数学卷·2018届江西省宜春市高安二中高二上学期第一次段考数学试卷（理科）（b卷） （解析版） 19页

‎2016-2017学年江西省宜春市高安二中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）（B卷）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）‎ ‎1．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1﹣50号，并分组，第一组1﹣5号，第二组6﹣10号，…，第十组46﹣50号，若在第三组中抽得号码为12，则在第八组中抽得号码为（　　）‎ A．37 B．38 C．39 D．40‎ ‎2．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：‎ 年龄x ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 身高y ‎118‎ ‎126‎ ‎136‎ ‎144‎ 由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8+a，则a的值为（　　）‎ A．65 B．74 C．56 D．47‎ ‎3．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有（　　）‎ A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同 C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反 ‎4．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中随机取出两个球，则取出的球的编号之和不大于4的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．执行如图的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A．2 B．﹣3 C． D．‎ ‎6．已知等比数列{an}满足a2+2a1=4，a32=a5，则该数列前20项的和为（　　）‎ A．210 B．210﹣1 C．220﹣1 D．220‎ ‎7．已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（　　）‎ A．﹣ B．﹣5 C．5 D．‎ ‎8．以下有五个结论：‎ ‎①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；‎ ‎②若x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b，则x1+5，x2+5，…，x10+5的平均数为a+5，方差为b+25．；‎ ‎③从总体中抽取的样本（x1，y2），（x2，y2），…，（xn，yn），则回归直线y=bx+a至少过点（x1，y2），（x2，y2），…，（xn，yn）中的某一个点；‎ 其中正确结论的个数有（　　）‎ A．0个 B．1 个 C．2 个 D．3个 ‎9．从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．“至少有一个红球”与“都是黑球”‎ B．“恰有1个黑球”与“恰有2个红球”‎ C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”‎ D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ ‎10．已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为s2=（x12+x22+x32+x42﹣16），则数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为（　　）‎ A．7 B．6 C．4 D．5‎ ‎11．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（　　）‎ A．3 B． C．5 D．7‎ ‎12．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为　　．‎ ‎14．关于x的一元二次方程x2+2（a+1）x﹣（a﹣1）=0的一个根大于1，一个根小于1，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．如图是一容量为100的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为　　．‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=3，Sn+1=4Sn﹣3Sn﹣1（n≥2），若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式2（++…+）＜x2+tx+1恒成立，则实数x的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n．‎ ‎（1）证明：数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和为Tn．‎ ‎18．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．‎ ‎（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；‎ ‎（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．‎ ‎19．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[45，50），第2组[50，55），第3组[55，60），第4组[60，65），第5组[65，70]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．‎ ‎（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．‎ ‎20．下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程=x+；‎ ‎（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ ‎（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）计算回归系数，．公式为．‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+2（a为常数）．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，解关于x的不等式f（x）＜0；‎ ‎（Ⅱ）当a∈R时，解关于x的不等式f（x）＜0．‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对一切正整数n都有．‎ ‎（I）求证：an+1+an=4n+2；‎ ‎（II）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（III）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省宜春市高安二中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）（B卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）‎ ‎1．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1﹣50号，并分组，第一组1﹣5号，第二组6﹣10号，…，第十组46﹣50号，若在第三组中抽得号码为12，则在第八组中抽得号码为（　　）‎ A．37 B．38 C．39 D．40‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（8﹣3）×5，由此能求出结果 ‎【解答】解：这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，‎ 在第三组中抽得号码为12的学生，‎ 则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5=37．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：‎ 年龄x ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 身高y ‎118‎ ‎126‎ ‎136‎ ‎144‎ 由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8+a，则a的值为（　　）‎ A．65 B．74 C．56 D．47‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】先计算样本中心点，代入线性回归方程，可得a的值．‎ ‎【解答】解：由题意， =7.5， =131‎ 代入线性回归直线方程为=8.8+a，‎ 得131=8.8×7.5+a，可得a=65，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有（　　）‎ A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同 C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反 ‎【考点】变量间的相关关系．‎ ‎【分析】根据相关系数知相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．r为正，表示正相关，回归直线方程上升．‎ ‎【解答】解：∵相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，‎ r为负，表示负相关，回归直线方程下降，‎ ‎∴b与r的符号相同．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中随机取出两个球，则取出的球的编号之和不大于4的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】所有的取法共有C42种，用列举法求得取出的球的编号之和不大于4的取法有2种，由此求得取出的球的编号之和不大于4的概率 ‎【解答】解：∵所有的取法共有C42=6种，‎ 取出的球的编号之和不大于4的取法有（1，2）、（1，3）共2种，‎ ‎∴取出的球的编号之和不大于4的概率为=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．执行如图的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A．2 B．﹣3 C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算S的值，并在循环变量k值大于等于2016时，输出累加结果．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 S=2，k=1，S=﹣3，‎ 不满足条件k≥2016，k=2，S=﹣，‎ 不满足条件k≥2016，k=3，S=，‎ 不满足条件k≥2016，k=4，S=2，‎ 不满足条件k≥2016，k=5，S=﹣3，‎ ‎…‎ 观察规律可知，S的取值周期为4，由于2016=504×4，可得 不满足条件k≥2016，k=2016，S=2，‎ 满足条件k≥2016，满足退出循环的条件，‎ 故输出的S值为2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知等比数列{an}满足a2+2a1=4，a32=a5，则该数列前20项的和为（　　）‎ A．210 B．210﹣1 C．220﹣1 D．220‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵a2+2a1=4，a32=a5，‎ ‎∴a1（q+2）=4，a12q4=a1q4，‎ 联立解得a1=1，q=2，‎ ‎∴数列的前20项的和为： =220﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（　　）‎ A．﹣ B．﹣5 C．5 D．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），可得an+1=3an＞0，数列{an}是等比数列，公比q=3．又a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=33×9，再利用对数的运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），‎ ‎∴an+1=3an＞0，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比q=3．‎ 又a2+a4+a6=9，‎ ‎∴=a5+a7+a9=33×9=35，‎ 则log（a5+a7+a9）==﹣5．‎ 故选；B．‎ ‎　‎ ‎8．以下有五个结论：‎ ‎①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；‎ ‎②若x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b，则x1+5，x2+5，…，x10+5的平均数为a+5，方差为b+25．；‎ ‎③从总体中抽取的样本（x1，y2），（x2，y2），…，（xn，yn），则回归直线y=bx+a至少过点（x1，y2），（x2，y2），…，（xn，yn）中的某一个点；‎ 其中正确结论的个数有（　　）‎ A．0个 B．1 个 C．2 个 D．3个 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①中，是计算加权平均数，求出这两个班的数学平均分，判定①错误；‎ ‎②中，x1，x2，…，x10与x1+5，x2+5，…，x10+5的平均数不同，方差相同，判定②错误；‎ ‎③中，根据回归直线y=bx+a的意义判定③错误．‎ ‎【解答】解：对于①，这两个班的数学平均分为，∴①错误；‎ 对于②，x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b时，x1+5，x2+5，…，x10+5的平均数为a+5，方差为b，∴②错误；‎ 对于③，回归直线y=bx+a不一定过点（x1，y2），（x2，y2），…，（xn，yn）中的某一个点，一定过样本中心点（，），∴③错误；‎ ‎∴以上正确的结论没有．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．“至少有一个红球”与“都是黑球”‎ B．“恰有1个黑球”与“恰有2个红球”‎ C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”‎ D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可．‎ ‎【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”不同时发生，‎ 这两个事件是互斥事件且对立事件，∴A不正确；‎ 对于B：事件：“恰有一个黑球”与事件：“恰有两个红球”不能同时发生，‎ 但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是黑球，‎ ‎∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴B正确；‎ 对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，‎ 如：一个红球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴C不正确；‎ 对于D：事件：“至多有一个黑球”与“都是黑球”不能同时发生，‎ 这两个事件不是互斥事件，∴D不正确；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为s2=（x12+x22+x32+x42﹣16），则数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为（　　）‎ A．7 B．6 C．4 D．5‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】由方差的计算公式求出数据x1，x2，x3，x4的平均数，再计算x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数．‎ ‎【解答】解：由方差的计算公式可得：‎ S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]‎ ‎= [x12+x22+…+xn2﹣2（x1+x2+…+xn）•+n2]‎ ‎= [x12+x22+…+xn2﹣2n2+n2]‎ ‎= [x12+x22+…+xn2]﹣2；‎ 且方差s2=（x12+x22+x32+x42﹣16）=（x12+x22+x32+x42）﹣4，‎ 又x1，x2，x3，x4都为正数，‎ 所以=2，‎ 所以数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为+3=5．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（　　）‎ A．3 B． C．5 D．7‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．‎ ‎【解答】解：由题意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴ac=4，c＞0，‎ 则≥2×=3，当且仅当时取等号，‎ 则的最小值是 3．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，而k=表示区域内动点P（x，y）与原点连线的斜率，运动点P可得k的取值范围为[2，4]．不等式a（x2+y2）≥（x+y）2可化为a≥1+，再算出不等式右边的最大值，即可得到实数a的最小值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的△ABC及其内部，‎ 其中A（，），B（1，4），C（2，4）‎ 设k=，表示区域内动点P（x，y）与原点O连线的斜率，‎ 运动点P，可得当P与A重合时，斜率取得最小值为2；‎ 当P与C重合时，斜率取得最大值为4．‎ 因此，k=的取值范围为[2，4]‎ ‎∵不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，‎ ‎∴两边都除以x2+y2，得a≥=1+=1+‎ ‎∵k∈[2，4]，可得∈[，]‎ ‎∴t=1+的取值范围为[，]‎ ‎∵a≥1+对任意k∈[2，4]恒成立，∴a≥（1+）max=‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为　18人　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】设出男同学的人数，可得女同学的人数，根据女同学的概率为，解得x的值，即可求得参加聚会的同学的人数．‎ ‎【解答】解：设男同学有x人，则女同学有x+6人，‎ 由题意可得 =，解得 x=6，‎ 则这个班所有的参加聚会的同学的人数为 2x+6=18人，‎ 故答案为：18人．‎ ‎　‎ ‎14．关于x的一元二次方程x2+2（a+1）x﹣（a﹣1）=0的一个根大于1，一个根小于1，则实数a的取值范围是　a＜﹣4　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】利用二次函数的性质列出不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：一元二次方程x2+2（a+1）x﹣（a﹣1）=0的一个根大于1，一个根小于1，‎ 可得12+2（a+1）﹣（a﹣1）＜0，‎ 解得：a＜﹣4．‎ 故答案为：a＜﹣4．‎ ‎　‎ ‎15．如图是一容量为100的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为　12　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据频率分布直方图，计算数据的中位数即可．‎ ‎【解答】解：根据频率分布直方图，得；‎ ‎∵0.06×5=0.3＜0.5，‎ ‎0.3+0.1×5＞0.5；‎ 令0.3+0.1×x=0.5，‎ 解得x=2；‎ ‎∴中位数是10+2=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=3，Sn+1=4Sn﹣3Sn﹣1（n≥2），若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式2（++…+）＜x2+tx+1恒成立，则实数x的取值范围为　（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】a1=1，a2=3，Sn+1=4Sn﹣3Sn﹣1（n≥2），可得Sn+1﹣Sn=3（Sn﹣Sn﹣1），因此an+1=3an，n=1时也成立．利用等比数列的通项公式可得an=3n﹣1， =，‎ 因此数列是等比数列．利用等比数列的求和公式可得：2（++…+）．由对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式2（++…+）＜x2+tx+1恒成立，可得3≤x2+tx+1，即x2+tx﹣2≥0，令f（t）=xt+x2﹣2，利用一次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，a2=3，Sn+1=4Sn﹣3Sn﹣1（n≥2），‎ ‎∴a1=1，a2=3，Sn+1﹣Sn=3（Sn﹣Sn﹣1），‎ ‎∴an+1=3an，n=1时也成立．‎ ‎∴数列{an}是公比为3的等比数列，首项为1．‎ ‎∴an=3n﹣1．‎ ‎∴=，‎ 因此数列是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎2（++…+）=2×=3﹣．‎ ‎∵对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式2（++…+）＜x2+tx+1恒成立，‎ ‎∴3≤x2+tx+1，‎ 化为x2+tx﹣2≥0，‎ 令f（t）=xt+x2﹣2，‎ 则，解得x≥2或x≤﹣2，‎ ‎∴实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n．‎ ‎（1）证明：数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和为Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）由a1=S1，n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的定义和通项公式即可得到；‎ ‎（2）求得=（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．‎ ‎【解答】（1）证明：Sn=n2+2n，‎ 可得a1=S1=3，‎ n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n+1．‎ 综上可得an=2n+1（n∈N*），‎ 即an﹣an﹣1=2，‎ 则数列{an}是首项为3和公差为2的等差数列，‎ 数列{an}的通项公式an=2n+1；‎ ‎（2）解： ==（﹣），‎ 即有前n项和为Tn=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=（﹣）=．‎ ‎　‎ ‎18．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．‎ ‎（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；‎ ‎（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；茎叶图；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）根据茎叶图所给的两组数据，分别做出这两组数据的平均数，再作出这两组数据的方差，得到甲车间的产品的重量相对较稳定．‎ ‎（2）由题意知本题是一个古典概型的概率，试验发生包含的事件数，可以通过列举得到共有15种结果，而满足条件的事件数也通过列举得到，两个做比值得到概率．‎ ‎【解答】解：（1），‎ ‎=21，‎ ‎=，‎ ‎∵=，S甲2＜S乙2，‎ ‎∴甲车间的产品的重量相对较稳定．‎ ‎（2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，．‎ 设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，‎ 则A的基本事件有4种：，，，．‎ 故所求概率为．‎ ‎　‎ ‎19．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[45，50），第2组[50，55），第3组[55，60），第4组[60，65），第5组[65，70]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．‎ ‎（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（I）根据频率分布直方图求出各组学生数之比，再根据分层抽样按比例抽得各组学生数即可；‎ ‎（II）根据古典概型的计算公式，先求从6名学生抽得2名学生的所有可能情形，再求符合要求的可能情形，根据公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3：2：1．‎ 所以，每组抽取的人数分别为：‎ 第3组：×6=3；第4组： =2；第5组： =1．‎ ‎∴从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生． ‎ ‎（Ⅱ）记第3组的3位同学为①，②，③；第4组的2位同学为A，B；第5组的1位同学为C． ‎ 则从6位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：（①，②），（①，③），（①，A），（①，B），（①，C），（②，③），（②，A），（②，B），（②，C），（③，A），‎ ‎（③，B），（③，C），（A，B），（A，C），（B，C）共15种可能．‎ 其中，（①，②），（①，③），（②，③），（A，B）四种为2名学生在同一组，‎ ‎∴有11种可能符合2名学生不在同一组的要求，‎ ‎∴所求概率P=．‎ ‎　‎ ‎20．下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程=x+；‎ ‎（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ ‎（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）计算回归系数，．公式为．‎ ‎【考点】回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】（1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．‎ ‎（2）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量．‎ ‎【解答】解：（1）==4.5， ==3.5，‎ ‎=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，‎ ‎=32+42+52+62=86，‎ ‎∴===0.7，‎ ‎=3.5﹣0.7×4.5=0.35．‎ ‎∴所求的回归方程为=0.7x+0.35．‎ ‎（2）现在生产100吨甲产品用煤 ‎=0.7×100+0.35=70.35，∴90﹣70.35=19.65．‎ ‎∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+2（a为常数）．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，解关于x的不等式f（x）＜0；‎ ‎（Ⅱ）当a∈R时，解关于x的不等式f（x）＜0．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）a=1时，x2﹣3x+2＜0，解得即可，‎ ‎（Ⅱ）原不等式等价为（ax﹣2）（x﹣1）＜0．对a经行分类讨论，即可求出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）a=1时，x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2，故不等式的解集为（1，2）‎ ‎（Ⅱ）x的不等式f（x）＜0等价为（ax﹣2）（x﹣1）＜0．‎ ‎（1）当a=0时，原不等式为﹣（x﹣1）＜0，解得x＞1．即原不等式的解集为（1，+∞）．‎ ‎（2）若a＞0，则原不等式可化为（x﹣）（x﹣1）＜0，‎ 对应方程的根为x=1或x=．‎ 当＞1，即0＜a＜2时，不等式的解为1＜x＜．‎ 当a=2时，不等式的解集为空集．‎ 当＜1，即a＞2时，不等式的解为＜x＜1．‎ ‎（3）若a＜0，则原不等式可化为（x﹣）（x﹣1）＞0，‎ 所以＜1，所以不等式的解为x＞1或x＜．‎ 综上：（1）当a=0时，不等式的解集为（1，+∞）．‎ ‎（2）0＜a＜2时，不等式的解集为（1，）．‎ 当a=2时，不等式的解集为空集．‎ 当a＞2时，不等式的解集为（，1）．‎ 当a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）‎ ‎　‎ ‎22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对一切正整数n都有．‎ ‎（I）求证：an+1+an=4n+2；‎ ‎（II）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（III）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差关系的确定．‎ ‎【分析】（I）由，知，由此能够导出．‎ ‎（II）在中，令n=1，得a1=2，代入（I）得a2=4．由an+1+an=4n+2，知an+2+an+1=4n+6，故an+2﹣an=4，由此能导出数列{an}的通项公式是an=2n．‎ ‎（III）＜等价于，令f（n）=，则f（n）＞0，由此能够导出存在实数a，符合题意，并能求出其取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）∵，‎ ‎∴‎ ‎=，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎（II）在中，‎ 令n=1，得a1=2，代入（I）得a2=4．‎ ‎∵an+1+an=4n+2，∴an+2+an+1=4n+6，‎ 两式相减，得：an+2﹣an=4，‎ ‎∴数列{an}的偶数项a2，a4，a6，…，a26，…依次构成一个等差数列，‎ 且公差为d=4，‎ ‎∴当n为偶数时， =，‎ 当n为奇数时，n+1为偶数，由上式及（I）知：‎ an=4n+2﹣an+1=4n+2﹣2（n+1）=2n，‎ ‎∴数列{an}的通项公式是an=2n．‎ ‎（III）＜，‎ 等价于，‎ 令f（n）=，‎ 则由（II）知f（n）＞0，‎ ‎∴‎ ‎═‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∴f（n+1）＜f（n），即f（n）的值随n的增大而减小，‎ ‎∴n∈N*时，f（n）的最大值为，若存在实数a，符合题意，‎ 则必有：，‎ 即，‎ 它等价于，‎ 解得，或，‎ 因此，存在实数a，符合题意，‎ 其取值范围为．‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日