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2016-2017学年广东省清远市清城区高二(上)期末数学试卷(理科A卷)
一、选择题(60分,每题5分)
1.i是虚数单位,复数=( )
A.1﹣i B.﹣1+i C. +i D.﹣ +i
2.变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+3y的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.设p:x2﹣3x+2>0,q:>0,则p是q( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=log0.5(x2﹣4)的单调减区间为( )
A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(2,+∞)
5.如图所示,函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上,则f(x)=( )
A. B. C. D.
6.二项式(a>0)的展开式的第二项的系数为﹣,则
dx的值为( )
A.3或 B. C.3 D.3或
7.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为( )
A.10+4+4 B.10+2+4 C.14+2+4 D.14+4+4
8.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( )
A.150 B.180 C.200 D.280
9.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如表),由最小二乘法求得回归直线方程=0.72x+58.4.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y
71
76
79
89
表中有一个数据模糊不清,经推断,该数据的准确值为( )
A.85 B.86 C.87 D.88
10.(3x﹣)5的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中常数项为( )
A.2520 B.1440 C.﹣1440 D.﹣2520
11.圆柱的底面半径为r,其全面积是侧面积的倍.O是圆柱中轴线的中点,若在圆柱内任取一点P,则使|PO|≤r的概率为( )
A. B. C. D.
12.下列四个命题中,正确的有( )
①两个变量间的相关系数r越小,说明两变量间的线性相关程度越低;
②命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“对∀x∈R,均有x2+x+1>0”;
③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件;
④若函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0,则a=2,b=9或a=1,b=3.
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3个
二、填空题(20分,每题5分)
13.已知向量=(2,1),=(x,﹣1),且﹣与共线,则x的值为 .
14.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)= .
15.已知函数f(x)=+2ax﹣lnx,若f(x)在区间上是增函数,则实数a的取值范围是 .
16.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上,则双曲线的方程为 .
三、解答题(70分)
17.(12分)如图所示,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,侧面ABB1A1为菱形,∠DAB=∠DAA1.
(Ⅰ)求证:A1B⊥BC;
(Ⅱ)若AD=AB=3BC,∠A1AB=60°,点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小.
18.(12分)已知椭圆C1:
的离心率为,焦距为,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点F是椭圆C1的顶点.
(Ⅰ)求C1与C2的标准方程;
(Ⅱ)C1上不同于F的两点P,Q满足,且直线PQ与C2相切,求△FPQ的面积.
19.(12分)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;
(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.
20.(12分)国家“十三五”计划,提出创新兴国,实现中国创新,某市教育局为了提高学生的创新能力,把行动落到实处,举办一次物理、化学综合创新技能大赛,某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩(x)和化学成绩(y)进行回归分析,求得回归直线方程为y=1.5x﹣35.由于某种原因,成绩表(如表所示)中缺失了乙的物理和化学成绩.
甲
乙
丙
丁
物理成绩(x)
75
m
80
85
化学成绩(y)
80
n
85
95
综合素质
(x+y)
155
160
165
180
(1)请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n;
(2)在全市物理化学科技创新比赛中,由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共举行3场比赛,每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛,每场比赛所抽的选手中,只要有一名选手的综合素质分高于160分,就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章.若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ,试根据上表所提供数据,预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望.
21.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠
BAD=60°,侧面SAB⊥底面ABCD,并且SA=SB=AB=2,F为SD的中点.
(1)求三棱锥S﹣FAC的体积;
(2)求直线BD与平面FAC所成角的正弦值.
22.(10分)已知函数f(x)=|x﹣m|﹣|x﹣2|.
(1)若函数f(x)的值域为[﹣4,4],求实数m的值;
(2)若不等式f(x)≥|x﹣4|的解集为M,且[2,4]⊆M,求实数m的取值范围.
2016-2017学年广东省清远市清城区高二(上)期末数学试卷(理科A卷)
参考答案与试题解析
一、选择题(60分,每题5分)
1.i是虚数单位,复数=( )
A.1﹣i B.﹣1+i C. +i D.﹣ +i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解: =,
故选:C.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.
2.变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+3y的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】简单线性规划.
【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x+3y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可.
【解答】解:变量x,y满足约束条件,画出图形:
目标函数z=x+3y经过点A(1,1),
z在点A处有最小值:z=1+3×1=4,
故选:C.
【点评】本题主要考查了简单的线性规划,将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解,是常用的一种方法.
3.设p:x2﹣3x+2>0,q:>0,则p是q( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】分别求出关于p,q的不等式的解,结合集合的包含关系,判断即可.
【解答】解:关于p:x2﹣3x+2>0,解得:x>2或x<1,
关于q:>0,解得:x>2或x<﹣2或﹣1<x<1,
则p是q的必要不充分条件,
故选:B.
【点评】本题考查了充分必要条件,考查解不等式问题,是一道基础题.
4.函数f(x)=log0.5(x2﹣4)的单调减区间为( )
A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(2,+∞)
【考点】复合函数的单调性.
【分析】令t=x2﹣4>0,求得函数的定义域,且y=log0.5t,再利用二次函数的性质求得t在定义域内的单调增区间,即为函数f(x)的减区间.
【解答】解:令t=x2﹣4>0,求得x>2或x<﹣2,故函数的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),
且y=log0.5t,
故本题即求函数t在定义域内的单调增区间.
由于函数t在定义域内的单调增区间为(2,+∞),
故函数f(x)的减区间为(2,+∞),
故选:D.
【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质,复合函数的单调性,体现了转化的数学思想,属于中档题.
5.如图所示,函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上,则f(x)=( )
A. B. C.
D.
【考点】正弦函数的图象.
【分析】根据题意,令y=0,求出点(﹣,0)在函数f(x)的图象上,再令y=1,求出点(,1)在函数f(x)的图象上,从而求出φ与ω的值,即可得出f(x)的解析式.
【解答】解:根据题意,函数f(x)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上,
令y=0,得﹣x2+x+1=0,
解得x=﹣或x=1;
∴点(﹣,0)在函数f(x)的图象上,
∴﹣ω+φ=0,即φ=ω①;
又令ωx+φ=,得ωx=﹣φ②;
把①代入②得,x=﹣③;
令y=1,得﹣x2+x+1=1,
解得x=0或x=;
即﹣=,
解得ω=π,
∴φ=ω=,
∴f(x)=sin(x+).
故选:C.
【点评】本题考查了解函数y=sin(ωx+φ)以及二次函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.
6.二项式(a>0)的展开式的第二项的系数为﹣
,则dx的值为( )
A.3或 B. C.3 D.3或
【考点】二项式系数的性质.
【分析】二项式(a>0)的展开式的通项公式T2==a2x2.由于第二项的系数为﹣,可得=﹣,即a2=1,解得a,再利用微积分基本定理即可得出.
【解答】解:二项式(a>0)的展开式的通项公式T2==a2x2.
∵第二项的系数为﹣,
∴=﹣,
∴a2=1,a>0,解得a=1.
当a=1时,则dx===3.
故选:C.
【点评】本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
7.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为( )
A.10+4+4 B.10+2+4 C.14+2+4 D.14+4+4
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图画出几何体的直观图,再根据面积公式求解.
【解答】解:根据几何体的三视图,几何体为四棱锥,直观图如图:
底面是上、下底边长分别为2、4,高为2的梯形,
S梯形=(2+4)×2=6;
S侧面=×2×2+×2×2+×4×2+×2×=4+4+2,
S全=10+4+2.
故选B
【点评】本题考查几何体的三视图及几何体的面积.
8.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( )
A.150 B.180 C.200 D.280
【考点】计数原理的应用.
【分析】根据题意,分析可得人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3,分别计算两种情况下的情况数目,相加可得答案.
【解答】解:人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3.
若是1,1,3,则有C53×A33=60种,
若是1,2,2,则有×A33=90种
所以共有150种不同的方法.
故选:A.
【点评】本题考查排列、组合的运用,难点在于分组的情况的确定.
9.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如表),由最小二乘法求得回归直线方程=0.72x+58.4.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y
71
76
79
89
表中有一个数据模糊不清,经推断,该数据的准确值为( )
A.85 B.86 C.87 D.88
【考点】线性回归方程.
【分析】根据表中所给的数据,做出横标和纵标的平均数,得到样本中心点,根据由最小二乘法求得回归方程=0.72x+58.4.代入样本中心点求出该数据的值,
【解答】解:设表中有一个模糊看不清数据为m.
由表中数据得: =30, =63+,
由于由最小二乘法求得回归方程=0.72x+58.4.
将=30, =63+,代入回归直线方程,得63+=0.72×30+58.4,
∴m=85.
故选:A
【点评】本题考查线性回归方程的应用,解题的关键是正确应用线性回归方程进行预测.
10.(x+)(3x﹣)5的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中常数项为( )
A.2520 B.1440 C.﹣1440 D.﹣2520
【考点】二项式定理的应用.
【分析】根据展开式中各项系数的和2求得a的值,再把二项式展开,求得该展开式中常数项.
【解答】解:令x=1可得(x+)(3x﹣)5的展开式中各项系数的和为(a+1)=3,∴a=2.
∴(x+)(3x﹣)5 =(x+)(3x﹣)5
=(x+)(•243x5﹣•162x3+•108x﹣•+•﹣•),
故该展开式中常数项为﹣•72+2•108=1440,
故选:B.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,求二项展开式各项的系数和的方法,属于中档题.
11.圆柱的底面半径为r,其全面积是侧面积的倍.O是圆柱中轴线的中点,若在圆柱内任取一点P,则使|PO|≤r的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】求出圆柱的高是底面半径的2倍,结合图象求出满足条件的概率即可.
【解答】解:如图示:
设圆柱的高是h,
则2πr2+2πrh=•2πrh,
解得:h=2r,
若|PO|≤r,P在以O为圆心,以r为半径的圆内,
∴使|PO|≤r的概率是:p==,
故选:C.
【点评】
本题考查了几何概型问题,考查圆柱、圆的有关公式,是一道基础题.
12.下列四个命题中,正确的有( )
①两个变量间的相关系数r越小,说明两变量间的线性相关程度越低;
②命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“对∀x∈R,均有x2+x+1>0”;
③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件;
④若函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0,则a=2,b=9或a=1,b=3.
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3个
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】根据相关系数的定义可知①错误;根据特称命题(又叫存在性命题)的否定可知②错误;根据真值表即可判断“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件,故③错误;由条件可得,f(﹣1)=0,f'(﹣1)=0,解得a=2,b=9或a=1,b=3,经检验,当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,此时f(x)没有极值点,故④错误.
【解答】解:对于①:相关系数r的绝对值越趋近于1,相关性越强;越趋近于0,相关性越弱,故①错误;
对于②:命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“对∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,故②错误;
对于③:若p∧q为真,则p、q均为真命题,此时p∨q为真,故命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分条件,故③错误;
对于④:f'(x)=3x2+6ax+b,因为f(x)在x=﹣1有极值0,故,解得
经检验,当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),此时f(x)在x=﹣1处取得极小值,符合条件;
当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,此时f(x)没有极值点,故不符合条件;
所以a=2,b=9.故④错误.
故选:A.
【点评】考查了相关系数的概念,特称命题的否定,复合命题的真值表以及导数的应用,对第四个命题中利用导数求出a,b的值后需进行检验.
二、填空题(20分,每题5分)
13.已知向量=(2,1),=(x,﹣1),且﹣与共线,则x的值为 ﹣2 .
【考点】平面向量的坐标运算.
【分析】求出向量﹣,然后利用向量与共线,列出方程求解即可.
【解答】解:向量=(2,1),=(x,﹣1),
﹣=(2﹣x,2),
又﹣与共线,
可得2x=﹣2+x,
解得x=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查向量的共线以及向量的坐标运算,基本知识的考查.
14.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)= 0.16 .
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【分析】根据随机变量X服从正态分布N(2,σ2),看出这组数据对应的正态曲线的对称轴μ=2,根据正态曲线的特点,即可得到结果.
【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,
∵P(ξ≤4)=0.84,
∴P(ξ≥4)=1﹣0.84=0.16,
∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=1﹣P(ξ≤4)=0.16,
故答案为:0.16.
【点评】
本题考查正态分布,正态曲线的特点,若一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服从正态分布.
15.已知函数f(x)=+2ax﹣lnx,若f(x)在区间上是增函数,则实数a的取值范围是 a≥ .
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】由题意,f(x)在区间上是增函数可化为在恒成立,从而再化为最值问题.
【解答】解:∵f(x)在区间上是增函数,
∴在恒成立,
即在恒成立,
∵﹣x+在上是减函数,
∴,
∴即.
故答案为:a≥.
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理与应用,属于中档题.
16.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上,则双曲线的方程为 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】
由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣5,可得双曲线的左焦点为(﹣5,0),再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程平行于直线l:y=2x+10,得a、b的另一个方程,求出a、b,即可得到双曲线的标准方程.
【解答】解:因为抛物线y2=20x的准线方程为x=﹣5,所以由题意知,点F(﹣5,0)是双曲线的左焦点,
所以a2+b2=c2=25,①
又双曲线的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,所以=2,②
由①②解得a2=5,b2=20,
所以双曲线的方程为.
故答案为:.
【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
三、解答题(70分)
17.(12分)(2016秋•清城区期末)如图所示,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,侧面ABB1A1为菱形,∠DAB=∠DAA1.
(Ⅰ)求证:A1B⊥BC;
(Ⅱ)若AD=AB=3BC,∠A1AB=60°,点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小.
【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(Ⅰ)连接AB1、A1D、BD,设AB1交A1B于点O,连OD,推导出△AA1D≌△ABD,从而DO⊥A1B,由菱形的性质知AO⊥A1B,从而A1B⊥平面ADO,进而A1B⊥AD,再由AD∥BC,能证明A1B⊥BC.
(Ⅱ)分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小.
【解答】证明:(Ⅰ)连接AB1、A1D、BD,设AB1交A1B于点O,
连OD,如图所示.
由AA1=AB,∠DAB=∠DAA1,可得△AA1D≌△ABD,
所以A1D=BD,
由于O是线段A1B的中点,所以DO⊥A1B,
又根据菱形的性质知AO⊥A1B,所以A1B⊥平面ADO,
所以A1B⊥AD,又因为AD∥BC,所以A1B⊥BC.…(6分)
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知A1B⊥AB1,
又由题意知DO⊥平面ABB1A1,
故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.
设AD=AB=3BC=3a,
由∠A1AB=60°知,|OA|=|OB1|=,
所以|OD|==,
从而A(0,﹣,0),B(,0,0),B1(0,,0),D(0,0,),
所以.
由=,得,所以.
设平面DCC1D1的一个法向量为=(x0,y0,z0),
由,得,
取y0=1,则,,所以=().
又平面ABB1A1的法向量为,
所以.
故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小为.…(12分)
【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
18.(12分)(2016•常德一模)已知椭圆C1:的离心率为,焦距为,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点F是椭圆C1的顶点.
(Ⅰ)求C1与C2的标准方程;
(Ⅱ)C1上不同于F的两点P,Q满足,且直线PQ与C2相切,求△FPQ的面积.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(I)设椭圆C1的焦距为2c,依题意有,,由此能求出椭圆C1的标准方程;又抛物线C2:x2=2py(p>0)开口向上,故F是椭圆C1的上顶点,由此能求出抛物线C2的标准方程.
(II)设直线PQ的方程为y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,
,联立,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式,结合已知条件能求出△FPQ的面积.
【解答】解:(I)设椭圆C1的焦距为2c,依题意有,,
解得,b=2,故椭圆C1的标准方程为.…(3分)
又抛物线C2:x2=2py(p>0)开口向上,故F是椭圆C1的上顶点,
∴F(0,2),∴p=4,
故抛物线C2的标准方程为x2=8y.…
(II)由题意得直线PQ的斜率存在.设直线PQ的方程为y=kx+m,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,,
∴,…(6分)
即(*)
联立,消去y整理得,(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣12=0(**).
依题意,x1,x2是方程(**)的两根,△=144k2﹣12m2+48>0,
∴,,…(7分)
将x1+x2和x1•x2代入(*)得m2﹣m﹣2=0,
解得m=﹣1,(m=2不合题意,应舍去).…(8分)
联立,消去y整理得,x2﹣8kx+8=0,
令△'=64k2﹣32=0,解得.…(10分)
经检验,,m=﹣1符合要求.
此时,,
∴.…(12分)
【点评】本题考查椭圆标准方程的求法,考查三角形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用.
19.(12分)(2012•山东)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;
(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.
【考点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式.
【分析】(I)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由于A=B++,根据事件的独立性和互斥性可求出所求;
(II)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率,得到分布列,最后利用数学期望公式解之即可.
【解答】解:(I)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D
由题意知P(B)=,P(C)=P(D)=
由于A=B++
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)=P(B)+P()+P()=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)
=×(1﹣)×(1﹣)+(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×(1﹣)×
=
(II)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5
根据事件的对立性和互斥性得
P(X=0)=P()=(1﹣)×(1﹣)×(1﹣)=
P(X=1)=P(B)=×(1﹣)×(1﹣)=
P(X=2)=P(+)=P()+P()=(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×(1﹣)×=
P(X=3)=P(BC)+P(BD)=××(1﹣)+×(1﹣)×=
P(X=4)=P()=(1﹣)××=
P(X=5)=P(BCD)=××=
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的期望,以及分布列和事件的对立性和互斥性,同时考查了计算能力和分析问题的能力,属于中档题.
20.(12分)(2016秋•清城区期末)国家“十三五”计划,提出创新兴国,实现中国创新,某市教育局为了提高学生的创新能力,把行动落到实处,举办一次物理、化学综合创新技能大赛,某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩(x)和化学成绩(y)进行回归分析,求得回归直线方程为y=1.5x﹣35.由于某种原因,成绩表(如表所示)中缺失了乙的物理和化学成绩.
甲
乙
丙
丁
物理成绩(x)
75
m
80
85
化学成绩(y)
80
n
85
95
综合素质
(x+y)
155
160
165
180
(1)请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n;
(2)在全市物理化学科技创新比赛中,由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共举行3场比赛,每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛,每场比赛所抽的选手中,只要有一名选手的综合素质分高于160分,就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章.若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ,试根据上表所提供数据,预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望.
【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(1)求出物理与化学的平均值,代入回归直线方程,然后求解即可.
(2)推出ξ的可能值,求出概率,即可得到分布列,然后求解期望即可.
【解答】解:(1)由已知可得,,因为回归直线 y=1.5x﹣35过点样本中心,
所以,∴3m﹣2n=80,
又m+n=160,解得m=80,n=80.
(2)在每场比赛中,比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ的可能值为:0,1,2,3.
获得一枚荣誉奖章的概率P=1﹣=,ξ~B(3,),P(ξ=0)==;
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
所以预测ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
P
故预测Eξ=nP=3×=.
【点评】本题考查随机变量的分布列以及期望的求法,回归直线方程的应用,考查计算能力.
21.(12分)(2016秋•清城区期末)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,侧面SAB⊥底面ABCD,并且SA=SB=AB=2,F为SD的中点.
(1)求三棱锥S﹣FAC的体积;
(2)求直线BD与平面FAC所成角的正弦值.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角.
【分析】(1)由题意,三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半,取AB的中点O,连接SA,利用体积公式求三棱锥S﹣FAC的体积;
(2)求出D到平面AFC的距离,即可求直线BD与平面FAC所成角的正弦值.
【解答】解:(1)由题意,三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半.
取AB的中点O,连接SO,则SO⊥底面ABCD,SO=,
∵S△DAC==,
∴三棱锥S﹣FAC的体积==;
(2)连接OD,OC,则OC=OD=,∴SC=SD=3,
△SAD中,SA=AD=2,F为SD的中点,∴AF==.
△SCD中,SC=SD=3,CD=2,∴9+4CF2=2(9+4),∴CF=,
△FAC中,cos∠AFC==,
∴sin∠AFC=,
∴S△AFC=×××=
设D到平面AFC的距离为h,则,∴h=,
∴直线BD与平面FAC所成角的正弦值÷=
【点评】本题考查三棱锥S﹣FAC的体积,直线BD与平面FAC所成角的正弦值,考查学生的计算能力,正确求体积是关键.
22.(10分)(2016秋•清城区期末)已知函数f(x)=|x﹣m|﹣|x﹣2|.
(1)若函数f(x)的值域为[﹣4,4],求实数m的值;
(2)若不等式f(x)≥|x﹣4|的解集为M,且[2,4]⊆M,求实数m的取值范围.
【考点】分段函数的应用;函数的值域.
【分析】(1)由不等式的性质得:||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|,即|m﹣2|=4,解得实数m的值;
(2)若不等式f(x)≥|x﹣4|的解集M=(﹣∞,m﹣2]或[m+2,+∞),结合[2,4]⊆M,可求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)由不等式的性质得:||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|
因为函数f(x)的值域为[﹣4,4],
所以|m﹣2|=4,
即m﹣2=﹣4或m﹣2=4
所以实数m=﹣2或6.…
(2)f(x)≥|x﹣4|,即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|
当2≤x≤4时,|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2|⇔|x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2,|x﹣m|≥2,
解得:x≤m﹣2或x≥m+2,
即原不等式的解集M=(﹣∞,m﹣2]或M=[m+2,+∞)