湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学（理）（四）试卷 11页

湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学（理）（四）试卷 理科数学 测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知全集是不大于5的自然数集，，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数在复平面内对应的点分别为，则复数的共轭复数的虚部为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为 （ ）‎ A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 ‎4．执行如图所示程序框图输出的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知函数的定义域为，满足：①对任意，都有，②对任意且，都有，则函数叫“成功函数”，下列函数是“成功函数”的是 （ ）‎ A． ‎ B．‎ C． D．‎ ‎6．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:‎ ‎0.04‎ ‎1‎ ‎4.84‎ ‎10.24‎ ‎1.1‎ ‎2.1‎ ‎2.3‎ ‎3.3‎ ‎4.2‎ 若依据表中数据画出散点图，则样本点都在曲线附近波动.但由于某种原因表中一个值被污损，将方程作为回归方程，则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为 （ ）‎ A． B．1.69 C．1.96 D．4.32‎ ‎7．已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的最大值为 （ ）‎ A．40 B．9 C．8 D．‎ ‎8．已知是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是线段的中点，是坐标原点，若周长为（为双曲线的半焦距），，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在中，曲线上动点满足，,，若曲线与直线围成封闭区域的面积为，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若（）恰有1个零点，则实数的取值范围为 （ ）‎ A． B． C D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．已知展开式的各项系数和为128，则展开式中含项的系数为 .‎ ‎14．在梯形中，,,,，,，则向量= .‎ ‎15．已知函数图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为，则在区间的值域为 .‎ ‎16．已知直线与抛物线自下到上交于，是抛物线准线与直线的交点，是抛物线的焦点，若，则以为直径的圆的方程为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）已知数列前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18．（12分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.‎ ‎（1）求的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；‎ ‎（2）已知抽取的名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人，现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为，求的分布列与数学期望.‎ ‎19．（12分）在多面体中，为菱形，，为正三角形.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面平面，求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎20．（12分）已知是椭圆的左、右焦点，离心率为，是平面内两点，满足，线段的中点在椭圆上，周长为12.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若与圆相切的直线与椭圆交于，求（其中为坐标原点)的取值范围.‎ ‎21．（12分）已知.‎ ‎（1）若函数在点的切线与圆相切，求实数的值.‎ ‎（2）已知，当时，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过点，倾斜角为.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线的参数方程的标准形式；‎ ‎（2）已知直线交曲线于两点，求.‎ ‎23．（10分）选修4—5不等式选讲 ‎（1）已知函数，当时，恒成立，求实数的最小值.‎ ‎（2）已知正实数满足，，求的最小值.‎ 理科数学答案与解析 ‎1．【答案】B【解析】由题可知，,，，则，故选B. ‎ ‎2．【答案】B【解析】由题知，，所以，其共轭复数为，故虚部为，故选B.‎ ‎3．【答案】B【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为，是其前项和，则尺，所以尺，由题知，所以，所以公差，所以尺，故选B.‎ ‎4．【答案】D【解析】由程序框图知，输出 ‎，故选D.‎ ‎5．【答案】B【解析】由任意，都有知是奇函数，由任意且，都有知是增函数，因为在定义域上是奇函数，但在定义域上不是单增函数，故A错；因为是奇函数，，所以在定义域上是增函数，故B正确；由增性排除C,D.故选B.‎ ‎6．【答案】C【解析】设缺失的数据为，则样本数据如下表所示：‎ ‎0.2‎ ‎1‎ ‎2.2‎ ‎3.2‎ ‎1.1‎ ‎2.1‎ ‎2.3‎ ‎3.3‎ ‎4.2‎ 其回归直线方程为，由表中数据额可得，，由线性回归方程得，，即，解得.故选C.‎ ‎7．【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，设表示可行域内点与点距离的平方减去1，由题知，过作直线的垂线，由图可知，垂足在线段上，因为点到直线的的距离，所以，故选D.‎ ‎8．【答案】C【解析】连接，因为是线段的中点，由三角形中位线定理知，由双曲线定义知，因为周长为，所以，‎ 解得，在中，‎ 由余弦定理得，‎ 即，整理得，，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.‎ ‎9．【答案】A【解析】由三视图知，该三视图对应的几何体为如图所示的四棱锥和一个底面半径为4高为3的四分之一圆锥组成的组合体，四棱锥可以看成是以两直角边分别为的直角三角形为底面，高为4的棱柱截去一个体积为棱柱体积的棱锥得到的，故该几何体的体积为，故选A.‎ ‎ ‎ ‎ 第9题图 第10题图 第12题图 ‎10．【答案】D【解析】取BC的中点为，分别是正三角形ABC的中心和正方形BCDE的中心，O是该四棱锥外接球的球心，连接，则N在线段AM上，OF⊥平面BCDE，ON⊥平面ABC，OM⊥BC，AM⊥BC，MF⊥BC，所以∠AMF为二面角A—BC—D的平面角，因为平面ABC⊥平面BCD，所以AM⊥MF，又，所以，所以四边形OEMF为矩形，所以，在直角三角形OMB中，球半径，所以外接球的体积为，故选D.‎ ‎11．【答案】A【解析】设，则在直线上，且，，由知，，所以点在直线上，故曲线与直线围成封闭区域就是，由得，，所以，解得，所以，由余弦定理知，‎ ‎，解得，‎ 由正弦定理得，，所以，故选A.‎ A． ‎【答案】B【解析】由恰有1个零点，方程恰有1个解，即方程恰有1个解，即函数的图象与直线在上恰有1个交点，因为，当时，，当时，，所以在区间上都是减函数，在是增函数，当时，取极小值，直线过点，斜率为，显然是函数的图象与直线的一个交点，这两个图象不能有其他交点，作出函数与的图象，由图可知，当时，直线应在函数（）的图象上方，设，‎ 即恒成立，因为,只需为减函数，所以，‎ 即恒成立，设，设，则，‎ ‎，当且仅当，即，即，‎ 即时，，所以，当时，直线与相切，也适合，故满足题意的取值范围为，故选B.‎ ‎13．【答案】【解析】令得，，解得，将看成7个相乘，要得到含项，则这7个因式中2个因式取，余下5个因式中3个取，余下2个因式取2，所以含项的系数为.‎ ‎14．【答案】【解析】由知，，以为原点，以向量分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，设，则，所以，解得，所以，设，所以，所以，因为在上，所以，所以，解得，所以，，所以.‎ ‎15．【答案】【解析】由题知，，，所以，解得，由，，解得，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以在区间的值域为.‎ ‎16．【答案】【解析】因为，所以焦点在直线上，且，过作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线定义知，，所以，所以，即直线的倾斜角为，所以直线方程为，代入整理得，，设，线段的中点坐标为，则，所以，，，所以以为直径的圆的方程为.‎ ‎17．【解析】‎ ‎（1）由题知=，即，‎ 即，（2分）‎ ‎，，‎ 数列是首项为3，公比为3的等比数列，（4分）‎ ‎，；（6分）‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎，（7分）‎ 设， ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得，，‎ ‎，，（11分）‎ ‎.（12分）‎ ‎18．【解析】‎ ‎（1）由频率分布直方图知，成绩在频率为 ‎，‎ 成绩在[50,60)内频数为3，抽取的样本容量，（2分）‎ 参赛人员平均成绩为.（4分）（2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5，‎ 成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4，‎ 的可能取值为0,1,2,3,4，（5分）‎ ‎；，‎ ‎，，‎ ‎.（10分）‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ （11分）‎ ‎.（12分）‎ ‎19．【解析】‎ ‎（1）取的中点为，连接，‎ 为正三角形,，‎ 为菱形，,为正三角形，，,‎ 平面,.（5分）‎ ‎（2）由（1）知，，平面平面，平面，（6分）‎ 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，‎ 直线与平面所成的角，则，‎ 则，（7分）‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，‎ 则,,，（9分）‎ ‎,直线 与平面所成的角的正弦值为.（12分）‎ ‎20．【解析】‎ ‎（1）连接,,，‎ 是线段的中点，是线段的中点，，‎ 由椭圆的定义知，，‎ 周长为，‎ 由离心率为知，，解得，，‎ 椭圆的方程为.（4分）‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线，代入椭圆方程解得，此时，（5分）‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由直线与圆相切知，，，（6分）‎ 将直线方程代入椭圆的方程整理得，‎ ‎，‎ 设，则，，‎ ‎，（8分）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，（11分）‎ 综上所述，的取值范围为.（12分）‎ ‎21．【解析】‎ ‎（1）由题知，，，‎ 在点的切线斜率为，‎ 在点的切线方程为，即，（2分）‎ 由题知，，解得.（4分）‎ ‎（2）设，（5分）‎ 设，，‎ 当时，，，，，‎ 即在上是增函数，，（7分）‎ 当时，，则当时，，‎ 函数在上是增函数，当时，，满足题意，（9分）‎ 当时，，‎ 在上是增函数，趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，‎ 存在上，使，‎ 当时，，函数在是减函数，‎ 当时，，不满足题意，（11分）‎ 综上所述，实数的取值范围为.（12分）‎ ‎22．【解析】‎ ‎（1）由得，，‎ 将代入上式整理得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，（3分）‎ 由题知直线的标准参数方程为（是参数）.（5分）‎ ‎（2）设直线与曲线交点对应的参数分别为，‎ 将直线的标准参数方程为（是参数）代入曲线方程整理得，‎ ‎，，（8分）‎ ‎.（10分）‎ ‎23．【解析】‎ ‎（1），（2分）‎ 在区间上是减函数，在区间是增函数，‎ ‎，在区间上的最大值为8，‎ ‎，实数的最小值为8.（5分）‎ ‎（2），，，‎ ‎，‎ 当且仅当且，即时，取最小值8.‎ 的最小值为8.（10分）‎