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- 2021-06-23 发布
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第2章 2.2.2 第1课时
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.一个顶点的坐标为(0,2),焦距的一半为3的椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析: 由椭圆中a>b,a>c=3,且一个顶点坐标为(0,2)知b=2,b2=4,且椭圆焦点在x轴上,a2=b2+c2=13.故所求椭圆的标准方程为+=1.故选D.
答案: D
2.椭圆+=1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A.8,2 B.5,4
C.9,1 D.5,1
解析: 因为a=5,c=4,所以最大距离为a+c=9,最小距离为a-c=1.
答案: C
3.已知F1、F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆离心率e=,则椭圆的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析: 由题意知4a=16,即a=4,
又∵e=,∴c=2,
∴b2=a2-c2=16-12=4,
∴椭圆的标准方程为+=1.
答案: B
4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析: 依题意,△BF1F2是正三角形,
∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,
∴acos 60°=c,∴=,
即椭圆的离心率e=,故选A.
答案: A
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为______________.
解析: 依题意设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12,
∴2a=12,即a=6.
∵椭圆的离心率为,
∴=,
∴=,
∴b2=9,
∴椭圆G的方程为+=1.
答案: +=1
6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________.
解析: 设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c,
由题意可得2a+2c=4b,a+c=2b,又b=,
所以a+c=2,
整理得5e2+2e-3=0,e=或e=-1(舍去).
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=.过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为,求椭圆的标准方程.
解析: e===,
∴=,
∴a2=3b2,即a=b.
过A(0,-b),B(a,0)的直线为-=1.
把a=b代入,即x-y-b=0,
又由点到直线的距离公式得=,
解得b=1,∴a=,
∴所求方程为+y2=1.
8.如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.
解析: 方法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c,则焦点为F1(-c,0),F2(c,0).M点的坐标为,
则△MF1F2为直角三角形.
在Rt△MF1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,
即4c2+b2=|MF1|2.
而|MF1|+|MF2|=+b=2a,
整理得3c2=3a2-2ab.
又c2=a2-b2,所以3b=2a.
所以=.
∴e2===1-=,
∴e=.
方法二:设椭圆方程为+=1(a>b>0),
则M,代入椭圆方程,得+=1,
所以=,
所以=,即e=.
尖子生题库☆☆☆
9.(10分)设P(x,y)是椭圆+=1上的点且P的纵坐标y≠0,点A(-5,0)、B(5,0),试判断kPA·kPB是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
解析: 因为点P的纵坐标y≠0,所以x≠±5.设P(x,y).
所以kPA=,kPB=.
所以kPA·kPB=·=.
因为点P在椭圆+=1上,
所以y2=16×=16×.
把y2=16×代入kPA·kPB=,得
kPA·kPB==-.
所以kPA·kPB为定值,这个定值是-.