2021高考数学一轮复习课后限时集训29平面向量的概念及线性运算理北师大版 7页

课后限时集训29‎ 平面向量的概念及线性运算 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝‎ ‎(　　)‎ A. B. C. D. A　[由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.]‎ ‎2．(2019·兰州模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝‎ ‎(　　)‎ A.－ B.＋ C.－ D.＋ B　[设＝x＋y，由＝－4可得，‎ ＋＝－4－4，‎ 即－－3＝－4x－4y，则解得 即＝＋，故选B.]‎ ‎3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)‎ A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ B　[由于c与d共线反向，则存在实数k使 c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．‎ 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.‎ 由于a，b不共线，所以有 7‎ 整理得2λ2－λ－1＝0，‎ 解得λ＝1或λ＝－.‎ 又因为k＜0，‎ 所以λ＜0，故λ＝－.]‎ ‎4．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝(　　)‎ A．a＋b B．－a－b C．－a＋b D．a－b C　[由△CEF∽△ABF，且E是CD的中点得＝ ‎＝，则＝＝(＋)‎ ‎＝＝－a＋b，故选C.]‎ ‎5．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A.1 B. ‎ C. D. D　[∵＝＋＝＋，‎ ‎∴2＝＋，即＝＋.‎ 故λ＋μ＝＋＝.]‎ ‎6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 7‎ B　[因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.]‎ ‎7.(2019·西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且＝，＝，AC，MN交于点P.若＝λ，则λ的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. D　[∵＝，＝，‎ ‎∴＝λ＝λ(＋)＝λ ‎＝λ＋λ.‎ ‎∵点M，N，P三点共线，‎ ‎∴λ＋λ＝1，则λ＝.故选D.]‎ 二、填空题 ‎8．若＝，＝(λ＋1)，则λ＝________.‎ ‎－　[如图，由＝，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，结合题意可得λ＋1＝－，所以λ＝－.‎ ‎]‎ ‎9．(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．‎ ‎－　[由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.‎ 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，‎ 所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)‎ ‎＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，‎ 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，‎ 又因为e1与e2 不共线，‎ 所以解得k＝－.]‎ 7‎ ‎10．下列命题正确的是________．(填序号)‎ ‎①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；‎ ‎②在△ABC中，＋＋＝0；‎ ‎③只有方向相同或相反的向量是平行向量；‎ ‎④若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线．‎ ‎④　[易知①②③错误．‎ ‎∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．‎ 若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．]‎ ‎1.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ C　[法一：∵与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，∴由＝λ＋μ，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①‎ 由＝λ＋μ，两边同乘得＝λ－，两边平方得＝λ2－λμ＋，②‎ ‎①－②得＝.根据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入＝λ－得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故选C.‎ 法二：建系如图：‎ 由题意可知A(1,0)，C，B，‎ ‎∵＝λ(1,0)＋μ＝.‎ ‎∵∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.]‎ ‎2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)‎ A．3 B．4‎ 7‎ C．5 D．6‎ B　[如图，∵D为AB的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，‎ ‎∴＝－，∴O为CD的中点，‎ 又∵D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.]‎ ‎3．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，则实数m的值为________．‎ 　[由N是OD的中点，得＝＋ ‎＝＋(＋)＝＋，‎ 又因为A，N，E三点共线，‎ 故＝λ，‎ 即m＋＝λ，‎ 又与不共线，‎ 所以解得故实数m＝.]‎ ‎4．在等腰梯形ABCD中， ＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________.‎ 　　[取AB的中点F，连接CF，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.‎ ‎∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，∴λ＝，μ＝.]‎ ‎1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ 7‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 B　[作∠BAC的平分线AD.‎ 因为＝＋λ，‎ 所以＝λ ‎＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，‎ 所以＝·，‎ 所以∥，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心，‎ 故选B.]‎ ‎2．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．‎ 　[＝＋＝＋，‎ ＝－＝－＋，‎ 设＝λ＝－＋λ(0≤λ≤1)，‎ 则＝＋＝＋λ.‎ 因为＝m＋n，‎ 所以m＝1－，n＝λ.‎ 所以＋＝＋＝ 7‎ ‎＝ ‎≥＝.‎ 当且仅当3(λ＋4)＝，‎ 即(λ＋4)2＝时取等号．]‎ 7‎