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- 2021-06-23 发布
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2016-2017学年重庆市万州二中高二(下)入学数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.选出正确的答案,并将其字母代号填在答题卡规定的位置上.
1.直线的倾斜角α=( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.直线x+(1+m)y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行,则m的值为( )
A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D.﹣
3.设a,b∈R,则“a>b”是“|a|>|b|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知椭圆+=1的一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4,那么点M到椭圆的另一个焦点的距离等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.在空间给出下列命题(设α、β表示平面,l表示直线,A,B,C表示点)其中真命题有( )
(1)若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,则l⊂α
(2)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
(3)若l⊄α,A∈l,则A∉α
(4)若A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共线,则α与β重合.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.(文)圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0与直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能
7.一几何体的三视图如图,则它的体积是( )
A. B. C. D.
8.直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为( )
A.2 B.ln2+1 C.ln2﹣1 D.ln2
9.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )
A. x±y=0 B.x±y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0
10.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点E是AB上一点,当二面角P﹣EC﹣D的平面角为时,AE=( )
A.1 B. C.2﹣ D.2﹣
11.设双曲线为双曲线F的焦点.若双曲线F存在点M,满足(O为原点),则双曲线F的离心率为( )
A. B. C. D.
12.四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥面PAB,BC⊥面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是( )
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分
C.球的一部分 D.抛物线的一部分
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)把答案填写在答题卡相应位置上.
13.双曲线﹣y2=1的离心率等于 .
14.若A(1,﹣2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为 .
15.已知点P(x,y)满足x2﹣8x+y2﹣4y+16≤0,则的取值范围是 .
16.已知点M是y=上一点,F为抛物线的焦点,A在C:(x﹣1)2+(y﹣4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为 .
三.解答题(本大题共6小题,共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.
17.已知命题p:方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:双曲线﹣=1的离心率e∈(1,2),若p且q为假,p 或 q为真,求实数m的取值范围.
18.点P(0,4)关于x﹣y+3=0的对称点Q在直线l上,且l与直线3x﹣y+2=0平行
(1)求直线l的方程
(2)求圆心在直线l上,与x轴相切,且被直线x﹣2y=0截得的弦长为4的圆的方程.
19.如图(1),边长为2的正方形ABEF中,D,C分别为EF,AF上的点,且ED=CF,现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图(2)的图形,再将△BEC,△CDF,△ABD沿BC,CD,BD折起,使E,F,A三点重合于点A′.
(1)求证:BA′⊥CD;
(2)求四面体B﹣A′CD体积的最大值.
20.经过双曲线x2﹣=1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB.求:
(1)线段AB的长;
(2)设F2为右焦点,求△F2AB的周长.
21.如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.
22.椭圆C: +=1(a>b>0),作直线l交椭圆于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,设直线l的斜率为k1,直线OM的斜率为k2
,k1k2=﹣.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设直线l与x轴交于点D(﹣,0),且满足=2,当△OPQ的面积最大时,求椭圆C的方程.
2016-2017学年重庆市万州二中高二(下)入学数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.选出正确的答案,并将其字母代号填在答题卡规定的位置上.
1.直线的倾斜角α=( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【考点】直线的倾斜角.
【分析】先由直线的方程求出斜率,再根据倾斜角的正切值等于斜率,再结合倾斜角的范围求出倾斜角.
【解答】解:直线的斜率等于﹣,即直线倾斜角的正切值是﹣,又倾斜角大于或等于0度且小于180°,
故直线的倾斜角为150°,
故选 D.
2.直线x+(1+m)y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行,则m的值为( )
A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D.﹣
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】由直线平行可得1×2﹣(1+m)m=0,解方程排除重合可得.
【解答】解:∵直线x+(1+m)y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行,
∴1×2﹣(1+m)m=0,解得m=1或﹣2,
当m=﹣2时,两直线重合.
故选:A.
3.设a,b∈R,则“a>b”是“|a|>|b|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:若a=1,b=﹣2,满足a>b,但|a|>|b|不成立,
若a=﹣2,b=1,满足|a|>|b|,但a>b不成立,
即“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件,
故选:D.
4.已知椭圆+=1的一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4,那么点M到椭圆的另一个焦点的距离等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用椭圆的定义即可得出.
【解答】解:由椭圆+=1,可得a=4.
设点M到椭圆的另一个焦点的距离等于d,则d+4=2a=8,解得d=4.
故选:B.
5.在空间给出下列命题(设α、β表示平面,l表示直线,A,B,C表示点)其中真命题有( )
(1)若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,则l⊂α
(2)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
(3)若l⊄α,A∈l,则A∉α
(4)若A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共线,则α与β重合.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】平面的基本性质及推论.
【分析】在(1)中,由公理一知l⊂α;在(2)中,由公理二知α∩
β=AB;在(3)中,A∉α或A∈α;在(4)中,由公理二得α与β重合.
【解答】解:在(1)中,若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,则由公理一知l⊂α,故(1)正确;
在(2)中,A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则由公理二知α∩β=AB,故(2)正确;
在(3)中,若l⊄α,A∈l,则A∉α或A∈α,故(3)错误;
在(4)中,若A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共线,
则由公理二得α与β重合,故(4)正确.
故选:C.
6.(文)圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0与直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】观察动直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)可知直线恒过点(1,﹣2),然后判定点(1,﹣2)在圆内,从而可判定直线与圆的位置关系.
【解答】解:直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0恒过(1,﹣2)
而12+(﹣2)2﹣2×1+4×(﹣2)﹣4=﹣9<0
∴点(1,﹣2)在圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0内
则直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0与圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交
故选C.
7.一几何体的三视图如图,则它的体积是( )
A. B. C. D.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】几何体是一个简单组合体,上面是一个圆锥,圆锥的高是a,底面直径是2a,这些都比较好看出,再根据圆锥的体积公式,得到结果,下面是一个特正方体,棱长是a,做出体积把两个体积相加得到结果.
【解答】解:由三视图知,几何体是一个简单组合体,
上面是一个圆锥,圆锥的高是a,底面直径是2a,
∴圆锥的体积是=,
下面是一个棱长是a的正方体,
正方体的体积是a3,
∴空间几何体的体积是,
故选A.
8.直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为( )
A.2 B.ln2+1 C.ln2﹣1 D.ln2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】欲实数b的大小,只须求出切线方程即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,最后求出切线方程与已知直线方程对照即可.
【解答】解:y′=(lnx)′=,令得x=2,
∴切点为(2,ln2),
代入直线方程y=x+b,
∴ln2=×2+b,
∴b=ln2﹣1.
故选:C.
9.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )
A. x±y=0 B.x±y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】通过椭圆与双曲线的方程可得各自的离心率,化简即得结论.
【解答】解:∵椭圆C1的方程为+=1,
∴椭圆C1的离心率e1=,
∵双曲线C2的方程为﹣=1,
∴双曲线C2的离心率e2=,
∵C1与C2的离心率之积为,
∴•=,
∴==1﹣,
又∵a>b>0,∴=,
故选:B.
10.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥
平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点E是AB上一点,当二面角P﹣EC﹣D的平面角为时,AE=( )
A.1 B. C.2﹣ D.2﹣
【考点】二面角的平面角及求法.
【分析】过点D作DF⊥CE于F,连接PF,由三垂线定理证出DF⊥CE,从而∠PFD为二面角P﹣EC﹣D的平面角,即∠PFD=.等腰Rt△PDF中,得到PD=DF=1.矩形ABCD中,利用△EBC与△CFD相似,求出EC=2,最后在Rt△BCE中,根据勾股定理,算出出BE=,从而得出AE=2﹣.
【解答】解:过点D作DF⊥CE于F,连接PF
∵PD⊥平面ABCD,∴DF是PF在平面ABCD内的射影
∵DF⊥CE,
∴PF⊥CE,可得∠PFD为二面角P﹣EC﹣D的平面角,即∠PFD=
Rt△PDF中,PD=DF=1
∵矩形ABCD中,△EBC∽△CFD
∴=,得EC==2
Rt△BCE中,根据勾股定理,得BE==
∴AE=AB﹣BE=2﹣
故选:D
11.设双曲线为双曲线F的焦点.若双曲线F存在点M,满足(O为原点),则双曲线F的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题设条件结合双曲线性质推导出|MF1|=4a,|MO|=|MF2|=2a,取OF2的中点N,连结MN,得到MN⊥F1F2,且ON=,F1N=,把x=代入双曲线F,求出MN=,由此能求出双曲线的离心率.
【解答】双曲线F存在点M,满足(O为原点),
∴|MF1|=4a,|MO|=|MF2|=2a,
取OF2的中点N,连结MN,
则MN⊥F1F2,且ON=,F1N=,
把x=代入双曲线F,
得,
解得MN=|y|=,
∵|MF1|2=|F1N|2+|MN|2,
∴16a2=+,
整理,得e4+4e2﹣60=0,
解得e2=6,或e2=﹣10(舍),
∴e=.
故选:C.
12.四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥面PAB,BC⊥面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是( )
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分
C.球的一部分 D.抛物线的一部分
【考点】轨迹方程.
【分析】以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,写出点A,B的坐标,根据条件得出Rt△APD∽Rt△CPB,
进而得出.,设出点P的坐标,利用两点间的距离公式,代入上式化简,根据轨迹方程,即可得到结论.
【解答】解:在平面PAB内,
以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.
设点P(x,y),则由题意可得 A(﹣3,0),B(3,0).
∵AD⊥α,BC⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,
∴Rt△APD∽Rt△CPB,
∴.
即 BP2=4AP2,故有(x﹣3)2+y2=4[(x+3)2+y2],
整理得:(x+5)2+y2=16,表示一个圆.
由于点P不能在直线AB上(否则,不能构成四棱锥),
故点P的轨迹是圆的一部分,
故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)把答案填写在答题卡相应位置上.
13.双曲线﹣y2=1的离心率等于 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据双曲线的方程,求出a,b,c,即可求出双曲线的离心率.
【解答】解:由双曲线的方程可知a2=4,b2=1,
则c2=a2+b2=4+1=5,
则a=2,c=,
即双曲线的离心率e==,
故答案为:
14.若A(1,﹣2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为 (0,0,3) .
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】由点P在z轴上且到A、B两点的距离相等,可设出点P(0,0,z),由两点间的距离公式建立方程求解即可得到点M的坐标.
【解答】解:设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z﹣1)2=4+4+(z﹣2)2,
解得z=3,
故点P的坐标为(0,0,3),
故答案为:(0,0,3).
15.已知点P(x,y)满足x2﹣8x+y2﹣4y+16≤0,则的取值范围是 [0,] .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】将已知条件中不等式x2﹣8x+y2﹣4y+16≤0进行化简,得(x﹣4)2+(y﹣2)2≤4,则(x,y)表示圆(x﹣4)2+(y﹣2)2=4及其内部的点,由表示两点(x,y),(0,0)的斜率k,当直线y=kx与圆相切时k取最大最小值.根据圆心到直线的距离等于半径确定的最大最小值.
【解答】解:∵不等式x2﹣8x+y2﹣4y+16≤0可化简为:(x﹣4)2+(y﹣2)2≤4,
则(x,y)表示圆(x﹣4)2+(y﹣2)2=4及其内部的点,
∵可看做为两点(x,y),(0,0)连线的斜率,
设,
即kx﹣y=0,
当直线与圆相切时,k取最大最小值,此时,圆心到直线的距离d=r,
即,
解得:k=0,或k=,
∴的取值范围是[].
16.已知点M是y=上一点,F为抛物线的焦点,A在C:(x﹣1)2+(y﹣4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为 4 .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置,然后根据三点共线求出相应的点的坐标,进一步求出最小值.
【解答】
解:如上图所示
利用抛物线的定义知:MP=MF
当M、A、P三点共线时,|MA|+|MF|的值最小
即:CM⊥x轴
CM所在的直线方程为:x=1与y=建立方程组解得:M(1,)
|CM|=4﹣
点M到圆C的最小距离为:|CM|﹣|AC|=3
抛物线的准线方程:y=﹣1
则:,|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4
故答案为:4
三.解答题(本大题共6小题,共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.
17.已知命题p:方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:双曲线﹣=1的离心率e∈(1,2),若p且q为假,p 或 q为真,求实数m的取值范围.
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】根据椭圆和双曲线的简单性质,判断出命题p,q的真假,进而根据命题命题真假判断的真值表,得到答案.
【解答】(本题满分12分)
解:若P真,则1﹣m>2m>0,解得0<m< …
若q真,则1<<4,解得0<m<15;…
若p真q假,则,解集为空集,…
p假q真,则,解得,…
故. …
18.点P(0,4)关于x﹣y+3=0的对称点Q在直线l上,且l与直线3x﹣y+2=0平行
(1)求直线l的方程
(2)求圆心在直线l上,与x轴相切,且被直线x﹣2y=0截得的弦长为4的圆的方程.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)求出点(0,4)关于x﹣y+3=0的对称点,利用l与直线3x﹣y+2=0平行,即可求直线l的方程
(2)利用待定系数法,即可求出圆的方程.
【解答】解:(1)设点Q(m,n)为点(0,4)关于x﹣y+3=0的对称点.
则
解得m=1,n=3,即Q(1,3).
由l与直线3x﹣y+2=0平行,得l的斜率为3.
又Q(1,3)在直线l上,
所以直线l的方程为y﹣3=3(x﹣1),即3x﹣y=0.
(2)设圆的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0).
由题意得
解得或.
∴圆的方程为(x+1)2+(y+3)2=9或(x﹣1)2+(y﹣3)2=9.
19.如图(1),边长为2的正方形ABEF中,D,C分别为EF,AF上的点,且ED=CF,现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图(2)的图形,再将△BEC,△CDF,△ABD沿BC,CD,BD折起,使E,F,A三点重合于点A′.
(1)求证:BA′⊥CD;
(2)求四面体B﹣A′CD体积的最大值.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.
【分析】(1)通过折叠前与折叠后直线与直线的垂直,证明BA′⊥平面A′CD,然后证明BA′⊥CD.
(2)设A′C=x(0<x<2),得到A′D=2﹣x.求出S△A′CD=x(2﹣x).然后推出VB﹣A′CD的表达式,利用二次函数求出体积最大值.
【解答】(1)证明:折叠前,BE⊥EC,BA⊥AD,折叠后BA′⊥A′C,BA′⊥A′D,
又A′C∩A′D=A′,
所以BA′⊥平面A′CD,
因为CD⊂平面A′CD,
因此BA′⊥CD.
(2)解:设A′C=x(0<x<2),则A′D=2﹣x.因此S△A′CD=x(2﹣x).
∴VB﹣A′CD=S△A′CD==.
所以当x=1时,四面体B﹣A′CD体积的最大值为.
20.经过双曲线x2﹣=1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB.求:
(1)线段AB的长;
(2)设F2为右焦点,求△F2AB的周长.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】(1)求出双曲线的焦点坐标,求出直线的斜率,利用点斜式求出直线方程;将直线的方程代入双曲线的方程,利用两点的距离公式求出|AB|.
(2)求出|BF2|,|AF2|,即可得到△F2AB的周长.
【解答】解:(1)∵双曲线的左焦点为F1(﹣2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB的方程可设为y=(x+2),代入方程x2﹣=1得,8x2﹣4x﹣13=0,
∴x1+x2=,x1x2=﹣,
∴|AB|=|x1﹣x2|=3;
(2)|F1A|=|x1﹣(﹣2)|=
由双曲线的定义得|BF2|=|BF1|﹣2=|AB|+|AF1|﹣2=1+
|AF2|=|AF1|+2=2+,
∴△F2AB的周长为3+3.
21.如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角.
【分析】(1)以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
(2)分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量,利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值,再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.
【解答】解:(1)以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz,
则由题意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),
A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),
∴, =(1,﹣1,﹣4),
∴cos<>===,
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)是平面ABA1的一个法向量,
设平面ADC1的法向量为,
∵,
∴,取z=1,得y=﹣2,x=2,
∴平面ADC1的法向量为,
设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ,
∴cosθ=|cos<>|=||=,
∴sinθ==.
∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为.
22.椭圆C: +=1(a>b>0),作直线l交椭圆于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,设直线l的斜率为k1,直线OM的斜率为k2,k1k2=﹣.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设直线l与x轴交于点D(﹣,0),且满足=2,当△OPQ的面积最大时,求椭圆C的方程.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),代入椭圆方程,作差,结合直线的斜率公式和中点坐标公式,即可得到b2=a2,运用离心率公式可得所求;
(2)椭圆C的方程为:2x2+3y2=6c2,设直线l的方程为:,代入椭圆方程,运用韦达定理,再由向量共线的坐标表示,求得三角形的面积,化简运用基本不等式可得最大值,即可得到所求椭圆方程.
【解答】解:(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
代入椭圆C的方程有:,
两式相减:,
即,
直线l的斜率为k1,直线OM的斜率为k2,
可得k1=,k2=,
即有,
即b2=a2,c2=a2﹣b2=a2,
可得;
(2)由(1)知,得a2=3c2,b2=2c2,
可设椭圆C的方程为:2x2+3y2=6c2,
设直线l的方程为:,
代入椭圆C的方程有,
因为直线l与椭圆C相交,所以△=48m2﹣4(2m2+3)(6﹣6c2)>0,
由韦达定理:,.
又,所以y1=﹣2y2,代入上述两式有:,
=,
当且仅当时,等号成立,此时c2=5,代入△,有△>0成立,
所以所求椭圆C的方程为:.