湖北省荆门市龙泉中学2020届高三数学（理）高考适应性试题（一）（Word版附答案） 4页

第 1 页 共 4 页 龙泉中学 2020 届高考适应性考试(一) 理 科 数 学 试 题 本试卷共 2 页，共 23 题（含选考题）满分 150 分，考试用时 120 分钟 ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、 草稿纸上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设 3 2 iz    ，则在复平面内 z对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 已知集合    ln 1 , 1 2A x x B x x      ，则 A B  ( ) A．  0,e B．  1,2 C．  1,e D．  0,2 3. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4. 函数 2 sin( ) cos x xf x x x    在[ , ]  的图像大致为( ) A． B． C． D． 5．已知 2.0 5.05 5.02.0log2log  cba ，， ，则( ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C. b＜a＜c D．c＜a＜b 6. 设点 A B C、 、 不共线,则“ AB  与 AC  的夹角为锐角”是“ AB AC BC     ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 设奇函数 ( )f x 在（0，+∞）上为增函数，且 (1)f =0．则不等式 0)()(   x xfxf 的解集是( ) A．（-1，0）（1，+∞） B．（-1，0）（0，1） C．（-∞，-1）（1，+∞） D．（-∞，-1）（0，1） 8. 圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现 利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生 N人，让每人随机写出一对小于 1的 正实数 a、b，再统计出 a、b、1能构造锐角三角形的人数M，利用所学的有关知识，则可估计出π 的值是（ ） A． N M4 B． N MN )(4  C． N NM 2 D． N NM 24  9. 函数   1 1 e e 2 2 x x a af x x       的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．与 a 有关 10. 2019 年 10 月 1 日,中华人民共和国成立 70 周年,举国同庆.将 2,0,1,9,10 这 5 个数字按照任意次序 排成一行,拼成一个 6 位数,则产生的不同的 6 位数的个数为（ ） A．72 B．84 C．96 D．120 11. 已知数列{ }na 满足 1 1 11, ln 1n n n a a a a    ,记      1 2 ,[ ]r nS a a a t    表示不超过 t 的最大整数, 则 2020S 的值为( ) A.2019 B.2020 C.4037 D.4039 12. 在菱形 ABCD中, 60ABC   , ,E F 分别是边 ,AB CD的中点,现将 ABC△ 沿着对角线 AC 翻折,则 直线 EF 与平面 ACD所成角的正切值最大值为( ) A. 2 B. 21 3 C. 3 3 D. 2 2 二．填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 13. 曲线 23( )exy x x  在点 (0,0)处的切线方程为_______. 14. 已知 1sin 5 4        ，则 3cos 2 5       __________. 15. 已知    1 2, 0 , 0F c F c 、 是双曲线 22 2 2: 1x a C y b   的左、右焦点, 1F 关于双曲线的一条渐近线的对称 点为 P ,且点 P 在抛物线 2 4y cx 上,则双曲线的离心率为______. 16. 设 ( ), ( )f x g x 是定义在 R 上的两个周期函数， ( )f x 的周期为 4， ( )g x 的周期为 2，且 ( )f x 是奇 函数.当 2( ]0,x 时， 2( ) 1 ( 1)f x x   ， ( 2),0 1 ( ) 1 ,1 2 2 k x x g x x         ，其中 0k  .若在区间 (0,9] 上，关于 x 的方程 ( ) ( )f x g x 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是___________ 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60分。 17．（本小题满分 12分） 已知正项等比数列 na 满足 1 2a  ， 2 3 7 32a a  ，数列 nb 的前 n项和为 2 nS n n  ， （Ⅰ）求 na 与 nb 的通项公式； （Ⅱ）设 , 2 1, , 2 , n n n a n k k N c b n k k N         ，求数列 nc 的前 2n项和 2nT ． 第 2 页 共 4 页 18．（本小题满分 12分） 如图所示，已知四边形 ABCD是菱形，平面 AEFC 平面 ABCD， //EF AC， 2 2AE AB AC EF    . （I）求证：平面 BED 平面 AEFC . （II）若 EA AC ，求二面角 B FD C  的余弦值. 19．（本小题满分 12分） 某企业生产一种液体化工产品，其年产量受气温影响，该液体化工产品中含有制造高精端仪器所需 的稀有金属，且提取该稀有金属后，不影响液体化工产品的销售和用途.根据以往市场经验，制造的该液 体化工产品和提取的稀有金属都能完全销售.在此之前，该企业无稀有金属提取设备，经企业研究决定安 装，但由于条件限制，最多能安装 6 台.根据最近 20 年统计的生产资料数据，每年至少生产该液体化工 产品 40 吨，且得到液体化工产品年产量 X 的数据如下表： 液体化工产品 年产量 X（吨） 40 60X „ 60 80X „ 80 100X „ 100 120X „ 120X… 年数 3 1 8 6 2 （I）对于液体化工产品，如果年产量不低于 100 吨，则称该年度为“优质年”，每位职工发放一等年终 奖金；如果年产量不足 100 吨，则称该年度为“均衡年”，每位职工发放二等年终奖金.其中一名工人在 统计的 20 年中有 5 年在该企业工作，问该工人恰有三年得到一等年终奖金的概率是多少？（最后结果保 留分数形式） （II）若液体化工产品年产量相互独立，且把液体化工产品年产量 X 在相应段的频率作为概率. （i）试求未来 3 年中，至少有一年液体化工产品年产量不低于 100 吨的概率；（最后结果保留分数形式） （ii）企业希望安装的稀有金属提取设备尽可能多地运行，但每年稀有金属提取设备运行的台数受液体化 工产品年产量 X 的限制，并有如下关系： 液体化工产品 年产量 X（吨） 40 60X „ 60 100X „ 100 120X „ 120X… 提取设备最多 可运行台数 3 4 5 6 对于每台提取设备，若正常运行，则可获年利润约 50 万元，否则年亏损 10 万元.问应安装多少台稀有金 属提取设备，可使该企业在稀有金属提取项目中获得最大总利润？并说明理由. 20．（本小题满分 12分） 椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a b a b     的左、右焦点分别为 1 2 2, ,F F M MF x为椭圆上一点，  轴, 直线 1MF 交 y 轴于点H , 2 , 4 OH Q 为椭圆 E 上的动点, 1 2F F Q△ 面积的最大值为 1. （Ⅰ）求椭圆 E 的方程; （Ⅱ）过点 (4,0)S 作两条直线与椭圆 E 分别交于 A B C D、 、 、 ，且使 AD x 轴，问：四边形 ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 21．（本小题满分 12分） 已知函数 ( ) e sinaxf x x . （Ⅰ）若 ( )f x 在 π π 6 3 x      ， 上存在单调递增区间,求实数 a的取值范围； （Ⅱ）设 1a  ,若 π0, 2 x       ,恒有 ( )f x bx 成立,求 2eb a 的最小值. （二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个 题目计分. 22．（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy中,直线 l 的参数方程为 8 2 4 2 x t ty t         （ t 为参数）．以坐标原点 O为极 点,X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为  sin2 ． （Ⅰ）求直线 l 的普通方程与曲线 C的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线 ( 0) 4     与 l 和 C分别交于点 ,A B ,求 | |AB ． 23．（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知 ( ) | | | 2 |f x x x   . （Ⅰ）求不等式 | 4 |( ) xf x x  的解集； （Ⅱ）若 ( )f x 的最小值为 M ,且 2 2 ( , , )a b c M a b c   R ,求证： 2 2 2 4 9 a b c   . 第 3 页 共 4 页 龙泉中学 2020 届高考适应性考试(一) 理科数学参考答案 一．选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B D B C B B A B D D 二．填空题 13．3 - 0x y  ； 14． 7 8  ； 15． 5+1 2 ； 16． 1 2 3 4 ，       ． 三．解答题 17. （Ⅰ）由题意，设正项等比数列 na 的公比为  0q q  ，由题意知， 2 2 3 7 5 32a a a  ， 则 4 4 5 1 2 32a a q q   ，解得 2q= 或 2 （舍去），则 1 1 2 ,n n na a q n N    ；…………（3 分） 当 2,n n N   时，    22 1 1 1 2 2n n nb S S n n n n n          ， …………………（5分） 当 1n  时， 2 1 1 1 1 0 2 1 2b S       ，所以 2 2,nb n n N    . …………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 n 为奇数时， n nc a ，当 n 为偶数时， n nc b ，则 2 1 2 2 1 3 2 1 2 4 2... ... ...n n n nT c c c c c c c c c                   3 2 1 2 1 4 1 2 2 ... 2 2 6 ... 4 2 2 4 1 4 2 n n n n n n                  2 1 22 22 3 3 n n     ……（12 分） 18. （1）证明：菱形 ABCD中， BD AC ， 又平面 AEFC 平面 ABCD，平面 AEFC平面 ABCD AC ， BD 平面 AEFC .又 BD 平面 BED， 平面 BED 平面 AEFC .………………………………………………………………………………（4分） （2）设 AC与 BD交于点 O，连接FO，因为 2AC EF ，且 //EF AC， 四边形 AEFO是平行四边形， //FO EA . EA AC ， FO AC  ， 又平面 AEFC 平面 ABCD，平面 AEFC平面 ABCD AC ， FO 平面 AEFC， FO 平面 ABCD . 以 O 为坐标原点，以OB，OC，OF 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直………………（6 分） 角坐标系O xyz ，如图所示. 则  3,0,0B ，  0,0,2F ，  0,1,0C ，  3,0,0D  ，  0,1, 2FC    ，  3, 1,0CD     . 设平面DFC的法向量为  , ,n x y z  ， 则 · 0 · 0 n FC n CD       ，即 2 0 3 0 y z x y       ，令 2x  ，则 2 3, 3y z    ，  2, 2 3, 3n     . ………………（8分）又平面 BFD的法向量为  0,1,0m  ur .………（9 分） 设二面角 B FD C  的大小为，则为锐角. 2 3 2 57cos cos , 191 4 12 3 m nm n m n                ，……………………………（11 分） 二面角 B FD C  的余弦值为 2 57 19 .……………………………………………………（12 分） 19. （1） 3 2 8 12 5 20 C C 77 C 323 P   .………………………………………………………………………（2 分） （2）（i） 6 3 2 1(100 120) , ( 120) 20 10 20 10 P X P X    „ … ，所以 2( 100) 5 P X … ，所以年产量不低于 100 吨的概率为 2 5 ，低于 100 吨的概率为 3 5 ，记未来 3年中该液体化工产品年产量不低于 100 吨的年数为 Y， 则 2~ 3, 5 Y B       ，所以在未来 3年中至少有一年年产量不低于 100 吨的概率 3 0 3 3 981 C 5 125 P          .(5 分) （ii）记该企业在稀有金属提取项目中所得总利润为  （单位：万元）. 由题得，要使获得利润尽量大，应至少安装 3 台提取设备， 1 若安装 3 台提取设备，则在稀有金属提取项目中所得最大总利润 ( ) 3 50 150E     万元. ……（6 分） ②由题知，液体化工产品年产量 [40,60)X  的概率为 3 20 ，此时可运行 3 台设备，年产量 60X… 的概率为 17 20 ，此时可运行 4 台.若安装 4 台提取设备，则 3 台运行，1 台不运行的概率为 3 20 ，4 台运行的概率为 17 20 ， 所以离散型随机变量  的分布列为  （单位：万元） 140 200 P 3 20 17 20 此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润 3 17( ) 140 200 191 20 20 E       万元. ………………（8 分） ③若安装 5 台提取设备，同理可得离散型随机变量  的分布列为  （单位：万元） 130 190 250 P 3 20 9 20 8 20 此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润 3 9 8( ) 130 190 250 205 20 20 20 E         万元. ……（10分） ④若安装 6 台提取设备，同理可得离散型随机变量  的分布列为 （单位：万元） 120 180 240 300 P 3 20 9 20 6 20 2 20 此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润 3 9 6 2( ) 120 180 240 300 201 20 20 20 20 E           万元. 综上，当安装 5 台提取设备时，稀有金属提取项目所获总利润为 205 万元，大于其他情况，所以安装 5 台稀有金属提取设备能获得该项目的最大总利润. ……………………………………………（12 分） 20. （1）∵ 2MF x 轴，∴ 2 2 2 2 1c y a b   ，∴ 2 M by a  ∵OH是 1 2F F M△ 的中位线，且 2 4 OH  ， 第 4 页 共 4 页 ∴ 2 2 2 MF  ,即 2 2 2 b a  ，整理得 2 42a b ①又由题知，当Q在椭圆E 的上顶点时， 1 2F F Q△ 的面积 最大，∴ 1 2 1 2 c b   ，整理得 1bc  ，∴ 2 2 2( 1)b a b  ②联立①②可得 6 42 1b b  ，变形得 2 4 21 2)( 1( ) 0b b b    ，解得 2 1b  ,∴ 2 2a  ．∴椭圆 E 的方程式为 2 2 1 2 x y  ．…………（4 分） （2）设 1 1 2 2( ),, ,( )A x y C x y ，则由对称性可知 1 1 2 2( , ), ( ),D x y B x y  ， 设直线 AC与 x 轴交于点  ,0t ，则直线 AC的方程为  0x my t m   ， 联立 2 2 1 2 x my t x y       ，消去 x得  2 2 22 2 2 0m y mty t     ， ∴ 2 1 2 1 22 2 2 2, 2 2 mt ty y y y m m        ， ………………………………………（6分） 由 , ,A B S 三点共线知 AS BSk k ，即 1 2 1 24 4 y y x x     ，将 1 1 2 2,x my t x my t    代入整理得 1 2 2 14( 0( )4)y my t y my t      ，∴ 1 2 1 22 ( 4 ( 0))my y t y y    ∴    2 2 2 2 2 4 0 2 m t mt t m      ，化简得 (2 1) 0m t   ，解得 1 2 t  ，………………（9 分） ∴直线 AC的方程为 1 2 x my  ，故直线 AC过定点 1 ,0 2       ． ………………（10 分） 同理可得 BD过定点 1 ,0 2       ， ∴直线 AC与 BD的交点是定点，定点坐标为 1 ,0 2       ． ………………………（12 分） 21. （1）由   e sinaxf x x ，得    ' e sin cosaxf x a x x  ， 由  f x 在 π π 6 3 x      ， 上存在单调递增区间，可得  ' 0f x  在 π π, 6 3      上有解， 即 sin cos 0a x x  在 π π, 6 3      上有解，则 min 1 tan a x       ，∴ 3a   ， ∴ a 的取值范围为  3,   .…………………………………………………（4分） （2）设     sinaxbx e xg xf x bx     ， π0, 2 x      ，则    ' e sin cosaxg x a x x b   . 设    e sin cosaxh x a x x b   ，则    2' 1 sin 2 cos 0axh x e a x a x      ， ∴  h x 单调递增，即  'g x 在 π0, 2      上单调递增 ∴   π 2' 1 , e a g x b a b         .…………（6分） 当 1b  时，  ' 0g x  ，  g x 在 π0, 2      上单调递增，∴    0 0g x g  ，不符合题意； 当 π 2e a b a 时，  ' 0g x  ，  g x 在 π0, 2      上单调递减，    0 0g x g  ，符合题意； 当 π 21 e a b a  时，由于  'g x 为一个单调递增的函数， 而  ' 0 1 0g b   ， π 2π' e 0 2 a g a b        ，则必存在一个零点 0x ，使得  0' 0g x  ， 从而  g x 在  00,x x 上单调递减，在 0 π, 2 x     上单调递增， 因此只需 π 0 2 g       ，∴ π 2 πe 2 a b ，∴ π 22 e π a b  ，从而 π π 2 22 e e π a a b a ， 综上， b 的取值范围为 π 22 e , π a     ， ………………………………………………（10 分） 因此 π 2 222e e e π a b a a   . 设   π 222 e e a G a a    ，则   π 22e e' a G a   ， 令  ' 0G a  ，则 4 1a    ，∴  G a 在 41, π      上单调递减，在 4 , π      上单调递增， 从而   24 2e π π G a G        ，∴ 2eb a 的最小值为 22 π e  . ………………………（12 分） 22. （1）由 8 2 x t   可得 0x  ， 由 8 2 4 2 x t ty t         ，消去参数 t ，可得直线 l 的普通方程为 4 0( 0)x y x    ．（范围掉了扣一分）…（3 分） 由 2sin  可得 2 2 sin   ，将 siny   ， 2 2 2x y   代入上式，可得 2 2 2 0x y y   ， 所以曲线C 的直角坐标方程为 2 2 2 0x y y   ． ………………………………………（5 分） （2）由（1）得， l 的普通方程为 4 0( 0)x y x    ， 将其化为极坐标方程可得 cos sin 4 0( ) 2           ， 当  0 4     时， 2 2A  ， 2B  ，所以 | | | | | 2 2 2 | 2A BAB       ． …………（10 分） 23. （1）当 0x  时， | 4 |( ) xf x x  等价于 | | | 2 | 4x x    ，该不等式恒成立；当 0 2x  时， | 4 |( ) xf x x  等价于 2 4 ，该不等式不成立；当 2x  时， | 4 |( ) xf x x  等价于 2 2 2 4 x x     ，解得 3x  ， 所以不等式 | 4 |( ) xf x x  的解集为 ( ,0) (3, )  . …………………………………………（5 分） （2）因为 ( ) | | | 2 | | ( 2) | 2f x x x x x       ，当 0 2x  时取等号，所以 2M  , 2 2 2a b c   ， 由柯西不等式可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 ( 2 2 ) (1 2 2 )( ) 9( )a b c a b c a b c           , 当且仅当 2 4 4, , 9 9 9 a b c   时等号成立，所以 2 2 2 4 9 a b c   . ………………………………（10 分）