2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二上学期期末联考数学（文）试题（解析版） 12页

四川省蓉城名校联盟2018-2019学年高二上学期期末联考数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知命题P：‎∃x‎0‎≥1‎，x‎0‎‎2‎‎+x‎0‎+1≤0‎，则命题P的否定为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎∃x≥1‎，x‎2‎‎+x+1>0‎ B. ‎∀x≥1‎，x‎2‎‎+x+1≤0‎ C. ‎∀x<1‎，x‎2‎‎+x+1>0‎ D. ‎∀x≥1‎，‎x‎2‎‎+x+1>0‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：因为命题P：‎∃x‎0‎≥1‎，x‎0‎‎2‎‎+x‎0‎+1≤0‎，则命题P的否定：‎∀x≥1‎，x‎2‎‎+x+1>0‎． 故选：D． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定‎.‎特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． ‎ 2. 总体由编号为01，02，‎…‎，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第3列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为‎(‎　　‎)‎ 70  29  17  12  13  40  33  12  38  26  13  89  51  03 56  62  18  37  35  96  83  50  87  75  97  12  55  93‎ A. 12 B. 13 C. 03 D. 40‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右 依次选取两个数字中小于30的编号依次为17，12，13，26，03 则第5个个体的编号为03． 故选：C． 根据随机数表，依次进行选择即可得到结论． 本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础． ‎ 3. 已知甲：x<0‎或x>1‎，乙：x≥2‎，则甲是乙的‎(‎　　‎‎)‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】甲：x<0‎或x>1‎，则甲：A=(-∞,0)∪(1,+∞)‎， 乙：x≥2‎，则乙：B=[2,+∞)‎， 又B⊊A， 即甲是乙的必要不充分条件， 故选：B． ‎ 先写出命题甲、乙所对应的集合，甲：A=(-∞,0)∪(1,+∞)‎，乙：B=[2,+∞)‎， 再结合两集合的包含关系B⊊A，再判断即可， 本题考查了集合与充要条件之间的关系，充分条件、必要条件、充要条件，属简单题 ‎ 1. 已知直线l‎1‎的方程为mx+(m-3)y+1=0‎，直线l‎2‎的方程为‎(m+1)x+my-1=0‎，则l‎1‎‎⊥‎l‎2‎的充要条件是‎(‎　　‎‎)‎ A. m=0‎或m=1‎ B. m=1‎ C. m=-‎‎3‎‎2‎ D. m=0‎或m=-‎‎3‎‎2‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：因为l‎1‎‎⊥l‎2‎⇔m(m+1)+(m-3)m=0⇔m=0‎或m=1‎， 故选：A． 已知l‎1‎：A‎1‎x+B‎1‎y+C‎1‎=0‎，l‎2‎：A‎2‎x+B‎2‎y+C‎2‎=0‎，则l‎1‎‎⊥‎l‎2‎的充要条件是：A‎1‎A‎2‎‎+B‎1‎B‎2‎=0‎，代入运算即可得解． 本题考查了两直线垂直的充要条件、充分条件、必要条件、充要条件，属简单题 ‎ 2. 在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，点M，N分别是棱AA‎1‎，CC‎1‎的中点，则异面直线MN与BC‎1‎所成角为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎90‎‎∘‎ B. ‎60‎‎∘‎ C. ‎45‎‎∘‎ D. ‎‎30‎‎∘‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD‎1‎为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中棱长为2， 则M(2,‎0，‎1)‎，N(0,‎2，‎1)‎，B(2,‎2，‎0)‎，C‎1‎‎(0,‎2，‎2)‎． MN‎=(-2,‎2，‎0)‎，BC‎1‎‎=(-2,‎0，‎2)‎， 设异面直线MN与BC‎1‎所成角为θ， 则cosθ=‎|MN⋅BC|‎‎|MN|⋅|BC|‎=‎4‎‎8‎‎⋅‎‎8‎=‎‎1‎‎2‎． ‎∴θ=‎‎60‎‎∘‎． ‎∴‎异面直线MN与BC‎1‎所成角为‎60‎‎∘‎． 故选：B． 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD‎1‎为z轴，建立空间直角坐标系，利用同量法能求出异面直线MN与BC‎1‎所成角． 本题考查的知识点是导师面直线所成的角，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是基础题． ‎ 3. 执行如图所示的程序框图，若输入的k值为9，则输出的T值为‎(‎　　‎‎)‎ A. 32 B. 50 C. 18 D. 25 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：模拟程序的运行，可得 k=9‎，n=1‎，T=0‎， 执行循环体，T=2‎，n=3‎ 不满足条件n≥9‎，执行循环体，T=8‎，n=5‎ 不满足条件n≥9‎，执行循环体，T=18‎，n=7‎ 不满足条件n≥9‎，执行循环体，T=32‎，n=9‎ 满足条件n≥9‎，退出循环，输出T的值为32． 故选：A． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． ‎ 1. 甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，x‎1‎‎,‎x‎2‎分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s‎1‎，s‎2‎分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有‎(‎　　‎‎)‎ A. x‎1‎‎>x‎2‎,s‎1‎<‎s‎2‎ B. x‎1‎‎=x‎2‎,s‎1‎<‎s‎2‎ C. x‎1‎‎=x‎2‎,s‎1‎>‎s‎2‎ D. ‎x‎1‎‎‎s‎2‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由茎叶图可看出甲的平均数是‎8+9+14+15+15+16+21+22‎‎8‎‎=15‎， 乙的平均数是‎7+8+13+15+15+17+22+23‎‎8‎‎=15‎， ‎‎∴‎ 两组数据的平均数相等． 甲的方差是‎1‎‎8‎‎(49+36+1+0+0+1+36+49)=21.5‎ 乙的方差是‎1‎‎8‎‎(64+49+4+0+0+4+49+64)=32.25‎ ‎∴‎甲的标准差小于乙的标准差， 故选：B． 根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小． 本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定． ‎ 1. 某市进行了一次法律常识竞赛，满分100分，共有N人参赛，得分全在‎[40,90]‎内，经统计，得到如下的频率分布直方图，若得分在‎[40,50]‎的有30人，则N=(‎　　‎‎)‎ A. 600 B. 450 C. 60 D. 45‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：由频率分布直方图得： 得分在‎[40,50]‎的频率为：‎1-(0.035+0.030+0.020+0.010)×10=0.05‎， ‎∵‎得分在‎[40,50]‎的有30人， ‎∴N=‎30‎‎0.05‎=600‎． 故选：A． 由频率分布直方图得得分在‎[40,50]‎的频率为‎0.05‎，由此利用得分在‎[40,50]‎的有30人，能求出N． 本题考查样本单元数的求法，考查频率分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． ‎ 2. 以下命题为真命题的个数为‎(‎　　‎)‎ ‎①‎若命题P的否命题是真命题，则命题P的逆命题是真命题 ‎②‎若a+b≠5‎，则a≠2‎或b≠3‎ ‎③‎若p∨q为真命题，‎￢p为真命题，则p∨(￢q)‎是真命题 ‎④‎若‎∃x∈[1,4]‎，x‎2‎‎+2x+m>0‎，则m的取值范围是m>-24‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：对于‎①‎若命题P的否命题是真命题，则命题P的逆命题是真命题， 满足四种命题的逆否关系与真假关系，‎①‎正确； 对于‎②‎若a+b≠5‎，则a≠2‎或b≠3‎，因为逆否命题：a=2‎且b=3‎则a+b=5‎是真命题，所以‎②‎正确； 对于‎③‎若p∨q为真命题，‎￢p为真命题，命题p为假命题，命题q为真命题， 则命题“p∨(￢q)‎”是假命题‎.‎所以‎③‎不正确； 对于‎④‎函数f(x)=x‎2‎+2x+m在‎[-1,+∞)‎上为增函数，则‎24+m>0‎， 则m的取值范围是m>-24‎，故‎④‎正确． 故选：C． 利用复合命题的真假；命题的真假；命题的否定；利用四种命题的真假判断即可． 本题以命题的真假判断为载体，考查了复合命题，四种命题，函数图象和性质，难度中档． ‎ 1. 在棱长为2的正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为‎(‎　　‎‎)‎ A. π‎12‎ B. ‎1-‎π‎12‎ C. π‎6‎ D. ‎‎1-‎π‎6‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：本题是几何概型问题， 与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面， 其体积为：V‎1‎‎=‎1‎‎2‎ ×‎4‎‎3‎ π×‎1‎‎3‎=‎‎2π‎3‎ “点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为‎2‎‎3‎‎-‎‎2π‎3‎， 则点P与点O距离大于1的概率是‎2‎‎3‎‎-‎‎2π‎3‎‎2‎‎3‎‎=1-‎π‎12‎． 故选：B． 本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于1的概率，先由与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解． 本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体和体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想‎.‎属于基础题． ‎ 2. 若椭圆与双曲线的离心率之积等于1，则称这组椭圆和双曲线为孪生曲线‎.‎已知曲线C‎1‎：x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎25‎=1‎与双曲线C‎2‎是孪生曲线，且曲线C‎2‎与曲线C‎1‎的焦点相同，则曲线C‎2‎的渐近线方程为‎(‎　　‎‎)‎ A. y=‎3‎‎4‎x B. y=±‎3‎‎4‎x C. y=‎4‎‎3‎x D. ‎y=±‎4‎‎3‎x ‎【答案】D ‎【解析】解：椭圆与双曲线的离心率之积等于1，则称这组椭圆和双曲线为孪生曲线． 已知曲线C‎1‎：x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎25‎=1‎，可得e=ca=‎‎4‎‎5‎，双曲线C‎2‎是孪生曲线，它的离心率为：e=‎‎5‎‎4‎， 可得ca‎=‎‎5‎‎4‎，a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎‎=‎25‎‎16‎.‎解得：ba‎=‎‎3‎‎4‎， 则曲线C‎2‎的渐近线方程为：y=±‎4‎‎3‎x． 故选：D． 求出椭圆的离心率，推出双曲线的离心率，然后求解双曲线的渐近线方程即可． 本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． ‎ 1. 已知‎⊙O的方程是x‎2‎‎+y‎2‎=m‎2‎(m>0)‎，A(1,3)‎，B(3,1)‎，若在‎⊙O上存在点P，使PA⊥PB，则实数m的取值范围是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎[‎2‎,3‎2‎]‎ B. ‎(‎2‎,3‎2‎)‎ C. ‎[‎2‎,2‎2‎]‎ D. ‎‎(‎2‎,2‎2‎)‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：问题等价于以AB为直径的圆与圆O由交点， AB的中点为‎(2,2)‎，‎|AB|=‎(1-3‎)‎‎2‎+(3-1‎‎)‎‎2‎2‎‎2‎，所以半径为‎2‎， 以AB为直径的圆的圆心为‎(2,2)‎，半径为‎2‎， 根据两圆有交点的条件得：‎|m-‎2‎|≤‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎≤m+‎‎2‎， 解得：‎2‎‎≤m≤3‎‎2‎． 故选：A． 问题等价于以AB为直径的圆与圆O由交点，而两圆有交点的条件为：‎|r‎1‎-r‎2‎|≤|C‎1‎C‎2‎|≤r‎1‎+‎r‎2‎． 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 已知椭圆C：x‎2‎‎100‎‎+y‎2‎‎64‎=1‎的左、右焦点分别为F‎1‎、F‎2‎，点P是椭圆C上的一点，且‎|PF‎1‎|=8‎，则‎|PF‎2‎|=‎______．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】解：椭圆C：x‎2‎‎100‎‎+y‎2‎‎64‎=1‎，可得a=10‎，b=8‎； 椭圆的左、右焦点分别为F‎1‎、F‎2‎，点P是椭圆C上的一点， 且‎|PF‎1‎|=8‎，则‎|PF‎2‎|=2a-|PF‎1‎|=20-8=12‎． 故答案为：12． 直接利用椭圆的简单性质‎.‎转化求解即可． 本题考查椭圆的定义的应用，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． ‎ 3. 若方程x‎2‎‎+y‎2‎-2tx+4y+2t+7=0‎表示圆，则实数t的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎‎(-∞,-1)∪(3,+∞)‎ ‎【解析】解：方程x‎2‎‎+y‎2‎-2tx+4y+2t+7=0‎即‎(x-t‎)‎‎2‎+(y+2‎)‎‎2‎=t‎2‎-2t-3>0‎，解得t<-1‎或t>3‎， 故答案为：‎(-∞,-1)∪(3,+∞)‎． ‎ 把圆的方程化为标准形式，可得半径的平方，根据半径的平方大于零，求得实数t的取值范围 本题主要考查圆的标准方程，属于基础题． ‎ 1. 已知抛物线C：y‎2‎‎=16x的焦点为F，准线是l，点P是曲线C上的动点，点P到准线l的距离为d，点A(1,6)‎，则‎|PA|+d的最小值为______．‎ ‎【答案】‎‎3‎‎5‎ ‎【解析】解：抛物线C：y‎2‎‎=16x的焦点为F(4,0)‎，准线是l，x=-4‎， 点P是曲线C上的动点，点P到准线l的距离为d，点A(1,6)‎， 则‎|PA|+d的最小值为AF的距离；即：‎(1-4‎)‎‎2‎+(6-0‎‎)‎‎2‎‎=3‎‎5‎． 故答案为：‎3‎‎5‎． 求出抛物线的焦点坐标，判断A的位置，利用抛物线的性质，转化求解即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化首项以及计算能力． ‎ 2. 已知双曲线C的方程为x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎‎9‎=1(a>0)‎，过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则‎△ABF的面积为______． ‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】解：双曲线C的方程为x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎‎9‎=1(a>0)‎，过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点， 点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，AF=m，BF=n，可得m+n=2a，m‎2‎‎+n‎2‎=4‎c‎2‎， 可得：m‎2‎‎+n‎2‎+2mn=4‎a‎2‎， 可得：‎1‎‎2‎mn=c‎2‎-a‎2‎=b‎2‎=9‎， 故答案为：9． 利用双曲线的简单性质结合三角形的面积，转化求解即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 3. 据统计，某地区植被覆盖面积x(‎公顷‎)‎与当地气温下降的度数y(℃)‎之间呈线性相关关系，对应数据如下：‎ x(‎公顷‎)‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ y(℃)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎(1)‎请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； ‎(2)‎根据‎(1)‎中所求线性回归方程，如果植被覆盖面积为300公顷，那么下降的气温大约是多少‎℃‎？ 参考公式：线性回归方程y‎∧‎‎=b‎∧‎x+‎a‎∧‎；其中b‎∧‎‎=‎i=1‎nxiyi‎-nxyi=1‎nxi‎2‎‎-nx‎2‎，a‎∧‎‎=y-‎b‎∧‎x．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎由表知：x‎=‎20+40+60+80‎‎4‎=50‎，y‎=‎3+4+4+5‎‎4‎=4.‎ i=1‎‎4‎xiyi‎=20×3+40×4+60×4+80×5=860‎，i=1‎‎4‎xi‎2‎‎=‎20‎‎2‎+‎40‎‎2‎+‎60‎‎2‎+‎80‎‎2‎=12000‎． 所以b‎=‎860-4×50×4‎‎12000-4×‎‎50‎‎2‎=‎60‎‎2000‎=0.03‎，a‎=4-0.03×50=2.5‎． 故y关于x的线性回归方程为y‎=0.03x+2.5‎． ‎(2)‎由‎(1)‎得：当x=300‎时，y‎=0.03×300+2.5=11.5‎． 所以植被覆盖面积为300公顷时，下降的气温大约是‎11.5℃‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎先算出x‎=50‎，y‎=4‎，i=1‎‎4‎xiyi‎=860‎，i=1‎‎4‎xi‎2‎‎=12000‎，再代入公式算得b‎=0.03‎，a‎=2.5‎，从而可得回归直线方程； ‎(2)‎在回归直线方程中令x=300‎解得y=11.5‎即为所求． 本题考查了线性回归方程，属中档题． ‎ 1. 已知直线l的方程为‎(m+2)x+(1-m)y+m-4=0‎． ‎(1)‎求直线l恒过定点A的坐标； ‎(2)‎若点P是圆C：x‎2‎‎+y‎2‎+2x=0‎上的动点，求‎|PA|‎的最小值．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎方程‎(m+2)x+(1-m)y+m-4=0‎可化为‎(2x+y-4)+m(x-y+1)=0‎， 由x-y+1=0‎‎2x+y-4=0‎得y=2‎x=1‎， ‎∴‎点A的坐标为‎(1,2)‎； ‎(2)‎圆C：x‎2‎‎+y‎2‎+2x=0‎可化为‎(x+1‎)‎‎2‎+y‎2‎=1‎，‎∴‎圆心C为‎(-1,0)‎， ‎∴|AC|=2‎‎2‎， ‎∴|PA|‎的最小值为‎2‎2‎-1‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎利用直线过定点，即与m的取值无关，所以整理后只需m的系数为0，可解得； ‎(2)‎用圆心到A的距离减去半径解得． 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题． ‎ 2. 已知关于实数x的一元二次方程x‎2‎‎+2ax+b‎2‎=0(a,b∈R)‎． ‎(‎Ⅰ‎)‎若a是从区间‎[0,3]‎中任取的一个整数，b是从区间‎[0,2]‎中任取的一个整数，求上述方程有实根的概率． ‎(‎Ⅱ‎)‎若a是从区间‎[0,3]‎任取的一个实数，b是从区间‎[0,2]‎任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎【答案】解：设事件A为“方程x‎2‎‎+2ax+b‎2‎=0‎有实根”． 当a≥0‎，b≥0‎，时，方程x‎2‎‎+2ax+b‎2‎=0‎有实根的充要条件为a≥b． ‎(‎Ⅰ‎)‎基本事件共12个：‎(0,0)‎，‎(0,1)‎，‎(0,2)‎，‎(1,0)‎，‎(1,1)‎，‎(1,2)‎，‎(2,0)‎，‎(2,1)‎，‎(2,2)‎，‎(3,0)‎，‎(3,1)‎，‎(3,2)‎． 其中第一个数表示a的取值， 第二个数表示b的取值． 事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)=‎9‎‎12‎=‎‎3‎‎4‎． ‎(‎Ⅱ‎)‎试验的全部结束所构成的区域为‎{(a,b)|0≤a≤3‎，‎0≤b≤2}‎． 构成事件A的区域为‎{(a,b)|0≤a≤3‎，‎0≤b≤2‎，a≥b}‎． 所以所求的概率为‎=‎3×2-‎1‎‎2‎×‎‎2‎‎2‎‎3×2‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎【解析】设事件A为“方程x‎2‎‎+2ax+b‎2‎=0‎有实根”，当a≥0‎，b≥0‎，时，方程x‎2‎‎+2ax+b‎2‎=0‎有实根的充要条件为a≥b． ‎(‎Ⅰ‎)‎利用古典概型概率计算公式求解； ‎(‎Ⅱ‎)‎应用几何概型概率计算公式求解． 本题考查了古典概型、几何概型，属于中档题． ‎ 1. 某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎[160,165)‎ ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 ‎[165,170)‎ a ‎0.350‎ 第3组 ‎[170,175)‎ ‎30‎ b 第4组 ‎[175,180)‎ ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎[180,185]‎ ‎10‎ ‎0.100‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求出频率分布表中a，b的值，再在答题纸上完成频率分布直方图； ‎(‎Ⅱ‎)‎根据样本频率分布直方图估计样本成绩的中位数； ‎(‎Ⅲ‎)‎高校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，再从6名学生中随机抽取2名学生由A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．‎ ‎【答案】解：‎(‎Ⅰ‎)‎由频率分布表，得： a=100×0.35=35‎， b=‎30‎‎100‎=0.30‎． 频率分布直方图为： ‎(‎Ⅱ‎)∵[160,170)‎ 的频率为‎0.05+0.35=0.4‎，‎[170,175)‎有频率为‎0.3‎， ‎∴‎样本成绩的中位数为：‎170+‎0.5-0.4‎‎0.3‎×5=‎‎515‎‎3‎． ‎(‎Ⅲ‎)∵‎第3、4、5组共有60名学生， ‎∴‎利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为： 第3组：‎30‎‎60‎‎×6=3‎人，第4组：‎20‎‎60‎‎×6=2‎人，第5组：‎10‎‎60‎‎×6=1‎人， ‎∴‎第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． 设第3组的3位同学为A‎1‎，A‎2‎，A‎3‎，第4组的2位同学为B‎1‎，B‎2‎，第5组的1位同学为C‎1‎， 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下： ‎(A‎1‎,A‎2‎)‎，‎(A‎1‎,A‎3‎)‎，‎(A‎1‎,B‎1‎)‎，‎(A‎1‎,B‎2‎)‎，‎(A‎1‎,C‎1‎)‎，‎(A‎2‎,A‎3‎)‎，‎(A‎2‎,B‎1‎)‎，‎(A‎2‎,B‎2‎)‎，‎(A‎2‎,C‎1‎)‎， ‎(A‎3‎,B‎1‎)‎，‎(A‎3‎,B‎2‎)‎，‎(A‎3‎,C‎1‎)‎，‎(B‎1‎,B‎2‎)‎，‎(B‎1‎,C‎1‎)‎，‎(B‎2‎,C‎1‎)‎， 第4组至少有一位同学入选的有9种可能， ‎∴‎第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为p=‎9‎‎15‎=‎‎3‎‎5‎．‎ ‎【解析】‎(‎Ⅰ‎)‎由频率分布表，能求出a，b，由此能作出频率分布直方图． ‎(‎Ⅱ‎)‎求出‎[160,170)‎的频率，‎[170,175)‎的频率为‎0.3‎，由此能求出样本成绩的中位数． ‎(‎Ⅲ‎)‎第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人‎.‎设第3组的3位同学为A‎1‎，A‎2‎，A‎3‎，第4组的2位同学为B‎1‎，B‎2‎，第5组的1位同学为C‎1‎，由此列举法能求出第4组至少有一名学生被考官A面试的概率． 本题频率分布表、频率分布直方图的应用，考查中位数、概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题． ‎ 1. 在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点O，过点A(2,2‎2‎)‎，其焦点F在x轴上． ‎(1)‎求抛物线C的标准方程； ‎(2)‎斜率为1且与点F的距离为‎2‎‎2‎的直线l‎1‎与x轴交于点M，且点M的横坐标大于1，求点M的坐标； ‎(3)‎是否存在过点M的直线l，使l与C交于P、Q两点，且OP⊥OQ.‎若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎设C的方程为y‎2‎‎=mx-------------------‎(1‎分‎)‎ 则‎8=2m∴m=4‎-------------------‎(2‎分‎)‎ ‎∴C的方程为y‎2‎‎=4x------------------‎(3‎分‎)‎ ‎(2)‎点F的坐标为‎(1,0)‎------------------‎(4‎分‎)‎ 设l‎1‎的方程为y=x+b------------------‎(5‎分‎)‎ 则‎|b+1|‎‎2‎‎=‎2‎‎2‎∴b=0‎或b=-2‎-----------------‎(6‎分‎)‎ ‎∴‎l‎1‎与x轴的交点为‎(0,0)‎，‎(2,0)‎ 又xM‎>1∴‎点M的坐标为‎(2,0)‎-----------------‎(7‎分‎)‎ ‎(3)‎设l的方程为x=ty+2‎，P(y‎1‎‎2‎‎4‎,y‎1‎)‎，‎Q(y‎2‎‎2‎‎4‎,y‎2‎)‎ ‎---------------‎(8‎分‎)‎ 由y‎2‎‎=4xx=ty+2‎得y‎2‎‎-4ty-8=0∴y‎1‎+y‎2‎=4t，y‎1‎y‎2‎‎=-8‎----------------‎(10‎分‎)‎ 要OP⊥OQ，则要y‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎‎16‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎，即‎4-8=0‎不成立， ‎∴‎不存在满足条件的直线l.‎----------------‎(12‎分‎)‎ ‎【解析】‎(1)‎设C的方程为y‎2‎‎=mx，求出m=4‎，即可得到C的方程． ‎(2)‎点F的坐标为‎(1,0)‎，设l‎1‎的方程为y=x+b利用点到直线的距离公式求解b，然后求解M的坐标． ‎(3)‎设l的方程为x=ty+2‎，P(y‎1‎‎2‎‎4‎,y‎1‎)‎，Q(y‎2‎‎2‎‎4‎,y‎2‎)‎，由y‎2‎‎=4xx=ty+2‎，利用韦达定理，转化求解即可． 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查转化思想以及计算能力． ‎ 1. 设椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右焦点分别为F‎1‎、F‎2‎，过点F‎1‎的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为‎60‎‎∘‎，‎△ABF‎2‎的周长是焦距的3倍． ‎(1)‎求椭圆C的离心率； ‎(2)‎若‎|AF‎1‎|=λ|BF‎1‎|(λ>1)‎，求λ的值．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎由椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右焦点分别为F‎1‎、F‎2‎， 过点F‎1‎的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为‎60‎‎∘‎， ‎△ABF‎2‎的周长是焦距的3倍知：‎4a=6c----------------‎(3‎分‎)‎ ‎∴e=‎‎2‎‎3‎----------------‎(4‎分‎)‎ ‎(2)∵|AF‎1‎|=λ|BF‎1‎|‎，‎∴F‎1‎A=λBF‎1‎， 直线l的方程为y=‎3‎(x+c)‎， 设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎， 则‎(x‎1‎+c‎1‎,y‎1‎)=λ(-c-x‎2‎,-y‎2‎)‎， ‎∴y‎1‎=-λy‎2‎-----------------‎(6‎分‎)‎ ‎∵e=‎2‎‎3‎∴a‎2‎=‎‎9‎‎4‎c‎2‎，b‎2‎‎=‎‎5‎‎4‎c‎2‎， ‎∴‎椭圆C的方程为‎20x‎2‎+36y‎2‎=45‎c‎2‎， 由‎20x‎2‎+36y‎2‎=45‎c‎2‎y=‎3‎(x+c)‎得‎128y‎2‎-40‎3‎cy-75c‎2‎=0(*)‎-----------------‎(8‎分‎)‎ ‎∴y‎1‎+y‎2‎=‎‎40‎3‎c‎128‎，y‎1‎y‎2‎‎=‎‎-75‎c‎2‎‎128‎，------------------‎(9‎分‎)‎ ‎∴(1-λ)y‎2‎=‎40‎3‎c‎128‎-λy‎2‎‎2‎=‎‎-75‎c‎2‎‎128‎， ‎∴‎(1-λ‎)‎‎2‎λ=‎‎1‎‎2‎-----------------‎(11‎分‎)‎ ‎∴λ=‎‎1‎‎2‎或λ=2‎， 又λ>1‎，‎∴λ=2‎------------‎(12‎分‎)‎ ‎【解析】‎(1)‎由题知，‎△ABF‎2‎的周长是焦距的3倍‎.4a=6c，然后求解离心率． ‎(2)‎推出F‎1‎A‎=λBF‎1‎，直线l的方程为y=‎3‎(x+c)‎，设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎，推出椭圆C的方程为‎20x‎2‎+36y‎2‎=45‎c‎2‎由‎20x‎2‎+36y‎2‎=45‎c‎2‎y=‎3‎(x+c)‎通过韦达定理，转化求解即可． 本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． ‎