江苏省如皋中学2020届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷一不含附加题 13页

江苏省如皋中学2020届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷一 一、填空题 ‎1. 已知正数满足，则的最小值为 ‎ ‎2. 已知函数，其中，记为的最小值，则当=2时，的取值范围为_______‎ ‎3. 已知函数，关于x的方程有三个不等实根，则实数m的取值范围是________‎ ‎4. 已知椭圆C1：（a＞b＞0）与圆C2：，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是_______‎ ‎ ‎ ‎5. 已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为_______‎ ‎6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是 ． ‎ ‎7. 已知梯形ABCD满足为焦点的双曲线经过B,C两点，若，则双曲线的离心率为________‎ ‎8. 已知三角形ABC中，长为2的线段AQ为BC的边上的高，满足，且，则BH=________‎ ‎9. 在棱长为1的正方体中，MN分别是棱的中点，P是体对角线上一点，满足，则平面MNP截正方体所得截面周长为_______‎ ‎10.已知数列满足，则________‎ ‎11. .已知△ABC中，角ABC的对边分别是a，b，c，若，且 ‎，则_________‎ ‎12.函数的最小值为______‎ ‎13. 已知在锐角中，角的对边分别为.若，则的最小值为_____________.‎ ‎14. 已知两个向量，若对上任意点A，恒成立（其中O为原点），则的最大值为______‎ 二、解答题 ‎15.在中，角所对的边分别为，已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ ‎16. 如图，在多面体ABCDEF中，，，是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，，M，N分别是AB，DF的中点．求证： 平面AEF；‎ 平面平面ACDF．‎ ‎17.为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”(如图阴影部分)，圆的半径为‎1米，，是圆的直径，，在弦上，，在弦 上，圆心是矩形的中心，若米，，．‎ ‎(1)当时，求“杠铃形图案”的面积；‎ ‎(2)求“杠铃形图案”的面积的最小值．‎ ‎18. 已知椭圆的左焦点为，点为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上一点，且直线的倾斜角为，，已知椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上异于的两点，若直线的斜率等于直线斜率的倍，求四边形面积的最大值.‎ ‎19．已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，‎ ‎，成等比数列，且，．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设=++…+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎20. 已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（1）若，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）设函数在区间)上存在极值，求证：.‎ 江苏省如皋中学2020届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷一 一、填空题 ‎1. 已知正数满足，则的最小值为 2‎ ‎2. 已知函数，其中，记为的最小值，则当=2时，的取值范围为_______‎ ‎3. 已知函数，关于x的方程有三个不等实根，则实数m的取值范围是________‎ ‎4. 已知椭圆C1：（a＞b＞0）与圆C2：，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是_______‎ ‎ ‎ ‎5. 已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为_______‎ ‎6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是 ．‎ ‎7. 已知梯形ABCD满足为焦点的双曲线经过B,C两点，若，则双曲线的离心率为________‎ ‎8. 已知三角形ABC中，长为2的线段AQ为BC的边上的高，满足，且，则BH=________‎ ‎9. 在棱长为1的正方体中，MN分别是棱的中点，P是体对角线上一点，满足，则平面MNP截正方体所得截面周长为_______‎ ‎10.已知数列满足，则________‎ ‎11. .已知△ABC中，角ABC的对边分别是a，b，c，若，且，则_________‎ ‎12.函数的最小值为_______1‎ ‎13. 已知在锐角中，角的对边分别为.若，则的最小值为_____________.‎ ‎14. 已知两个向量，若对上任意点A，恒成立（其中O为原点），则的最大值为______‎ 二、解答题 ‎15.在中，角所对的边分别为，已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由及二倍角公式得，‎ 又即，所以；‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ 周长：‎ ‎，‎ 又因为，所以.‎ 因此周长的取值范围是.‎ ‎16. 如图，在多面体ABCDEF中，，，是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，，M，N分别是AB，DF的中点．‎ 求证： 平面AEF；‎ 平面平面ACDF．‎ ‎【答案】证明：取AC的中点O，连接OM，ON， 因为M，N分别是AB，DF的中点，所以在菱形ACDF中，， 因为平面AEF，平面AEF， 所以平面AEF， 在中，， 又， 所以， 因为平面AEF，平面AEF， 所以平面AEF， 因为，OM、平面OMN， 所以平面平面AEF， 平面OMN， 所以平面AEF． 证明：连结OF，OB，是边长为2的等边三角形， 所以，， 四边形ACDF是菱形， ， ， ， ， ， ， 又， 所以平面ACDF，且平面ABC， 所以平面平面ACDF．‎ ‎17.为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”(如图阴影部分)，圆的半径为‎1米，，是圆的直径，，在弦上，，在弦上，圆心是矩形的中心，若米，，．‎ ‎(1)当时，求“杠铃形图案”的面积；‎ ‎(2)求“杠铃形图案”的面积的最小值．‎ ‎【详解】设中点为，连结，则，，‎ 则，，．‎ ‎(1)当时，杠铃形图案的面积，‎ 故当时，杠铃形图案的面积为平方米．‎ ‎(2)杠铃形图案的面积，‎ ‎，‎ 因为，所以，，单调递增．‎ 所以当时，的最小值为．‎ 答：杠铃形图案的面积的最小时为平方米．‎ ‎18. 已知椭圆的左焦点为，点为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上一点，且直线的倾斜角为，，已知椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上异于的两点，若直线的斜率等于直线斜率的倍，求四边形面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）椭圆的离心率，，‎ 设椭圆右焦点为，连接，则，‎ 在中，由余弦定理得：，‎ 即，又 解得：，，，椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）知：，，‎ 设直线斜率为，则直线方程为，‎ 由得：，‎ 则，‎ 设，则，，，，由可得直线方程为，‎ 同理可求得：，‎ 由对称性，不妨设，则四边形的面积：‎ ‎，‎ 令，则（当且仅当，即时取等号），‎ ‎，的最大值为.‎ ‎19．已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设=++…+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，‎ 即， 由2b1=a1+a2=25，得b1=， 由a22=b1b2，得b2=18，‎ ‎∴{}是以为首项，为公差的等差数列.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，‎ 因为，，成等比数列，所以.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ 原式化为，即f（n）=恒成立，‎ 当a–1＞0即a＞1时，不合题意；当a–1=0即a=1时，满足题意；‎ 当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，‎ ‎∴只需f（1）=‎4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；综上，a≤1.‎ ‎20. 已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（1）若，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）设函数在区间)上存在极值，求证：.‎ ‎【解析】（1）当时，，，，，‎ 所以函数在处得切线方程为．‎ ‎（2）因为，，，所以．‎ ‎①若，则，在上是单调增函数，‎ 所以在上至多一个零点，与题意不符合．‎ ‎②若，令，得．‎ ‎0‎ 极小值 ‎（ⅰ）若，即时，有且仅有一个零点，与题意不符．‎ ‎（ⅱ）若，即时，，，‎ 又，且的图像在上不间断，‎ 所以存在，使得．‎ 此时，在恰有两个不同得零点和．所以符合题意．‎ ‎（ⅲ）若，即时，．‎ 令，，，‎ 所以在上是单调增函数，，‎ 所以在上是单调增函数，．‎ 所以，且，的图像在上不间断，‎ 所以存在，使得．‎ 此时，在恰有两个不同得零点和．‎ 所以符合题意．综上所述，实数的取值范围是或．‎ ‎（3）依题意，．‎ 则，令，，，‎ 所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，‎ 则须满足即 所以，，即．‎ 由（2）可知，当时，，‎ 所以，．‎ 所以，‎ 即，‎ 所以．‎