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  • 2021-06-23 发布

2012高中数学 2_2_2第1课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第2章 ‎2.2.2‎ 第1课时 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.一个顶点的坐标为(0,2),焦距的一半为3的椭圆的标准方程为(  )‎ A.+=1         B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 解析: 由椭圆中a>b,a>c=3,且一个顶点坐标为(0,2)知b=2,b2=4,且椭圆焦点在x轴上,a2=b2+c2=13.故所求椭圆的标准方程为+=1.故选D.‎ 答案: D ‎2.椭圆+=1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(  )‎ A.8,2 B.5,4‎ C.9,1 D.5,1‎ 解析: 因为a=5,c=4,所以最大距离为a+c=9,最小距离为a-c=1.‎ 答案: C ‎3.已知F1、F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆离心率e=,则椭圆的方程是(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 解析: 由题意知‎4a=16,即a=4,‎ 又∵e=,∴c=2,‎ ‎∴b2=a2-c2=16-12=4,‎ ‎∴椭圆的标准方程为+=1.‎ 答案: B ‎4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析: 依题意,△BF‎1F2是正三角形,‎ ‎∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,‎ ‎∴acos 60°=c,∴=,‎ 即椭圆的离心率e=,故选A.‎ 答案: A 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为______________.‎ 解析: 依题意设椭圆的方程为+=1(a>b>0),‎ ‎∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12,‎ ‎∴‎2a=12,即a=6.‎ ‎∵椭圆的离心率为,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴b2=9,‎ ‎∴椭圆G的方程为+=1.‎ 答案: +=1‎ ‎6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________.‎ 解析: 设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为‎2a,2b,‎2c,‎ 由题意可得‎2a+‎2c=4b,a+c=2b,又b=,‎ 所以a+c=2,‎ 整理得5e2+2e-3=0,e=或e=-1(舍去).‎ 答案:  三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=.过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为,求椭圆的标准方程.‎ 解析: e===,‎ ‎∴=,‎ ‎∴a2=3b2,即a=b.‎ 过A(0,-b),B(a,0)的直线为-=1.‎ 把a=b代入,即x-y-b=0,‎ 又由点到直线的距离公式得=,‎ 解得b=1,∴a=,‎ ‎∴所求方程为+y2=1.‎ ‎8.如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.‎ 解析: 方法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c,则焦点为F1(-c,0),F2(c,0).M点的坐标为,‎ 则△MF‎1F2为直角三角形.‎ 在Rt△MF‎1F2中,|F‎1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,‎ 即‎4c2+b2=|MF1|2.‎ 而|MF1|+|MF2|=+b=‎2a,‎ 整理得‎3c2=‎3a2-2ab.‎ 又c2=a2-b2,所以3b=‎2a.‎ 所以=.‎ ‎∴e2===1-=,‎ ‎∴e=.‎ 方法二:设椭圆方程为+=1(a>b>0),‎ 则M,代入椭圆方程,得+=1,‎ 所以=,‎ 所以=,即e=.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)设P(x,y)是椭圆+=1上的点且P的纵坐标y≠0,点A(-5,0)、B(5,0),试判断kPA·kPB是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.‎ 解析: 因为点P的纵坐标y≠0,所以x≠±5.设P(x,y).‎ 所以kPA=,kPB=.‎ 所以kPA·kPB=·=.‎ 因为点P在椭圆+=1上,‎ 所以y2=16×=16×.‎ 把y2=16×代入kPA·kPB=,得 kPA·kPB==-.‎ 所以kPA·kPB为定值,这个定值是-.‎ ‎ ‎

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