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  • 2021-06-23 发布

江西省抚州市临川第一中学等2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题

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‎2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试 高三数学试题(理)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若,则( )‎ A. -2 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据共轭复数的性质可知,直接利用复数模的性质即可求解.‎ ‎【详解】因为 所以 ‎,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数模的性质,共轭复数的性质,属于中档题.‎ ‎2.设集合,,若,则的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合的交集运算即求两个集合的公共元素,说明集合没有公共元素,借助于数轴列式计算.‎ ‎【详解】因为,所以,解得或.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力与推理论证能力.‎ ‎3.设,则“”是“”的()‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充分、必要条件的定义即可判断。‎ ‎【详解】,因为,可推出;时,若,则无法推出,所以“”是“”的充分不必要条件,故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。‎ ‎4.若函数的图象上存在与直线垂直的切线,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的图象上存在与直线垂直的切线,即有解,转化为有解即可求出.‎ ‎【详解】因为函数的图象上存在与直线垂直的切线,‎ 所以函数的图象上存在斜率为2的切线,‎ 故有解,‎ 所以有解,‎ 因为的值域为 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义,方程有根的问题,转化思想,属于中档题.‎ ‎5.若,,则下列不等式一定成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案.‎ ‎【详解】A选项,取,不等式不成立;‎ B选项,‎ 故B正确;‎ C选项,取,不等式不成立,‎ D选项,当, ,,当且,,所以,而,所以不等式不成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质,以及与不等式的交汇,属于中档题.‎ ‎6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为 的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金中,.根据这些信息,可得( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求的值,需将角用已知角表示出来,从而考虑用三角恒等变换公式解题.已知角有,正五边形内角,,已知三角函数值有 ‎,所以,从而.‎ ‎【详解】由题可知,且,,‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换,考查解读信息与应用信息的能力.‎ ‎7.若函数,在上的最大值为4,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数的单调性,结合已知条件求解即可.‎ ‎【详解】因为函数,‎ 时,函数为增函数,‎ 时,函数为增函数,‎ 且 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用,函数的单调性以及函数的最值求法,属于中档题.‎ ‎8.将编号为1,2,3,4,5,6六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子,每个盒子放一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,则不同的放法种数是(  )‎ A. 40 B. 60‎ C. 80 D. 100‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解:三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 种,由排列组合的知识可得,不同的放法总数是: 种.‎ 本题选择A选项.‎ ‎9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是7,则判断框内的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依次运行程序框图中的程序可得:‎ 第一次,,满足条件,继续运行;‎ 第二次,,满足条件,继续运行;‎ 第三次,,满足条件,继续运行;‎ 第四次,,满足条件,继续运行;‎ 第五次,,满足条件,继续运行;‎ 第六次,,不满足条件,停止运行,输出7.‎ 故判断框内的取值范围为.选A.‎ ‎10.已知,为椭圆的两个焦点,为椭圆短轴的一个端点,,则椭圆的离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用表示出,解出不等式得出的范围.‎ ‎【详解】由椭圆定义可知:,,‎ 则,‎ 所以,‎ 因为,即,‎ ‎,即.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质,平面向量的数量积运算,属于中档题.‎ ‎11.设曲线与轴、轴、直线围成的封闭图形的面积为,若在上的单调递减,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由定积分可以求出b, 在上单调递减可转化为在 上恒成立即可求解.‎ ‎【详解】由题意,,‎ 所以,‎ 因为在上的单调递减,‎ 所以在上恒成立,‎ 即在上恒成立,‎ 只需,解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积,函数的单调性与导数的关系,不等式的恒成立问题,属于中档题.‎ ‎12.设数列前n项和为,且满足,,用表示不超过x的最大整数,设,数列的前2n项和为,则使成立的最小正整数n是()‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求得数列通项公式以及前项和,利用二项式展开式化简,求得,利用分组求和法求得数列的前2n项和,由此求得使成立的最小正整数的值.‎ ‎【详解】令,得,又,解得,,又,‎ ‎,所以,又,可求得,.所以 ‎,‎ 即,所以,即 ‎,所以,因此,当时,;当时,.使成立的最小正整数n是6.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式及前项和公式,考查分组求和法,考查推理论证能力和创新意识,属于难题.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.展开式中的常数项为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项公式即可求出.‎ ‎【详解】因为,‎ 令,解得,‎ 所以展开式中常数项为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式,属于中档题.‎ ‎14.设是公差不为0的等差数列的前项和,且,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得,利用前n项和公式及通项公式即可求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ ‎,,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n项和公式,属于中档题.‎ ‎15.如图所示是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边长为2,侧视图是一直角三角形,俯视图为一直角梯形,且,则异面直线与所成角的正切值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图画出空间图形的直观图,取AD中点E,连接BE,PE,CE,将CD平移到BE,根据异面直线所成角的定义可知为异面直线PB与CD所成角,在直角三角形中,求出其正切值即可.‎ ‎【详解】作出直观图如图:‎ 取AD中点E,连接BE,PE,CE,‎ 因为CDBE,‎ 根据异面直线所成角的定义可知为异面直线PB与CD所成角,‎ 由条件知,,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角,空间图形的三视图,考查了空间想象能力、运算能力,属于中档题.‎ ‎16.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点是双曲线左支上的一点,若直线与直线平行且的周长为,则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义及三角形的周长可求出,利用直线与直线平行知,结合余弦定理即可求解.‎ ‎【详解】由双曲线定义知,又 解得,‎ 因为直线与直线平行,‎ 所以,故,‎ 由余弦定理得:‎ 即,化简得,‎ 解得或(舍去).‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义,余弦定理,双曲线的离心率,属于难题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.的内角、、所对的边长分别为、、,已知.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,点在线段上,,,求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由正弦定理将条件统一为三角函数,化简即可求解(2),两边平方可转化为关于的方程,求解代入三角形面积公式即可.‎ ‎【详解】(1)∵,‎ 由正弦定理得:,‎ 即,即,‎ 在中,,所以.‎ ‎(2),两边平方得:,‎ 由,,,‎ 得,‎ 可得,‎ 解得:或(舍),‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理,三角恒等变换,向量数量积的性质,三角形面积公式,属于中档题.‎ ‎18.如图,在三棱锥中,平面平面,,,,分别为线段上点,且,,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若与平面所成的角为,求平面与平面所成的锐二面角.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)30°.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ ‎(1)由条件可得为直角三角形,且.故由余弦定理可得 ‎,所以,从而,又由条件可得,故平面.(2)由两两互相垂直可建立空间直角坐标系,结合条件可求得平面的法向量和平面的法向量,根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小.‎ 试题解析:‎ ‎(1)证明:连,由题意知.‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 在中,由余弦定理得 ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又因为,‎ ‎∴‎ 又,‎ 又,,‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)由(1)知两两互相垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 由与平面所成的角为,知,‎ 则 ‎∴‎ 因为 由(1)知 平面,‎ ‎∴ 平面 ‎∴为平面的一个法向量.‎ 设平面的法向量为,‎ 则 ∴,‎ 令,则,‎ ‎∴为平面的一个法向量.‎ ‎∴‎ 故平面与平面的锐二面角的余弦值为,‎ 所以平面与平面的锐二面角为.‎ 点睛:‎ ‎(1)在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时,首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线.若有,则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量,以减少运算量.‎ ‎(2)求二面角的余弦值时,在求得两平面法向量夹角的余弦值后,要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角,然后再求出二面角的余弦值.‎ ‎19.已知椭圆的离心率,一个长轴顶点在直线上,若直线与椭圆交于,两点,为坐标原点,直线的斜率为,直线的斜率为.‎ ‎(1)求该椭圆的方程.‎ ‎(2)若,试问的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)的面积为定值1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程(2)设,,当直线的斜率存在时,设其方程为,求,点到直线的距离,写出三角形面积,化简即可求证.‎ ‎【详解】由,又由于,一个长轴顶点在直线上,‎ 可得:,,.‎ ‎(1)故此椭圆的方程为.‎ ‎(2)设,,当直线的斜率存在时,设其方程为,‎ 联立椭圆的方程得:,‎ 由,可得,‎ 则,,‎ ‎,‎ 又点到直线的距离,‎ ‎,‎ 由于,‎ 可得:,‎ 故,‎ 当直线的斜率不存在时,可算得:,‎ 故的面积为定值1.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,三角形的面积公式,考查了学生的运算能力及推理能力,属于难题.‎ ‎20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中,名人园与梦岛被称为抚州的两张名片,为合理配置旅游资源,现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分,若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为,且游客之间的选择意愿相互独立.‎ ‎(1)从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量,求的分布列与数学期望;‎ ‎(2)若从游客中随机抽取人,记总分恰为分的概率为,求数列的前6项和;‎ ‎(3)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中,记已调查过的累计得分恰为分的概率为,探讨与之间的关系,并求数列的通项公式.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2);(3);.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据n次独立重复试验模型可求解(2)总分恰为的概率,求前6项和即可(3)已调查过的累计得分恰为 分的概率为,得不到分的情况只有先得分,再得2分,概率为,可得递推关系,构造等比数列求解即可.‎ ‎【详解】(1)可能取值为3,4,5,6‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故其分布列为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎.‎ ‎(2)总分恰为的概率,‎ 故.‎ ‎(3)已调查过的累计得分恰为 分的概率为,得不到分的情况只有先得分,再得2分,概率为,而,‎ 故,即,‎ 可得,,‎ 所以 可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了n次独立重复试验,分布列、期望,等比数列求和,由递推关系式求通项公式,属于难题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性.‎ ‎(2)试问是否存在,使得对恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) 存在;的取值范围为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1),,‎ 所以得,所以通过对与的大小关系进行分类讨论得的单调性;‎ ‎(2)假设存在满足题意的的值,由题意需,所以由(1)的单调性求即可;‎ 又因为对恒成立,所以可以考虑从区间内任取一个值代入,解出的取值范围,从而将的范围缩小减少讨论.‎ ‎【详解】解:(1),.‎ 当时,,在上单调递增 当时,,在上单调递减,在上单调递增 ‎ 当时,在上单调递减,在,上单调递增; ‎ 当时,在上单调递减,在,上单调递增. ‎ ‎(2)假设存在,使得对恒成立.‎ 则,即,‎ 设,则存在,使得, ‎ 因为,所以在上单调递增,‎ 因为,所以时即. ‎ 又因为对恒成立时,需,‎ 所以由(1)得:‎ 当时,在上单调递增,所以,‎ 且成立,从而满足题意. ‎ 当时,在上单调递减,在,上单调递增,‎ 所以 所以(*)‎ 设,,则在上单调递增,‎ 因为, ‎ 所以的零点小于2,从而不等式组(*)的解集为,‎ 所以即.‎ 综上,存在,使得对恒成立,且的取值范围为.‎ ‎【点睛】求可导函数的单调区间的一般步骤是:‎ ‎(1)求定义域;‎ ‎(2)求;‎ ‎(3)讨论的零点是否存在;若的零点有多个,需讨论它们的大小关系及是否在定义域内;‎ ‎(4)判断在每个区间内的正负号,得的单调区间.‎ 当在区间上恒成立时,需.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系(为极径,为极角).‎ ‎(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若射线与曲线交于点,射线与曲线交于点,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)消去参数,求得曲线的直角方程为,再根据图象的变换公式,即可求解曲线的方程,进而得到其极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)将代入,根据极坐标中极经的几何意义,即可求解。‎ ‎【详解】(Ⅰ)由曲线的参数方程为 (为参数),‎ 得,所以曲线的直角方程为;‎ 曲线经过伸缩变换得到的参数方程为,得,‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)将代入 得,即,‎ 同理,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及图象的变换和极坐标的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。‎ ‎23.已知函数,.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若关于的不等式的解集包含,求的取值集合.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)时,,根据绝对值的几何意义即可求解(2)不等式 的解集包含即在上恒成立,去掉绝对值号,分离参数即可求解.‎ ‎【详解】(1)时,,由可解得或,所以不等式的解为.‎ ‎(2)由在上恒成立,‎ 由于,可得,‎ 等价于在上恒成立,‎ 即在上恒成立,‎ 即,可得,‎ 故的取值集合为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法,绝对值的几何意义,恒成立问题,分离参数的方法,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎