 ab>2”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．若－π
2<α<β<π
2，则 α－β 的取值范围是________．
解析：由－π
2<α<π
2，－π
2<－β<π
2，α<β，
得－π<α－β<0.
答案：(－π，0)
比较两个数(式)的大小(自主练透)
1． 已知 a1，a2∈(0，1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
解析：选 B.M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，
又因为 a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，
所以 a1－1<0，a2－1<0.
所以(a1－1)(a2－1)>0，
即 M－N>0，所以 M>N.
2．设 a，b∈[0，＋∞)，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB
解析：选 B.由题意得，B2－A2＝－2 ab≤0，且 A≥0，B≥0，可得 A≥B.
3．(一题多解)若 a＝ln 3
3 ，b＝ln 4
4 ，c＝ln 5
5 ，则( )
A．ab；
b
c＝5ln 4
4ln 5＝log6251 024>1.
所以 b>c.即 ce 时，函数 f(x)是减少的．
因为 e<3<4<5，
所以 f(3)>f(4)>f(5)，即 cb 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A.因为 c>d，所以 c－d>0.又 a>b，所以两边同时乘以(c－d)，得 a(c－d)>b(c－
d)，即 ac＋bd>bc＋ad.若 ac＋bd>bc＋ad，则 a(c－d)>b(c－d)，也可能 ab
且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．
2．已知 a0，b 的符号不定，对于 b>a，两
边同时乘以正数 c，不等号方向不变．
3．若1
a<1
b<0，则下列不等式①a＋b|b|；③a0，所以 a＋b0>b>－a，cbc；②a
d＋b
c<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d
－c)中，成立的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 C.因为 a>0>b，c0，
所以 ad0>b>－a，
所以 a>－b>0，
因为 c－d>0，
所以 a(－c)>(－b)(－d)，所以 ac＋bd<0，
所以a
d＋b
c＝ac＋bd
cd <0，故②正确．
因为 c－d，
因为 a>b，所以 a＋(－c)>b＋(－d)，
a－c>b－d，故③正确．
因为 a>b，d－c>0，所以 a(d－c)>b(d－c)，
故④正确，故选 C.
解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法
排除错误答案．
[提醒] 利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
不等式性质的应用(典例迁移)
已知－1a2b
C. 1
ab2< 1
a2b D．b
ab2，故 A 错；若 0a
b，故 D 错；若 ab<0，即
a<0，b>0，则 a2b>ab2，故 B 错；故 C 正确．所以选 C.
2．(一题多解)已知 a>0>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2<－ab B．|a|<|b|
C.1
a>1
b D．(1
2 )a
>(1
2 )b
解析：选 C.法一：当 a＝1，b＝－1 时，满足 a>0>b，此时 a2＝－ab，|a|＝|b|，(1
2 )a
<(1
2 )b
，所以 A，B，D 不一定成立．因为 a>0>b，所以 b－a<0，ab<0，所以1
a－1
b＝b－a
ab
>0，所以1
a>1
b一定成立，故选 C.
法二：因为 a>0>b，所以1
a>0>1
b，所以1
a>1
b一定成立，故选 C.
3．(一题多解)若 m<0，n>0 且 m＋n<0，则下列不等式中成立的是 ( )
A．－n0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出1
a<1
b成立的有
( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
解析：选 C.由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出1
a<1
b.由 a>0>b 得1
a>1
b，故
能推出1
a<1
b成立的条件有 3 个．
5．下列四个命题中，正确命题的个数为( )
①若 a>|b|，则 a2>b2；②若 a>b，c>d，则 a－c>b－d；
③若 a>b，c>d，则 ac>bd；④若 a>b>0，则c
a>c
b.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选 C.易知①正确；②错误，如 3>2，－1>－3，而 3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③
错误，如 3>1，－2>－3，而 3×(－2)<1×(－3)；④若 a>b>0，则1
a<1
b，当 c>0 时，c
a2 且 y>2 B．x<2 且 y<2
C．02 且 0 0，
x＋y > 0，则{x > 0，
y > 0，
由 2x＋2y－4－xy＝(x－2)·(2－y)<0，
得{x > 2，
y > 2 或{0 < x < 2，
0 < y < 2，
又 xy<4，可得{0 < x < 2，
0 < y < 2.
7．若 a10，
即 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
8．设 a>b，有下列不等式① a
c2>b
c2；②1
a<1
b；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，则一定成立的有
________．(填正确的序号)
解析：对于①，1
c2>0，故①成立；
对于②，a>0，b<0 时不成立；
对于③，取 a＝1，b＝－2 时不成立；
对于④，|c|≥0，故④成立．
答案：①④
9．已知实数 a∈(1，3)，b∈(1
8，
1
4 )，则a
b的取值范围是________．
解析：依题意可得 4<1
b<8，又 1y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤a
y>b
x这
五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
解析：令 x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2.
符合题设条件 x>y，a>b.
因为 a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5.
所以 a－x＝b－y，因此①不成立．
因为 ax＝－6，by＝－6，所以 ax＝by，因此③不成立．
因为a
y＝ 3
－3＝－1，b
x＝ 2
－2＝－1，
所以a
y＝b
x，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立．
答案：②④
[综合题组练]
1．若 6b>0，且 ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋1
b< b
2ab＋c>c＋a.由 a＋b>b＋c 可得 a>c；由 b＋c>c
＋a 可得 b>a，于是有 c b， a⊕b＝{b，a ≤ b，
a，a > b.
若 m⊗n≥2，p⊕q≤2，则( )
A．mn≥4 且 p＋q≤4 B．m＋n≥4 且 pq≤4
C．mn≤4 且 p＋q≥4 D．m＋n≤4 且 pq≤4
解析：选 A.结合定义及 m⊗n≥2 可得{m ≥ 2，
m ≤ n 或{n ≥ 2，
m > n，
即 n≥m≥2 或 m>n≥2，所以 mn≥4；结合定义及 p⊕q≤2，可得{p ≤ 2，
p > q 或{q ≤ 2，
p ≤ q，
即 qa>ab，则实数 b 的取值范围是________．
解析：因为 ab2>a>ab，所以 a≠0，
当 a>0 时，b2>1>b，
即{b2 > 1，
b < 1， 解得 b<－1；
当 a<0 时，b2<1 1 无解．
综上可得 b<－1.
答案：(－∞，－1)
6 ． 已 知 △ABC 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c 且 满 足 b ＋ c≤3a ， 则 c
a的 取 值 范 围 为
________．
解析：由已知及三角形的三边关系得{a < b＋c ≤ 3a，
a＋b > c，
a＋c > b，
所以{1 < b
a＋c
a ≤ 3，
1＋b
a > c
a，
1＋c
a > b
a，
所以{1 < b
a＋c
a ≤ 3，
－1 < c
a－b
a < 1，
两式相加得，0<2×c
a<4，所以c
a的取值范围为(0，2)．
答案：(0，2)
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