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- 2021-06-23 发布
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考点一 集合的含义与表示
1.元素与集合的关系:
属于
(用符号“∈”表示)和
不属于
(用符号
“
∉
”表示).
2.集合中元素的特性:
确定性
,
互异性
,
无序性
.
3.集合的分类:无限集和有限集.
4.集合的表示方法:
列举法
、
描述法
、
Venn图法
.
5.常见数集及表示符号:
名称
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
*
或N
+
Z
Q
R
考点清单
表示
关系
定义
记法
Venn图示
相等
集合
A
与集合
B
中的所
有元素都相同
A
=
B
子集
集合
A
中任意一个元素
均为集合
B
中的元素
A
⊆
B
或
B
⊇
A
真子集
集合
A
中任意一个元素
均为集合
B
中的元素,且
B
中至少有一个元素不
属于集合
A
A
⫋
B
或
B
⫌
A
考点二 集合间的基本关系
考向基础
空集
空集是任何集合的子
集
⌀⊆
B
空集是任何非空集合
的真子集
⌀⫋
B
(
B
≠
⌀
)
【知识拓展】
设有限集合
A
,card(
A
)=
n
(
n
∈N
*
),则:
(1)
A
的子集个数是
2
n
;
(2)
A
的真子集个数是
2
n
-1
;
(3)
A
的非空子集个数是
2
n
-1
;
(4)
A
的非空真子集个数是
2
n
-2
.
考向一 子集个数的求解
考向突破
例1 若集合
M
满足{1,2}
⫋
M
⊆
{1,2,3,4,5},则集合
M
的个数为
.
解析 解法一:集合
M
中必含有元素1,2,至少含有3,4,5中的一个元素,所以
M
={1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.
解法二:三个集合中都含有元素1,2,三个集合的元素同时去掉1,2,设
M
去掉
元素1,2后的集合为
M
0
,则问题转化为求满足条件
⌀⫋
M
0
⊆
{3,4,5}的集合
M
0
的个数,即求集合{3,4,5}的非空子集的个数,根据公式可得集合
M
0
的个数
为2
3
-1=7,则集合
M
的个数为7.
答案 7
例2 (1)(2020届湖北襄阳四中8月模拟,2)若集合
A
=
,
B
={
x
|
mx
=1},且
B
⊆
A
,则
m
的值为
( )
A.2 B.-3
C.2或-3 D.2或-3或0
(2)(2019河南顶级名校联考,13)已知集合
A
={
x
|
y
=
},
B
={
x
|
a
≤
x
≤
a
+1}.
若
B
⊆
A
,则实数
a
的取值范围为
.
考向二 利用两个集合间的关系求参数的值(取值范围)
解析 (1)∵
B
⊆
A
,
A
=
,
∴
B
=
⌀
或
B
=
或
B
=
.
①当
B
={
x
|
mx
=1}=
⌀
时,
m
=0;
②当
B
={
x
|
mx
=1}=
时,
=-
,得
m
=-3;
③当
B
={
x
|
mx
=1}=
时,
=
,得
m
=2.
综上可知,
m
的值为0或-3或2,故选D.
(2)由题意得
A
={
x
|
y
=
}={
x
|-2
≤
x
≤
2},因为
B
⊆
A
,所以
解得
-2
≤
a
≤
1,即实数
a
的取值范围为[-2,1].
答案 (1)D (2)[-2,1]
考向基础
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A
∪
B
A
∩
B
若全集为
U
,则集合
A
的
补集为
∁
U
A
图形
表示
意义
{
x
|
x
∈
A
,或
x
∈
B
}
{
x
|
x
∈
A
,且
x
∈
B
}
{
x
|
x
∈
U
,且
x
∉
A
}
性质
A
∪
⌀
=
A
;
A
∪
A
=
A
;
A
∪
B
=
B
∪
A
;
A
∪
B
=
A
⇔
B
⊆
A
A
∩
⌀
=
⌀
;
A
∩
A
=
A
;
A
∩
B
=
B
∩
A
;
A
∩
B
=
A
⇔
A
⊆
B
A
∪
(
∁
U
A
)=
U
;
A
∩
(
∁
U
A
)=
⌀
;
∁
U
(
∁
U
A
)=
A
;
∁
U
(
A
∪
B
)=(
∁
U
A
)
∩
(
∁
U
B
);
∁
U
(
A
∩
B
)=(
∁
U
A
)
∪
(
∁
U
B
)
考点三 集合的基本运算
【知识拓展】
集合间的关系:
交集:
(
A
∩
B
)
⊆
A
;(
A
∩
B
)
⊆
B
.
并集:
(
A
∪
B
)
⊇
A
;(
A
∪
B
)
⊇
B
.
考向突破
考向一 集合的运算
例3 (2019湖南重点中学摸底联考,1)已知全集
U
={1,2,3,4,5,6,7},
M
={3,4,
5},
N
={1,3,6},则集合{2,7}=
( )
A.
M
∩
N
B.(
∁
U
M
)
∩
(
∁
U
N
)
C.(
∁
U
M
)
∪
(
∁
U
N
) D.
M
∪
N
解析 解法一:由题意知,2∈
U
,2
∉
N
,2
∉
M
,
所以2∈
∁
U
M
,2∈
∁
U
N
,所以2∈(
∁
U
M
)
∩
(
∁
U
N
).
而7∈
U
,7
∉
M
,7
∉
N
,
所以7∈
∁
U
M
,7∈
∁
U
N
,所以7∈(
∁
U
M
)
∩
(
∁
U
N
).
综上,易知{2,7}=(
∁
U
M
)
∩
(
∁
U
N
).故选B.
解法二:根据集合
U
,
M
,
N
的关系画出Venn图,如图所示,
所以{2,7}=(
∁
U
M
)
∩
(
∁
U
N
).故选B.
答案 B
考向二 利用集合的运算结果求参数的取值范围
例4 已知集合
A
={
x
|2
≤
x
<7},
B
={
x
|3<
x
≤
10},
C
={
x
|
a
-5<
x
<5},若
C
为非空集
合,且
C
⊆
(
A
∪
B
),则实数
a
的取值范围为
.
解析 ∵
A
={
x
|2
≤
x
<7},
B
={
x
|3<
x
≤
10},
∴
A
∪
B
={
x
|2
≤
x
≤
10}.
∵
C
≠
⌀
,∴要使
C
⊆
(
A
∪
B
),只需
解得7
≤
a
<10,∴实数
a
的取值范围为[7,10).
答案 [7,10)
方法1
集合间基本关系的判断方法
1.集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利
用集合元素的特征判断集合间的关系.一般地,设
A
={
x
|
p
(
x
)},
B
={
x
|
q
(
x
)},
(1)若由
p
(
x
)可推出
q
(
x
),则
A
⊆
B
;(2)若由
q
(
x
)可推出
p
(
x
),则
B
⊆
A
;(3)若
p
(
x
),
q
(
x
)
可互相推出,则
A
=
B
;(4)若由
p
(
x
)推不出
q
(
x
),由
q
(
x
)也推不出
p
(
x
),则集合
A
,
B
之间无包含关系.
2.列举法:一一列举出各集合中的元素,从元素中寻找集合间的基本关系.
3.数形结合法:利用数轴或Venn图表示两个集合,通过观察图形确定两集合
间的基本关系.
方法技巧
例1 (2020届湖北黄冈调研考试,2)集合
M
=
,N=
,则集合M与N的关系为
( )
A.
M
=
N
B.
M
⫌
N
C.
M
⫋
N
D.
M
∩
N
=
⌀
解析
M
=
,N=
,由于k+1能取所
有的整数,2k只能取所有的偶数,而偶数是整数,但整数不一定是偶数,所以
M
⫋
N,故选C.
答案 C
一题多解
M
=
,
N
=
,分析集合中的
元素知,
∈
M
且
∈
N
,所以排除D;又π∈
N
,但π
∉
M
,所以排除A,B,故选C.
方法2
利用数轴和韦恩(Venn)图解决集合问题的方法
在进行集合运算时,要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化.
(1)离散型数集或抽象集合间的运算常
借助Venn图
求解.
(2)连续型数集的运算常
借助数轴
求解,此时要注意“端点”能否取到.
(3)利用元素与集合间的关系或集合与集合间的关系求参数范围时,
一要注
意分类讨论思想的应用,二要注意集合中元素互异性的检验
.
例2 (2017浙江,1,4分)已知集合
P
={
x
|-1<
x
<1},
Q
={
x
|0<
x
<2},则
P
∪
Q
=
( )
A.(-1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2)
解题导引
解析 将集合
P
与集合
Q
画在数轴上,如图,
由图可知
P
∪
Q
={
x
|-1<
x
<2}.故选A.
答案 A
例3 设全集
U
={
x
为质数|
x
≤
20},集合
A
,
B
是
U
的两个子集,且满足
A
∩
(
∁
U
B
)={3,7},(
∁
U
A
)
∩
B
={2,19},(
∁
U
A
)
∩
(
∁
U
B
)={5,17},则
A
∩
B
=
.
解题导引
解析
U
={
x
为质数|
x
≤
20}={2,3,5,7,11,13,17,19},
画出Venn图,如图所示,
由图可知
A
={3,7,11,13},
B
={2,11,13,19},
所以
A
∩
B
={11,13}.
答案 {11,13}