2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第十一章　第2讲　用样本估计总体 20页

第2讲　用样本估计总体 一、知识梳理 ‎1．统计图表 ‎(1)频率分布直方图的画法步骤 ‎①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；‎ ‎②决定组距与组数；‎ ‎③将数据分组；‎ ‎④列频率分布表；‎ ‎⑤画频率分布直方图．‎ ‎(2)频率分布折线图 ‎①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．‎ ‎ (3)茎叶图的画法步骤 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；‎ 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；‎ 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．‎ ‎2．样本的数字特征 ‎(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．‎ ‎(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．‎ ‎(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．‎ ‎(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是 s＝ s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]‎ 常用结论 ‎1．频率分布直方图的特点 ‎(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.‎ ‎(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．‎ ‎(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．‎ ‎2．平均数、方差的公式推广 ‎(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.‎ ‎(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.‎ ‎①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；‎ ‎②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.‎ 二、教材衍化 ‎1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为(　　)‎ A．4　　　　 B．8　　　　　‎ C．12　　　　 D．16‎ 解析：选B.设频数为n，则＝0.25，所以n＝32×＝8.‎ ‎2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)‎ A．91.5和91.5 B．91.5和92‎ C．91和91.5 D．92和92‎ 解析：选A.因为这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，所以中位数是＝91.5，平均数＝＝91.5.‎ ‎3．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数有________人．‎ 解析：由频率分布直方图可知，月均用水量为[2，2.5)范围内的居民所占频率为0.5×0.5＝0.25，所以月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数为100×0.25＝25.‎ 答案：25‎ ‎4．甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：‎ 甲　0　1　0　2　2　0　3　1　2　4‎ 乙　2　3　1　1　0　2　1　1　0　1‎ 则机床性能较好的为________．‎ 解析：因为甲＝1.5，乙＝1.2，s＝1.65，s＝0.76，所以s0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，所以2≤m<2.5.‎ 所以0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.‎ 故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为2.06时．‎ ‎(3)由题意得平均户外活动时间在[1，1.5)，[1.5，2)内的人数分别为15，20.‎ 按分层抽样的方法在[1，1.5)，[1.5，2)内分别抽取3人，4人，从7人中随机抽取2人，共有C＝21种方法，抽取的两人恰好都在同一个组有C＋C＝9种方法，故抽取的2人恰好在同一个组的概率P＝＝.‎ 频率、频数、样本容量的计算方法 ＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．‎ ‎[提醒]　制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确．　 ‎ ‎1．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是(　　)‎ A．15　　 B．18 ‎ C．20　　 D．25‎ 解析：选A.根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，因为频数是40，所以样本容量是＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，所以成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.‎ ‎2．(2020·安徽淮南二模)某乡镇为了打赢脱贫攻坚战，决定盘活贫困村的各项经济发展要素，实施了产业、创业、就业“三业并举”工程．在实施过程中，引导某贫困村农户因地制宜开展种植某经济作物．该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，其质量指标的等级划分如表：‎ 质量指标值k 产品等级 k≥90‎ 优秀 ‎80≤k<90‎ 良好 ‎75≤k<80‎ 合格 k<75‎ 不合格 为了解该类经济作物在当地的种植效益，当地引种了甲、乙两个品种．并随机抽取了甲、乙两个不同品种的各10 000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到下面产品质量指标值频率分布直方图(图甲和图乙)．‎ ‎(1)若将频率视为概率，从乙品种产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出乙品种产品中至少有1件优等品(质量指标值k≥80为优等品)”为事件A，求事件A发生的概率P(A)；(结果保留小数点后3位)‎ ‎(2)若甲、乙两个品种的销售利润率y与质量指标值k满足下表：‎ 质量指标值k k≥90‎ ‎80≤k<90‎ ‎75≤k<80‎ k<75‎ 销售利润率y ‎3t ‎5t2‎ t2‎ ‎－t 其中s，可知乙的成绩较稳定．‎ 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．‎ ‎(1)众数、中位数、平均数及方差的意义 ‎①平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述；‎ ‎②平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．‎ ‎(2)在计算平均数、方差时可利用平均数、方差的有关结论．　 ‎ ‎1．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)‎ A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 解析：选C. 甲＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6，‎ 乙＝(5×3＋6＋9)＝6，‎ 甲的成绩的方差为(22×2＋12×2)＝2，‎ 乙的成绩的方差为(12×3＋32×1)＝2.4.‎ 甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，‎ 甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差为4，故选C.‎ ‎2．(2020·贵阳市监测考试)在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图(如图)．若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由．‎ 解：学生甲的平均成绩甲＝＝82，‎ 学生乙的平均成绩乙＝＝82，‎ 又s＝×[(68－82)2＋(76－82)2＋(79－82)2＋(86－82)2＋(88－82)2＋(95－82)2]＝77，‎ s＝×[(71－82)2＋(75－82)2＋(82－82)2＋(84－82)2＋(86－82)2＋(94－82)2]＝，则甲＝乙，s>s，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　)‎ A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.‎ ‎2．(2020·陕西商洛质检)在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样的方法从中选取5人，已知选手甲的成绩性为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为(　　)‎ A．95　　　 B．96　　　　‎ C．97　　　 D．98‎ 解析：选C.由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他4人的成绩分别是88，94，99，107，故平均数为＝97，故选C.‎ ‎3．(2020·广东珠海摸底)某班级在一次数学竞赛中设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等奖20元，二等奖10元，三等奖5元，参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法不正确的是(　　)‎ A．获得参与奖的人数最多 B．各个奖项中三等奖的总费用最高 C．购买奖品的平均费用为9.25元 D．购买奖品的费用的中位数为2元 解析：选C.设全班人数为a.由扇形统计图可知．一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖占30%，参与奖占55%，获得参与奖的人数最多，故A正确；一等奖的总费用为5%a×20＝a.二等奖的总费用为10%a×10＝a，三等奖的总费用为30%a×5＝a，参与奖的总费用为55%a×2＝a，所以各个奖项中三等奖的总费用最高，故B正确；购买奖品的平均费用为5%×20＋10%×10＋30%×5＋55%×2＝4.6(元)，故C错误；参与奖占55%，所以购买奖品的费用的中位数为2元，故D正确．故选C.‎ ‎4．(2020·安徽六安毛坦厂中学月考)某位教师2017年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4 750元，则该教师2018年的家庭总收入为(　　)‎ A．100 000元 B．95 000元 C．90 000元 D．85 000元 解析：选D.由已知得，2017年的就医费用为80 000×10%＝8 000(元)．故2018年的就医费用为8 000＋4 750＝12 750(元)，所以该教师2018年的家庭总收入为＝85 000(元)．故选D.‎ ‎5．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为甲，乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则(　　)‎ A．甲<乙，σ甲<σ乙 B．甲<乙，σ甲>σ乙 C．甲>乙，σ甲<σ乙 D．甲>乙，σ甲>σ乙 解析：选C.由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知甲>乙，题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙．‎ ‎6．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是________．‎ 解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得 ＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.‎ 答案：6‎ ‎7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．‎ 解析：由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视人数为40×50%＝20.‎ 答案：200　20‎ ‎8．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．‎ 解析：设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，‎ 第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5，15，25，所以n＝＝60.‎ 答案：60‎ ‎9．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)求频率分布直方图中a的值；‎ ‎(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．‎ 解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，‎ 解得a＝0.30.‎ ‎(2)由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12.‎ 由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12＝96 000.‎ ‎(3)因为前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85，‎ 所以2.5≤x＜3.‎ 由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.‎ 因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．‎ ‎10．有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：‎ ‎(1)A，B二人预赛成绩的中位数分别是多少？‎ ‎(2)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；‎ ‎(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A，B 二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．‎ 解：(1)A的中位数是＝84，B的中位数是＝83.‎ ‎(2)派B参加比较合适．理由如下：‎ B＝(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，‎ A＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，‎ s＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，‎ s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，‎ 因为A＝B，但s1 848，所以每天空运250支百合花，四月后20天总利润更大．‎ ‎6．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：‎ ‎(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；‎ ‎(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．‎ 解：(1) 甲 ＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，‎ s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，‎ s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.‎ 甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．‎ ‎(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1＝，P2＝，‎ 两人失分均超过15分的概率为P1P2＝，‎ X的所有可能取值为0，1，2.依题意，X～B，‎ P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，‎ 则X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P X的均值EX＝2×＝.‎