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- 2021-06-23 发布
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2017-2018 学年第一学期期末考试---数学试卷(理科)
一.选择题,每题 5 分,共 12 题。
1.命题“若 x≠3 且 x≠2,则 x2﹣5x+6≠0”的否命题是( )
A.若 x=3 且 x=2 则 x2﹣5x+6=0 B.若 x≠3 且 x≠2 则 x2﹣5x+6=0
C.若 x=3 或 x=2 则 x2﹣5x+6=0 D.若 x=3 或 x=2 则 x2﹣5x+6≠0
2.准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是
A.y2=-4x B.y2= -8x C.y2=-x D.y2=8x
3.将曲线x2
3
+y2
2
=1 按φ:
x′=1
3
x,
y′=1
2
y
变换后的曲线的参数方程为( )
A.
x=3cos θ
y=2sin θ
B.
x= 3cos θ
y= 2sin θ
C.
x=1
3
cos θ
y=1
2
sin θ
D.
x= 3
3
cos θ
y= 2
2
sin θ
4、如图,正四面体 ABCD 的棱长为 1,点 E 是棱 CD 的中点,则 • =( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
5.下列命题错误..的是( )
A.命题“若 0m ,则方程 2 0x x m 有实数根”的逆否命题是
“若方程 2 0x x m 没有实数根,则 0m ”;
B.“ 1x ”是“ 2 3 2 0x x ”的充分不必要条件;
C.命题“若 0xy ,则 x,y 中至少有一个为 0”的否命题是“若 0xy ,则 x,y 中至多有
一个为 0”;
D.对于命题 p: x R ,使 2 1 0x x ;则 p : x R ,均有 2 1 0x x .
6 抛物线 2 4 0y x 上一点 P 到焦点的距离为3 ,那么 P 的横坐标是 ( )
A. 3 B. 2 C.
2
5 D. 2
7.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若 1AE AA xAB yAD ,则 x,
y 的值是( )
A. 1
2x , 1
2y B. 1x , 1
2y C. 1
2x , 1y D. 1x , 1y
8.若曲线 C 上的点到椭圆
2 2
2 2 1
13 12
x y 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C
的标准方程为
A
2 2
2 2 1
13 12
x y B
2 2
2 2 1
13 5
x y C.
2 2
2 2 1
3 4
x y D.
2 2
2 2 1
4 3
x y
9.极坐标系中,过点 P(1,π)且倾斜角为π
4
的直线方程为( )
A.ρ=sin θ+cos θ B.ρ=sin θ-cos θ
C.ρ= 1
sin θ+cos θ
D.ρ= 1
sin θ-cos θ
10. 经过点 )62,62( M 且与双曲线
2 2
13 4
y x 有共同渐近线的双曲线方程为
( )
A. 186
22
xy B. 168
22
xy C. 168
22
yx D. 186
22
yx
11、如图,在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,底面是边长为 2 的正
方形,若 0
1 1 60A AB A AD ,且 1 3A A ,则 1AC 的长为
A. 5 B. 2 2 C. 14 D. 17
12.如图,从椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
上一点 P 向 x 轴作垂线, 垂足恰
为左焦点 F1,又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 是椭圆与 y 轴
正半轴的交点,且 AB∥OP ,则椭圆的离心率为( )
A. 1
2
B. 5
5
C. 2
2
D. 3
2
二、填空题,每题 5 分,共 4 题
13.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线
θ=π
4
与曲线
2)1(
1
ty
tx (t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为
________.
14.若双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的渐近线方程为 2y x ,则其离心率为_________.
15、“∀x∈[1,2],x2﹣a≥0“是真命题,则实数 a 的最大值为 .
16.已知向量 =(1,0,1), =(0,1,1),向量 ﹣k 与 垂直,k 为实数.则实数 k=
三.解答题
17.(本题满分 10 分)
已知命题 p :方程
2 2
12
x y
m
表示焦点在 x 轴上的椭圆,命题 q :对任意实数 x 不等式
2 2 2 3 0x mx m 恒成立.
(Ⅰ)若“ q ”是真命题,求实数 m 的取值范围;
(Ⅱ)若“ p q ”为假命题,“ p q ”为真命题,求实数 m 的取值范围.
18.(本题满分 12 分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系.已知点 A 的极坐标为
2,π
4 ,直线 l 的极坐标方程为ρcos
θ-π
4 =a,且
点 A 在直线 l 上.
(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;
(Ⅱ)圆 C 的参数方程为
x=1+cos α,
y=sin α
(α为参数),试判断直线 l 与圆的位置关系.
19.(本题满分 12 分)如图,四棱锥 ABCDP 的底面是正方形,
ABCDPD 底面 , DCPD ,点 E 是 PC 的中点,作 PBEF
交 PB 于点 F .
(Ⅰ)求证: PA ∥平面 EDB ;
(Ⅱ)求二面角 DPBC 的大小.
20.(本题满分 12 分)已知曲线 C1:
sin3
cos2
y
x 为参数 ,曲线 C2:
ρ=sinθ.
(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线 l:x+y﹣8=0,求曲线 C1 上的点到直线 l 的最短距离.
21.(本题满分 12 分)
如图(1),等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上,DE⊥AB
于 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2)).
(Ⅰ)求证:PB⊥DE;
(Ⅱ)若 PE⊥BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°,求 PE 长.
22.(本题满分 12 分)
已知椭圆 1C 、抛物线 2C 的焦点均在 x 轴上, 1C 的中心和 2C 的顶点均为原点O ,从每
条曲线上取两个点,将其坐标记录如下: 1A (3, 32 )、 2A ( 2,0)、 3A (4, 4)、
4A ( 2 ,
2
2 ).
经判断点 1A , 3A 在抛物线 2C 上,
(Ⅰ)试求出 1 2C C、 的标准方程;
(Ⅱ)求抛物线 2C 的焦点 F 的坐标并求出椭圆 1C 的离心率;
(III)过 2C 的焦点 F 直线l 与椭圆 1C 交不同两点 ,M N、 且满足OM ON ,试求出直线
l 的方程.
数学答案
一选择题 每题 5 分共计 60 分
CBDDC BADDA AC
二填空题 每题 5 分共计 20 分
13.
5
2 14. 15. 1 16.2
三解答题
17.(10 分)解:(Ⅰ)因为对任意实数 不等式 恒成立,
所以 ,解得 ,.…………2 分
又“ ”是真命题等价于“ ”是假命题,.…………3 分
所以所求实数 的取值范围是 .…………4 分
(Ⅱ) ,……5 分
,
,无解…………7 分
,…………9 分【来源:全,
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.…………10 分
18、解析:(1)由点 A π4在直线ρcosπ4=a 上,可得 a=.
所以直线 l 的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y
-2=0.-------4 分
(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为
(x-1)2+y2=1.
所以圆心为(1,0),半径 r=1,
则圆心到直线 l 的距离 d=
2
2<1,所以直线 l 与圆 C 相交.-----12 分
19.( Ⅰ ) 证 明 :如 图 建 立 空 间直 角 坐 标 系
设 .
则
,
,即
,而 且
,
故 . …………………… 4 分
(Ⅱ)解:依题意得, ,
又 ,
又 . ……………………
8 分
,故 是二面角 的平面角.设 ,则
.
, ,即 .
, ,……10
分
点 .又点 , .
故 , ,
即二面角 的大小为 . ……………… 12 分
20.【解答】解:(Ⅰ) 曲线 ,
曲线 .------4
(Ⅱ)设曲线 C1 上任意一点 P 的坐标为 ,
则点 P 到直线 l 的距离为
其中 ,当 sin(θ+φ)=1 时等号成立.----12
21.【解答】解:(Ⅰ)∵DE⊥AB,∴DE⊥BE,DE⊥PE,….(2 分)
∵BE∩PE=E,∴DE⊥平面 PEB,
又∵PB⊂平面 PEB,∴BP⊥DE; ….(4 分)
(Ⅱ)∵PE⊥BE,PE⊥DE,DE⊥BE,
∴分别以 DE、BE、PE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图),…(5 分)
设 PE=a,则 B(0,4﹣a,0),D(a,0,0),C(2,2﹣a,0),
P(0,0,a),…(7 分)
可得 , ,…(8 分)
设面 PBC 的法向量 ,
∴ 令 y=1,可得 x=1,z=
因此 是面 PBC 的一个法向量,…(10 分)
∵ ,PD 与平面 PBC 所成角为 30°,∴ ,即
,
解之得:a= ,或 a=4(舍),因此可得 PE 的长为 .…(12 分)
22、(12 分)解:(Ⅰ)设抛物线 ,将 坐标代入曲线方程,得
………………2 分
设 : ,把点( 2,0)( , )代入得:
解得
∴ 方程为 ……………………………………………4 分
(Ⅱ)显然, ,所以抛物线焦点坐标为 ;
由(Ⅰ)知, , ,
所以椭圆的离心率为 ;………………………………………6 分
(III)法一:
直 线 过 抛 物 线 焦 点 , 设 直 线 的 方 程 为 两 交 点 坐 标 为
,
由 消 去 , 得 ∴
①
② ………………………9 分
由 ,即 ,得
将①②代入(*)式,得 , 解得 …………11 分
所求 的方程为: 或 …………………12 分
法二:容易验证直线 的斜率不存在时,不满足题意;……………………………7 分
当直线 斜率存在时,直线 过抛物线焦点 ,设其方程为 ,与 的
交点坐标为
由 消掉 ,得 , ----9 分
于是 , ①
即 ② ………………………9 分
由 ,即 ,得
将①、②代入(*)式,得 ,
解得 ;…………11 分
故,所求 的方程为: 或 .………12 分