天津市南开区2019届高三下学期二模考试 文科数学（PDF版） 15页

南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 1 页（共 9 页） 2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二) 数 学 试 卷（文史类） 2019.05 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页． 祝各位考生考试顺利！ 第 Ⅰ 卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 参考公式： ·球的表面积公式 S 球=4R2，其中 R 表示球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设全集为 R，若集合 A={x|(x+2)(x–3)≥0}，集合 B={x|x＞1}，则(∁RA)∪B= （ ）． （A）[3，+∞) （B）(1，3] （C）(1，3) （D）(–2，+∞) （2）已知实数 x，y 满足约束条件 50 0 3     ≥ ， ≥ ， ≤ ， xy xy x 则 z=2x+4y 的最小值是（ ）． （A）5 （B）–6 （C）10 （D）–10 （3）执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 13，输出 S 的值是 46，则 a 的取值范围是（ ）． （A）9≤a＜10 （B）9＜a≤10 （C）10＜a≤11 （D）8＜a≤9 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 2 页（共 9 页） （4）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是说：两个同高的几何体，如在等高处 的截面积恒相等，则体积相等．设 A，B 为两个同高的几何体，p：A，B 的体积不相 等，q：A，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是 q 的（ ）． （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）已知 a= 1 32 ，b= 2 1log 3 ，c= 1 2 1log 3 ，则（ ）． （A）a＞b＞c （B）a＞c＞b （C）c＞a＞b （D）c＞b＞a （6）设 f(x)=sin3x–cos3x，把 y=f(x)的图象向左平移（＞0）个单位长度后，恰好得 到函数 g(x)=–sin3x+cos3x 的图象，则的值可以为（ ）． （A） 6  （B） 4  （C） 2  （D） （7）已知 F1，F2 分别为双曲线 3x2–y2=3a2（a＞0）的左、右焦点，P 是抛物线 y2=8ax 与双曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2|=12，则抛物线的准线方程为（ ）． （A）x=–4 （B）x=–3 （C）x=–2 （D）x=–1 （8）已知函数 f(x)= 2 1 01 1 > 0     ， ≤ ， ， ， xx xx 若关于 x 的不等式|f(x)–a– 1 2 |≤ 有且仅有两个不 同的整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）． （A）[– 3 2 ，– 4 3 ) （B）[– ，– 1 3 ) （C）[–1，– ] （D）[0，3] 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 3 页（共 9 页） 第 Ⅱ 卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共 12 小题，共 110 分． 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．请 将答案填在题中横线上。 （9）已知复数 z= 3 2i 1i   ，i 为虚数单位，则|z|2= ． （10）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 n∈N*，an=20–3n，则 Sn 的最大值为 ． （11）球 O 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的外接球，若正方体 ABCDA1B1C1D1 的表面积 为 S1，球 O 的表面积为 S2，则 1 2 S S = ． （12）已知圆 C：(x–3)2+(y+1)2=4 与直线 l：x+y–2=0 交于 M，N 两点，则 |MN|= ． （13）在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AC 与 BD 交于点 M，AB=2CD=4．若 AC • BD =–1，则 cos∠BMC= ． （14）已知函数 f(x)=ex– 1 ex –2sinx，其中 e 为自然对数的底数，若 f(2a2)+f(a–3)＜0， 则实数 a 的取值范围为 ． 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 4 页（共 9 页） 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得 分 评卷人 （15）（本小题满分 13 分） 下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位： 分）．已知甲代表队数据的中位数为 76，乙代表队数据的平均数是 75． （Ⅰ）求 x，y 的值； （Ⅱ）若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生，求抽到的学生中， 甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率； （Ⅲ）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）． 甲队 乙队 5 6 5 4 6 8 8 7 6 x 1 1 7 0 2 y 8 2 0 8 0 6 8 9 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 5 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （16）（本小题满分 13 分） 在△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，若 b=3，c=4，C=2B，且 a ≠b． （Ⅰ）求 cosB 及 a 的值； （Ⅱ）求 cos(2B+ 3  )的值． 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 6 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥ CD，PC=AB=2AD=2CD=2，E 是 PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面 EAC⊥平面 PBC； （Ⅱ）求二面角 P-AC-E 的余弦值； （Ⅲ）直线 PB 上是否存在一点 F，使得 PD∥平面 ACF，若存在，求出 PF 的长；若不 存在，请说明理由． P E C D B A 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 7 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （18）（本小题满分 13 分） 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=–an–( 1 2 )n–1+2（n∈N*）， 数列{bn}满足 bn =2nan． （Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 cn=log2 n n a ，数列{ 2 2 nncc }的前 n 项和为 Tn，求满足 Tn＜ 25 21 （n∈N*）的 n 的最大值． 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 8 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （19）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 12 2 2 2  b y a x （a＞b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 F(c，0)，直线 l：x= 2a c 与 x 轴相交于点 T，且 F 是 AT 的中点． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）过点 T 的直线与椭圆相交于 M，N 两点，M，N 都在 x 轴上方，并且 M 在 N，T 之间，且 N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 距离的 2 倍． ①记△NFM，△NFA 的面积分别为 S1，S2，求 1 2 S S ； ②若原点 O 到直线 TN 的距离为 20 41 41 ，求椭圆方程． 南开区高三年级模拟考试（二）数学试卷（文史类）第 9 页（共 9 页） 得 分 评卷人 （20）（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+2（a≠0）在点(–1，f(–1))处的切线的斜率为 0．函数 g(x)=f(x)+ 3 1 x3–x–2． （Ⅰ）试用含 a 的代数式表示 b； （Ⅱ）求 g(x)的单调区间； （Ⅲ）令 a=–1，设函数 g(x)在 x1，x2（x1＜x2）处取得极值，记点 A(x1，g(x1))， B(x2，g(x2))，证明：线段 AB 与曲线 g(x)存在异于 A，B 的公共点． 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 1 页（共 6 页） 2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二) 数学试卷（文史类）参考答案 2019.05 一、选择题： 题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案 D B B A C D C A 二、填空题： （9）13 2 ； （10）57； （11） 2  ； （12）4； （13） 17 1 ； （14）(– 3 2 ，1) 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （15）解：（Ⅰ）因为甲代表队的中位数为 76，其中已知低于 76 的有 71，71，65，64， 高于 76 的有 77，80，82，88，所以 x=6； …………1 分 因为乙代表队的平均数是 75，其中少于 75 的差值为 3，5，7，7，19，和为 41， 超过 75 的差值为 5，11，13，14，和为 43，所以 y=3． …………3 分 （Ⅱ）甲队中成绩不低于 80 的有 80，82，88，乙队中成绩不低于 80 的有 80，86， 88，89，从中各随机抽取 1 名，组成数对(甲成绩，乙成绩)，共有(80，80)， (80，86)，(80，88)，(80，89)，(82，80)，(82，86)，(82，88)，(82， 89)，(88，80)，(88，86)，(88，88)，(88，89)，共 12 种，…………7 分 其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有(80，80)，(82，80)，(88，80)， (88，86)，(88，88)，共 5 种， …………8 分 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率 P= 5 12 ． …………9 分 （Ⅲ）因为甲的平均数为 甲x = 1 10 (64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)=75， 所以甲的方差 2 甲s = [(64–75)2+(65–75)2+(71–75)2+(71–75)2+(76–75)2 +(76–75)2+(77–75)2+(80–75)2+(82–75)2+(88–75)2]=50.2，……11 分 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 2 页（共 6 页） 又乙的方差 2 乙s = 1 10 [(56–75)2+(68–75)2+(68–75)2+(70–75)2+(72–75)2 +(73–75)2+(80–75)2+(86–75)2+(88–75)2+(89–75)2]=100.8，……12 分 因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定． …………13 分 （16）解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理 B b sin = sin c C ，得 3 sinB = Csin 4 ，………2 分 ∵C=2B，∴ = 4 sin2B ，即 = 4 2sin cosBB ， 解得 cosB= 3 2 ． …………4 分 在△ABC 中，由余弦定理 b2=a2+c2–2accosB， 得 a2– 3 16 a+7=0，解得 a=3，或 a= 3 7 ． ∵a≠b，∴a= 3 7 ． …………7 分 （Ⅱ）∵cosB= ，∴sinB= 3 5 ， ∴sin2B=2sinBcosB= 9 54 ，cos2B=2cosB2–1=– 9 1 ， …………11 分 ∴cos(2B+ 3  )= 2 1 cos2B– 2 3 sin2B=–1 4 15 18  ． …………13 分 （17）解：（Ⅰ）在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2， ∴AC=BC= 2 ，AC⊥BC． …………2 分 ∵PC⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，∴PC⊥AC． …………3 分 又 BC∩PC=C，∴AC⊥平面 PBC． …………4 分 ∵AC⊂平面 EAC， ∴平面 EAC⊥平面 PBC． …………5 分 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 3 页（共 6 页） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PBC， ∴AC⊥CP，AC⊥CE， ∴∠PCE 即为二面角 P-AC-E 的平面角． …………7 分 ∵PC=2，BC= 2 ， ∴在△PCB 中，可得 PE=CE= 2 6 ， ∴cos∠PCE= CECP PECECP   2 222 = 3 6 ． …………9 分 （Ⅲ）连接 BD 交 AC 于点 O，作 OF∥PD， 交 PB 于点 F，连接 AF，CF． ∵OF∥PD，PD平面 ACF，OF平面 ACF， ∴PD∥平面 ACF． …………11 分 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=2CD， ∴DO= 1 3 DB， 在△PBD 中，OF∥PD， ∴PF= PB= 3 6 ． ………………………13 分 （18）解：（Ⅰ）在 Sn=–an–( 1 2 )n–1+2 中，令 n=1， 可得 S1=–a1–1+2，即 a1= ． …………………1 分 当 n≥2 时，Sn–1=–an–1–( )n–2+2， ∴an=Sn–Sn–1=–an+an–1+( )n–1， …………………3 分 ∴2an=an–1+( )n–1，即 2nan=2n–1an–1+1． …………………4 分 ∵bn=2nan，∴bn=bn–1+1，即当 n≥2 时，bn–bn–1=1．…………………5 分 又 b1=2a1=1， F O A B D C E P 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 4 页（共 6 页） ∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列． …………………6 分 于是 bn=1+(n–1)·1=n=2nan，∴an= 2n n ． …………………7 分 （Ⅱ）∵cn=log2 n n a =n， …………………8 分 ∴ 2 2 nncc = 2 2()nn = 1 n – 1 2n ， …………………9 分 ∴Tn=( 1 1 – 1 3 )+( 1 2 – 1 4 )+( – 1 5 )+( – 1 6 )+… +( 1 3n – 1 1n )+( 1 2n – 1 n )+( – 1 1n )+( – ) = 3 2 – – ． …………………11 分 由 Tn＜ 25 21 ，得 – – ＜ ，即 + ＞ 13 42 ， ∵f(n)= + 单调递减，且 f(4)= 11 30 ，f(5)= ， ∴n 的最大值为 4． …………………13 分 （19）解：（Ⅰ）∵F 是 AT 的中点，∴ 2 2  aacc ，即(a–2c)(a+c)=0， 又 a，c＞0，∴a=2c，∴e= c a = 1 2 ． ………………………2 分 （Ⅱ）①过 M，N 作直线 l 的垂线，垂足分别为 M1，N1， ∵N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 距离的 2 倍， ∴ 1 1 MM NN = TM TN =2， ∴   FMN TNF S S = MN TN = ， 又∵ ANFS = TNFS ， 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 5 页（共 6 页） ∴ 1 2 S S = 1 2 ． ………………………………4 分 ②由（Ⅰ）知椭圆方程为 22 22143xy cc ，T(4c，0)． ……………………5 分 设直线 TN 的方程为 x=ty+4c， 与椭圆方程联立，并消去 x 整理得：(3t2+4)y2+24cty+36c2=0， 依题意有△=(24ct)2–4·36c2(3t2+4)＞0，即 t2＞4． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 21 2 2 2 12 24 34 36 34              ， ， yy yy ct t c t （*） ………………8 分 由①知 M 是 N，T 的中点，故 y2= 2y1， ……………………9 分 ∴代入（*）得 2 21 1 2 2 3 2 24 34 36 34          ， ， y y ct t c t 解得 t2= 36 5 ． ……………………11 分 ∴原点 O 到直线 TN 的距离为 d= 2 4 1 c t = 45 41 c = 20 41 41 ，…………12 分 解得 c= 5 ， ……………………13 分 故椭圆方程为 22 120 15xy ． ……………………14 分 （20）解：（Ⅰ）依题意，得 f(x)=2ax+b+1， 由 f(–1)=–2a+b+1=0 得 b=2a–1． …………………2 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 g(x)= 3 1 x3+ax2+(2a–1)x． 故 g(x)=x2+2ax+(2a–1)=(x+1)(x+2a–1)， 令 g(x)=0，则 x=–1 或 x=1–2a， …………………4 分 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 6 页（共 6 页） ①当 a＞1 时，1–2a＜–1， 当 x∈(1–2a，–1)时，g(x)＜0，g(x)的单调减区间为(1–2a，–1)； 当 x∈(–∞，1–2a)∪(–1，+∞)时，g(x)＞0， g(x)的单调增区间为(–∞，1–2a)和(–1，+∞)； …………………6 分 ②由 a=1 时，1–2a=–1，，此时，g(x)≥0 恒成立，且仅在 x=–1 处 g(x)=0， 故函数 g(x)的单调区间为 R； …………………7 分 ③当 a＜1 时，1–2a＞–1，同理可得函数 g(x)的单调增区间 为(–∞，–1)和(1–2a，+∞)，单调减区间为(–1，1–2a)．…………………8 分 （Ⅲ）当 a=–1 时，得 g(x)= 3 1 x3–x2–3x． 由 g(x)=x2–2x–3=0，得 x=–1 或 x=3， 由（Ⅱ）得 g(x)的单调增区间为(–∞，–1)和(3，+∞)，单调减区间为(–1，3)， ∴函数 g(x)在 x1=–1 和 x2=3 处取得极值． …………………10 分 故 A(–1， 5 3 )，B(3，–9)， ∴直线 AB 的方程为 y=– 8 3 x–1． …………………11 分 由 221 33 8 13         y x x x yx 得 x3–3x2–x+3=0， …………………12 分 令 F(x)=x3–3x2–x+3， 易 F(0)=3＞0，F(2)=–3＜0，而 F(x)的图象在(0，2)内是一条连续不断的曲线， 故 F(x)在(0，2)内存在零点 x0，即线段 AB 与曲线 g(x)有异于 A，B 的公共点． ………………………………14 分