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- 2021-06-23 发布
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2017-2018学年湖北省襄阳四中高二(上)第一次月考数学试卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)直线=0的倾斜角α是( )
A. B. C. D.
2.(5分)方程(1+4k)x﹣(2﹣3k)y+(2﹣14k)=0所确定的直线必经过点( )
A.(2,2) B.(﹣2,2) C.(﹣6,2) D.()
3.(5分)如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A.
B.
C.
D.
4.(5分)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围( )
A.[0,] B.[0,1] C.[0,2] D.(0,)
5.(5分)若l1:x+(m+1)y+(m﹣2)=0,l2:mx+2y+8=0的图象是两条平行直线,则m的值是( )
A.m=1或m=﹣2 B.m=1 C.m=﹣2 D.m的值不存在
6.(5分)直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )
A.x+2y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.2x+y﹣3=0 D.x+2y﹣3=0
7.(5分)已知两点A(1,2),B(3,1)到直线l距离分别是,﹣,则满足条件的直线l共有( )条.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(5分)设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是( )
A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直
9.(5分)若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是( )
A. B. C.1 D.
10.(5分)圆心在直线2x﹣y=3上,且与两条坐标轴相切的圆的标准方程为( )
A.(x﹣3)2+(y﹣3)2=9
B.(x﹣1)2+(y+1)2=1
C.(x﹣3)2+(y﹣3)2=16或(x﹣1)2+(y+1)2=4
D.(x﹣3)2+(y﹣3)2=9或(x﹣1)2+(y+1)2=1
11.(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3 B.
C. D.
12.(5分)已知点A在直线x+2y﹣1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为( )
A.(﹣,﹣) B.(﹣∞,﹣] C.(﹣,﹣] D.(﹣,0)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)已知定点A(3,1),动点M和点N分别在直线y=x和y=0上运动,则△AMN的周长取最小值时点M的坐标为 .
14.(5分)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克,通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 元.
15.(5分)过点(1,6)作直线l,若直线l经过点(a,0),(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作直线l的条数为 .
16.(5分)已知直线:x+y=1(a,b为给定的正常数,θ为参数,θ∈[0,2π))构成的集合为S,给出下列命题:
①当θ=时,S中直线的斜率为;
②S中的所有直线可覆盖整个坐标平面.
③当a=b时,存在某个定点,该定点到S中的所有直线的距离均相等;
④当a>b时,S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b;
其中正确的是 (写出所有正确命题的编号).
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)已知点P(2,﹣1),求:
(Ⅰ)过P点与原点距离为2的直线l的方程;
(Ⅱ)过P点与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
18.(12分)求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点,且满足下列条件的直线l的方程.
(Ⅰ)和直线x+3y﹣1=0垂直;
(Ⅱ)在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍.
19.(12分)已知不等式组.
(1)求此不等式组表示的平面区域的面积;
(2)求z1=2x﹣3y的最大值;
(3)求的取值范围.
20.(12分)过点P(2,1)作直线l分别交x,y轴的正半轴于A,B两点.
(Ⅰ)当|OA|•|OB|取最小值时,求出最小值及直线l的方程;
(Ⅱ)当|OA|+|OB|取最小值时,求出最小值及直线l的方程;
(Ⅲ)当|PA|•|PB|取最小值时,求出最小值及直线l的方程.
21.(12分)如图所示,将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中,已知AB=OB=1,AB⊥OB,点是三角形木板内一点,现因三角形木板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点P的任一直线MN将三角形木板锯成△AMN.设直线MN的斜率为k.
(Ⅰ)求点M,N的坐标及直线MN的斜率k的范围;
(Ⅱ)令△AMN的面积为S,试求出S的取值范围;
(Ⅲ)令(Ⅱ)中S的取值范围为集合D,若S2>m(1﹣2S)对S∈D恒成立,求m的取值范围.
22.(12分)已知△ABC的两条高所在直线方程为x+y=0,2x﹣3y+1=0,若A(1,2),求直线BC的方程.
2017-2018学年湖北省襄阳四中高二(上)第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)直线=0的倾斜角α是( )
A. B. C. D.
【分析】由直线=0,可得:tanα=﹣=tan,α∈[0,π).即可得出.
【解答】解:由直线=0,可得:tanα=﹣==tan,α∈[0,π).
∴.
故选:D.
【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、诱导公式、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
2.(5分)方程(1+4k)x﹣(2﹣3k)y+(2﹣14k)=0所确定的直线必经过点( )
A.(2,2) B.(﹣2,2) C.(﹣6,2) D.()
【分析】直线过定点,直线是直线系,按k集项;解方程组,求得得交点坐标即定点的坐标.
【解答】解:方程(1+4k)x﹣(2﹣3k)y+(2﹣14k)=0,化为(x﹣2y+2)+k(4x+3y﹣14)=0
解得
故选A.
【点评】本题考查过定点的直线系方程,是基础题.
3.(5分)如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】先利用直线上的两点坐标求出直线方程,再根据阴影部分与直线的位置关系即可写出结论(注意图中直线是实线还是虚线).
【解答】解:由图得:其中一条直线过点(0,﹣2)且平行于x轴,所以对应直线方程为:y=﹣2;
又因为另一直线过点(﹣1,0)和(0,3),其对应直线方程为:3x﹣2y+6=0.
结合图象可知:在直线y=﹣2的上侧(不包括直线y=﹣2),在y轴的左侧(包括y轴),以及直线3x﹣2y+6=0的右下侧(不包括直线3x﹣2y+6=0).
所以阴影部分用不等式组表示为:.
故选C.
【点评】本题的易错点在于不注意题中所画线是实线还是虚线,从而对不等式的等号要还是不要作出错误判断.
4.(5分)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围( )
A.[0,] B.[0,1] C.[0,2] D.(0,)
【分析】由斜率公式数形结合可得.
【解答】解:∵直线l过点A(1,2),
∴当直线的倾斜角为0°,斜率k=0;
当直线经过原点时,斜率k′=2,
当直线在如图的区域时不经过第四象限,
∴直线l的斜率的取值范围为[0,2],
故选:C
【点评】本题考查直线的斜率,属基础题.
5.(5分)若l1:x+(m+1)y+(m﹣2)=0,l2:mx+2y+8=0的图象是两条平行直线,则m的值是( )
A.m=1或m=﹣2 B.m=1 C.m=﹣2 D.m的值不存在
【分析】利用直线平行的性质直接求解.
【解答】解:∵l1:x+(m+1)y+(m﹣2)=0,l2:mx+2y+8=0的图象是两条平行直线,
∴,
解得m=1.
故选:B.
【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线平行的性质的合理运用.
6.(5分)直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )
A.x+2y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.2x+y﹣3=0 D.x+2y﹣3=0
【分析】设所求直线上任一点(x,y),关于x=1的对称点求出,代入已知直线方程,即可得到所求直线方程.
【解答】解:解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于x=1对称点为(2﹣x,y)
在直线x﹣2y+1=0上,∴2﹣x﹣2y+1=0化简得x+2y﹣3=0故选答案D.
解法二:根据直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,
再根据两直线交点在直线x=1选答案D
故选D.
【点评】本题采用两种方法解答,一是相关点法:求轨迹方程法;法二筛选和排除法.本题还有点斜式、两点式等方法.
7.(5分)已知两点A(1,2),B(3,1)到直线l距离分别是,﹣,则满足条件的直线l共有( )条.
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】A(1,2)到直线l的距离是,直线是以A为圆心,为半径的圆的切线,B(3,1)到直线l的距离﹣,直线是以B为圆心,为半径的圆的切线,满足条件的直线l是两圆公切线,由此能求出结果.
【解答】解:A(1,2)到直线l的距离是,直线是以A为圆心,为半径的圆的切线,
同理B(3,1)到直线l的距离﹣,直线是以B为圆心,为半径的圆的切线,
∴满足条件的直线l为以A为圆心,为半径的圆和以B为圆心,为半径的圆的公切线,
∵|AB|==,
两个半径分别为和,
∴两圆外切,∴两圆公切线有3条
故满足条件的直线l有3条.
故选:C.
【点评】本题考查满足条件的直线l的条数的求法,是中档题,解题时要注意圆的性质的合理运用.
8.(5分)设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是( )
A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直
【分析】先由直线方程求出两直线的斜率,再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1,故两直线垂直.
【解答】解:两直线的斜率分别为和 ,
△ABC中,由正弦定理得=2R,R为三角形的外接圆半径,
∴斜率之积等于,故两直线垂直,
故选A.
【点评】本题考查由直线方程求出两直线的斜率,正弦定理得应用,两直线垂直的条件.
9.(5分)若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是( )
A. B. C.1 D.
【分析】欲求平面区域的面积,先要确定关于a,b的约束条件,根据恒有ax+by≤1成立,a≥0,b≥0,确定出ax+by的最值取到的位置从而确定关于a,b约束条件.
【解答】解:∵a≥0,b≥0
t=ax+by最大值在区域的右上取得,即一定在点(0,1)或(1,0)取得,
故有by≤1恒成立或ax≤1恒成立,
∴0≤b≤1或0≤a≤1,
∴以a,b为坐标点P(a,b)所形成的平面区域是一个正方形,
所以面积为1.
故选C.
【点评】本小题主要考查线性规划的相关知识.本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.
10.(5分)圆心在直线2x﹣y=3上,且与两条坐标轴相切的圆的标准方程为( )
A.(x﹣3)2+(y﹣3)2=9
B.(x﹣1)2+(y+1)2=1
C.(x﹣3)2+(y﹣3)2=16或(x﹣1)2+(y+1)2=4
D.(x﹣3)2+(y﹣3)2=9或(x﹣1)2+(y+1)2=1
【分析】设圆心为(a,2a﹣3),根据所求的圆与两条坐标轴相切,|a|=|2a﹣3|,由此求得a的值,可得圆的方程.
【解答】解:∵圆心在直线2x﹣y=3上,∴设圆心为(a,2a﹣3),
∵所求的圆与两条坐标轴相切,∴|a|=|2a﹣3|,即a=2a﹣3,或 a=3﹣2a,
求得a=3,或 a=1.
当a=3时,半径为3,圆的方程为(x﹣3)2+(y﹣3)2=9,
当a=1时,半径等于1,圆的方程为(x﹣1)2+(y+1)2=1,
综上可得,要求的圆的方程为(x﹣3)2+(y﹣3)2=9或(x﹣1)2+(y+1)2=1,
故选:D.
【点评】本题主要考查求圆的方程的方法,关键在于求出圆心的坐标,属于基础题.
11.(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3 B.
C. D.
【分析】利用已知可得=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.分以下三种情况:①,②,③,利用垂直与数量积的关系即可得出.
【解答】解:∵=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.
①若,则=ba3=0,∴a=0或b=0,但是ab≠0,应舍去;
②若,则=b(a3﹣b)=0,∵b≠0,∴b=a3≠0;
③若,则=a2+a3(a3﹣b)=0,得1+a4﹣ab=0,即.
综上可知:△OAB为直角三角形,则必有.
故选C.
【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键.
12.(5分)已知点A在直线x+2y﹣1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为( )
A.(﹣,﹣) B.(﹣∞,﹣] C.(﹣,﹣] D.(﹣,0)
【分析】由点A在直线x+2y﹣1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),两条直线平行可得=
,化为x0+2y0+1=0.又满足y0>x0+2,
可得.设=k,k==﹣,即可得出.
【解答】解:∵直线x+2y﹣1=0与直线x+2y+3=0平行,
∴=,
化为x0+2y0+1=0.
∵y0>x0+2,
∴>x0+2,
解得.
设=k,
∴k==﹣,
∵,
∴,即.
∴.
又,
∴.
故选:A.
【点评】本题考查了平行线之间的距离公式、点到直线的距离公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)已知定点A(3,1),动点M和点N分别在直线y=x和y=0上运动,则△AMN的周长取最小值时点M的坐标为 .
【分析】如图所示,分别作出点A关于直线y=x与x轴的对称点A1(1,3),A2(3,﹣1).连接A1A2与直线y=x相交于点M,与x轴相交于点N,则满足条件.联立方程即可得出.
【解答】解:如图所示,分别作出点A关于直线y=x与x轴的对称点A1(1,3),A2(3,﹣1).
连接A1A2与直线y=x相交于点M,与x轴相交于点N,则满足条件.
直线A1A2的方程为:y﹣3=(x﹣1),化为:2x+y﹣5=0,
联立,解得x=y=.
∴M.
故答案为:.
【点评】本题考查了对称性质、直线方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14.(5分)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克,通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 2800 元.
【分析】设每天生产的甲、乙两种产品分别为x,y桶,可使公司获得的利润z=300x+400y元.
将已知数据列成表格如下:
甲产品(桶)
乙产品(桶)
原料kg
A原料/kg
1
2
≤12
B原料/kg
2
1
≤12
利润(元/桶)
300
400
根据表格列出约束条件,画出可行域,将目标函数进行平移即可得出.
【解答】解:设每天生产的甲、乙两种产品分别为x,y桶,可使公司获得的利润z=300x+400y元.
将已知数据列成表格如下:
甲产品(桶)
乙产品(桶)
原料kg
A原料/kg
1
2
≤12
B原料/kg
2
1
≤12
利润(元/桶)
300
400
由表格可得约束条件,画出可行域如图所示:
联立,解得,即B(4,4).
画出函数y=﹣的图象,将其平移,当y=﹣经过点B时,取得最大值,
z=300×4+400×4=2800.
故答案为2800元.
【点评】本题考查了线性规划的有关问题、约束条件及其可行域、目标函数、最值,属于中档题.
15.(5分)过点(1,6)作直线l,若直线l经过点(a,0),(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作直线l的条数为 4 .
【分析】根据题意,设直线的方程为:+=1,又由直线过点(1,6),则有+=1,分析可得a≥2且b≥7,由此列举分析a、b的取值情况,分析可得答案.
【解答】解:根据题意,若直线l经过点(a,0),(0,b),且a∈N*,b∈N*,
即直线与坐标轴的正半轴都有交点,则可以设直线的方程为:+=1,
又由直线过点(1,6),则有+=1,
又由a∈N*,b∈N*,必有a≥2且b≥7,
当a=2时,b=12,
当a=3时,b=9,
当a=4时,b=8,
当a=5时,b=7.5,不合题意(舍去),
当a=6时,b=,不合题意(舍去),
当a=7时,b=7,
当a≥8时,b≤,不合题意,舍去;
故可以作4条直线l;
故答案为:4.
【点评】本题考查直线的截距式方程的应用,把可作出的l的条数问题转化为求a、b 的值的个数问题,体现了分类讨论和转化的数学思想.
16.(5分)已知直线:x+y=1(a,b为给定的正常数,θ为参数,θ∈[0,2π))构成的集合为S,给出下列命题:
①当θ=时,S中直线的斜率为;
②S中的所有直线可覆盖整个坐标平面.
③当a=b时,存在某个定点,该定点到S中的所有直线的距离均相等;
④当a>b时,S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b;
其中正确的是 ③④ (写出所有正确命题的编号).
【分析】①当θ=时,S中直线的斜率为k=﹣;②(0,0)不满足方程,所以S中的所有直线不可覆盖整个平面;③当a=b时,方程为xsinθ+ycosθ=a,存在定点(0,0),该定点到S中的所有直线的距离均相等;④当a>b时,S中的两条平行直线间的距离最小值为2b.
【解答】解:①当θ=时,S中直线的斜率为k=﹣=﹣,故①错误;
②(0,0)不满足方程,所以S中的所有直线不可覆盖整个平面,故②错误;
③当a=b时,方程为xsinθ+ycosθ=a,存在定点(0,0),该定点到S中的所有直线的距离均相等,故③正确;
④因为A(asinθ,bcosθ),(a≠b)既满足直线
sinθ
a
x+
cosθ
b
y=1的方程,
也满足椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的方程,
且把直线
sinθ
a
x+
cosθ
b
y=1的方程代入椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的方程可得△=0,
当a>b时,
sinθ
a
x+
cosθ
b
y=1为椭圆的切线,
当S中两直线分别与椭圆相切于短轴两端点时,
它们间的距离为2b,即为最小距离,即最小值为2b,故④正确.
故答案为:③④.
【点评】本题考查直线系方程的应用,要明确直线系中直线的性质,结合三角函数的性质,判断各个命题的正确性.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)已知点P(2,﹣1),求:
(Ⅰ)过P点与原点距离为2的直线l的方程;
(Ⅱ)过P点与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
【分析】(I)对斜率分类讨论,利用点到直线的距离公式即可得出.
(II)过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,由l⊥OP,得kl•kOP=﹣1,即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,1),可见,过P(2,1)垂直于x轴的直线满足条件.
此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x﹣2),即kx﹣y﹣2k﹣1=0.
由已知,得,解之得.
此时l的方程为3x﹣4y﹣10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x﹣4y﹣10=0.
(Ⅱ)过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,由l⊥OP,得kl•kOP=﹣1,
所以.由直线方程的点斜式得y+1=2(x﹣2),即2x﹣y﹣5=0,
即直线2x﹣y﹣5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为.
【点评】本题考查了点到直线的距离公式、相互垂直的直线与斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
18.(12分)求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点,且满足下列条件的直线l的方程.
(Ⅰ)和直线x+3y﹣1=0垂直;
(Ⅱ)在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍.
【分析】(Ⅰ)求出直线的交点坐标,根据点斜式方程求出直线l的方程即可;
(Ⅱ)通过讨论讨论过原点和直线不过原点的情况,求出直线方程即可.
【解答】解:(Ⅰ)由可得两直线的交点为(1,2)
∵直线l与直线x+3y﹣1=0垂直,∴直线l的斜率为3,
则直线l的方程是:y﹣2=3(x﹣1),
即:3x﹣y﹣1=0;
(Ⅱ)当直线l过原点时,直线l的方程为2x﹣y=0,
当直线l不过原点时,令l的方程为,
∵直线l过(1,2),∴a=2,
则直线l的方程为2x+y﹣4=0.
【点评】本题考查了求直线方程问题,考查直线的点斜式方程和截距式方程,考查分类讨论思想,转化思想,是一道中档题.
19.(12分)已知不等式组.
(1)求此不等式组表示的平面区域的面积;
(2)求z1=2x﹣3y的最大值;
(3)求的取值范围.
【分析】作出可行域,求出角点坐标,(1)直接求解三角形的面积.
(2)利用的几何意义,求解最大值;
(3)利用目标函数的几何意义:可行域内的点与(﹣1,﹣3)连线的斜率,求解最值即可.
【解答】解:作出不等式组平面区域如图.
交点A(﹣3,3)、B(3、9)、C(3,﹣3),
(1)S△ABC=[9﹣(﹣3)]×[3﹣(﹣3)]=36.
(2)z1=2x﹣3y化为:y=x﹣z1,平移直线,可知直线经过C时,目标函数取得最大值:z1=2x﹣3y=2×3+3×3=15.
(3)目标函数的几何意义:可行域内的点与Q(﹣1,﹣3)连线的斜率,如图,斜率≤kAQ==﹣3,或≥kQC==0,
故∈(﹣∞,﹣3]∪[0,+∞).
【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域以及判断的几何意义是解题的关键.
20.(12分)过点P(2,1)作直线l分别交x,y轴的正半轴于A,B两点.
(Ⅰ)当|OA|•|OB|取最小值时,求出最小值及直线l的方程;
(Ⅱ)当|OA|+|OB|取最小值时,求出最小值及直线l的方程;
(Ⅲ)当|PA|•|PB|取最小值时,求出最小值及直线l的方程.
【分析】(Ⅰ)设出直线方程根据基本不等式的性质求出直线的斜率,从而求出直线方程即可;
(Ⅱ)放假基本不等式的性质求出直线的斜率,从而求出直线方程即可;
(Ⅲ)分别求出A,B的坐标,求出|PA|•|PB|的方程,根据基本不等式的性质求出直线方程即可.
【解答】解:设A(a,0),B(0,b)(a,b>0).
(Ⅰ)设直线方程为,代入P(2,1)得,
得ab≥8,从而,此时,.
∴方程为x+2y﹣4=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)+=1,
故a+b=(a+b)(+)=3++≥3+2,
此时,.
∴方程为.
(Ⅲ)设直线l:y﹣1=k(x﹣2),分别令y=0,x=0,得,
则=,
当且仅当k2=1,即k=±1时,|PA|•|PB|取最小值,又∵k<0,
∴k=﹣1,这时l的方程为x+y﹣3=0.
【点评】本题考查直线的截距式方程,涉及基本不等式求最值,属中档题.
21.(12分)如图所示,将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中,已知AB=OB=1,AB⊥OB,点是三角形木板内一点,现因三角形木板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点P的任一直线MN将三角形木板锯成△AMN.设直线MN的斜率为k.
(Ⅰ)求点M,N的坐标及直线MN的斜率k的范围;
(Ⅱ)令△AMN的面积为S,试求出S的取值范围;
(Ⅲ)令(Ⅱ)中S的取值范围为集合D,若S2>m(1﹣2S)对S∈D恒成立,求m的取值范围.
【分析】(Ⅰ)利用点斜式即可得出,由已知可得:直线OA方程为:y=x 直线AB方程为:x=1,分别与直线MN的方程联立即可得出
(Ⅱ)利用三角形的面积计算公式可得S△AMN,通过换元利用导数即可得出其单调性最值,进而得出区间D;
(Ⅲ)已知S2>m(﹣2S+1)对任意S∈D恒成立.可转化为m<,再利用二次函数的单调性即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)∵AB⊥OB,|AB|=|OB|=1,
∴直线OA方程为:y=x
直线AB方程为:x=1,
由得.
∵,
∴k>1或,
又由得且,
得,
∴.
(Ⅱ)==.
设,.
∵f(t)在是单调递增.
∴当时,,即当时,即时,
,,
∴.
(Ⅲ)已知S2>m(﹣2S+1)对任意S∈D恒成立.
又∵,
∴,.
∴.
【点评】本题考查了直线的点斜式方程、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,属于难题.
22.(12分)已知△ABC的两条高所在直线方程为x+y=0,2x﹣3y+1=0,若A(1,2),求直线BC的方程.
【分析】
先求出垂心H的坐标,可得AH的斜率,进而得到BC的斜率.用点斜式求得AC的方程,把AC的方程和高线CD的方程联立方程组,求得点C的坐标,再用点斜式求出BC的方程.
【解答】解:设高线CD:x+y=0,BE:2x﹣3y+1=0,由
求得,可得垂心H(﹣,).
∴高线AH的斜率,
由“三条高线交于一点”可得:AH⊥BC,∴.
∵AC⊥BE,
设AC:3x+2y+m=0,代入A(1,2)解得:m=﹣7,∴AC:3x+2y﹣7=0.
把直线AC、CD的直线方程联立方程组,求得,∴C(7,﹣7).
∴,整理后可得:2x+3y+7=0.
即直线BC的方程为:2x+3y+7=0.
【点评】本题主要考查求两条直线的交点,用点斜式求直线的方程,属于基础题.