高中数学必修3同步练习：第三章概率(A) 8页

必修三 第三章　概率(A)‎ 一、选择题 ‎1、如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(　　)‎ A. B. C．1－ D．1－ ‎2、某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是(　　)‎ ‎①选出1人是班长的概率为；‎ ‎②选出1人是男生的概率是；‎ ‎③选出1人是女生的概率是；‎ ‎④在女生中选出1人是班长的概率是0.‎ A．①② B．①③‎ C．③④ D．①④‎ ‎3、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎4、把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)‎ A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不是对立事件 D．以上答案都不对 ‎5、在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎6、从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”‎ 互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？(　　)‎ A．①② B．①③‎ C．②③ D．①②③‎ ‎7、矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为(　　)‎ A．16 B．16.32‎ C．16.34 D．15.96‎ ‎8、在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17n的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎12、一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎13、从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．‎ ‎14、在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________．(表示B的对立事件)‎ ‎15、先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．‎ ‎16、设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为________．‎ 三、解答题 ‎17、汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．‎ ‎(1)求z的值；‎ ‎(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；‎ ‎(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测 它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6，8.7，9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．‎ ‎18、经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ ‎(1)至多2人排队等候的概率是多少？‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率是多少？‎ ‎19、为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．‎ ‎(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；‎ ‎(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．‎ ‎20、在区间(0,1)上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实根的概率．‎ ‎21、某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．‎ ‎(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；‎ ‎(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；‎ ‎(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．‎ ‎22、在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：‎ 摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．‎ ‎(1)摸出的3个球为白球的概率是多少？‎ ‎(2)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[P＝＝＝1－.]‎ ‎2、D　[本班共有40人，1人为班长，故①对；而“选出1人是男生”的概率为＝；“选出1人为女生”的概率为＝，因班长是男生，∴“在女生中选班长”为不可能事件，概率为0.]‎ ‎3、C　[抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”，因此两个正面朝上的概率P＝.]‎ ‎4、C　[由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．]‎ ‎5、B　[从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.]‎ ‎6、A　[从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．]‎ ‎7、B　[由题意＝，∴S阴＝×24＝16.32.]‎ ‎8、C　[∵a∈(15,25]，∴P(17n的点应在梯形OABD内，‎ 所以所求事件的概率为P＝＝.]‎ ‎12、A　[任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0,1,2，…，9)；(1，i)(i＝0,1,2，…，9)；(2，i)(i＝0,1,2，…，9)；…；(9，i)(i＝0,1,2，…，9)．‎ 故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种．故所求概率为.]‎ 二、填空题 ‎13、0.3‎ 解析　所求的概率P＝1－0.2－0.5＝0.3.‎ ‎14、 解析　事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.‎ ‎15、 解析　基本事件的总数为6×6＝36.‎ ‎∵三角形的一边长为5，‎ ‎∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况；‎ 当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况；‎ 当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况；‎ 当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况；‎ 当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，‎ 即有6种情况；‎ 当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况．‎ 故满足条件的不同情况共有14种，‎ 所求概率为＝.‎ ‎16、 解析　基本事件总数为36个，‎ 若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b2≥4c.‎ 当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；‎ 当c＝2时，b＝3,4,5,6；‎ 当c＝3时，b＝4,5,6；‎ 当c＝4时，b＝4,5,6；‎ 当c＝5时，b＝5,6；‎ 当c＝6时，b＝5,6.‎ 符合条件的事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为.‎ 三、解答题 ‎17、解　(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，‎ 由题意得＝，所以n＝2 000.‎ 则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.‎ ‎(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，‎ 由题意得＝，即a＝2.‎ 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．‎ 用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，‎ 则基本事件空间包含的基本事件有：‎ ‎(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．故P(E)＝，即所求概率为.‎ ‎(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9．4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.‎ ‎18、解　记“有0人等候”为事件A，“有1人等候”为事件B，“有2人等候”为事件C，“有3人等候”为事件D，“有4人等候”为事件E，“有5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥．‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G，‎ 则G＝A∪B∪C，‎ 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎(2)记“至少3人排队等候”为事件H，‎ 则H＝D∪E∪F，‎ 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ 也可以这样解，G与H互为对立事件，‎ 所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44.‎ ‎19、解　(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.‎ ‎(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．‎ 随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，‎ ‎(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.‎ ‎20、解　在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示m，n的值，因为m，n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．‎ 设事件A表示方程x2－x＋m＝0有实根，则事件A＝{(m，n)|}，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为，故P(A)＝＝，即关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实根的概率为.‎ ‎21、解　(1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为：‎ ‎(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．‎ ‎(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，则P(A)＝.‎ ‎(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则P(B)＝1－3×＝.‎ ‎22、解　把3只黄色乒乓球标记为A、B、C,3只白色的乒乓球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个．‎ ‎(1)事件E＝{摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123，‎ P(E)＝1/20＝0.05.‎ ‎(2)事件F＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P(F)＝2/20＝0.1，‎ 假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F发生有10次，不发生90次．‎ 则一天可赚90×1－10×5＝40，每天可赚40元．‎