数学文卷·2019届湖南省衡阳市第八中学高二上学期期末考试（2018-01） 8页

‎2017年衡阳市八中高二期末考试 数学（文科）试题 命题人：吕建设 彭源 审题人：钟小霖 请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；附加题23,24为479班学生必做题；‎ 一． 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于 A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2.若是假命题，则 B A. 至少有一个是假命题 B. 均为假命题 C. 中恰有一个是假命题 D. 至少有一个是真命题 ‎3.函数的图象在点处的切线方程为 D A． B． C． D． ‎ ‎4.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率是，则双曲线的渐近线方程为 B A. B. C. D. ‎ ‎5.下表是八中1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎6‎ ‎4‎ ‎3.3‎ ‎2.7‎ 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则等于 C A. ‎5.85 B. 5.75 C. 5.5 D. 5.25‎ ‎6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则= D A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎7.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是 B A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ ‎8.用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是 B A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 能被5整除 ‎9.已知函数的图像如图所示（其中是定义域为R函数的导函数）,则以下说法错误的是 C A. B.当时, 函数取得极大值 C.方程与均有三个实数根 D.当时,函数取得极小值 ‎10.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上， ， ，则椭圆的离心率 C A. B. C. D. ‎ ‎11.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ， ，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则 C A. 35 B. 48 C. 63 D. 80‎ ‎12有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N； A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长 的最小值为: A A. ‎ B. C. D. ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D B C D B B C C C A 二、 填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分. 将答案填写在题中横线上)‎ ‎13.已知“， ”的否定是__,__________．‎ ‎14.两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于的概率是____________．‎ ‎15.空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0~50为优，51~100为良。101~150为轻度污染，151~200为中度污染，201~250为重度污染，251~300为严重污染。一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图。利用该样本估计该地本月空气质量状况优良（AQI≤100）的天数（这个月按30计算）为____18_______．‎ ‎16.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是__a∈(,)________．‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题8分) 已知复数在复平面内对应的点分别为， ，（）． ‎ ‎（1）若，求的值； ‎ ‎（2）若复数对应的点在二、四象限的角平分线上，求的值．‎ 解：（I）由复数的几何意义可知： ． ‎ 因为，所以 ．‎ 解得或 ‎（II）复数 ‎ 由题意可知点在直线上 所以，解得 18. ‎(本小题8分)已知：方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆；‎ ‎：实数满足不等式， ‎ ‎（1）若为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；‎ 解：（1）根据焦点在轴上的椭圆的标准方程形式，得，解此不等式组即可得到实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，不等式， 是（1）中范围的子集，由此建立不等关系，即可求出实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）解：由题意知： 所以 ‎（2）∵是的必要不充分条件 ‎∴集合是集合的真子集 ‎∴‎ ‎19.(本小题9分)已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线与曲线交于两点，求 ‎（Ⅰ）直线:（为参数），消去得，即 ‎ 曲线： ，即，‎ 又， ‎ 故曲线： ‎ ‎（Ⅱ）将的参数方程（t为参数），代入曲线： ，消去得 ， ‎ 由参数的几何意义知， ‎ ‎20.(本小题9分)‎ 某老师对全班名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示：‎ 参加社团活动 不参加社团活动 合计 学习积极性高 学习积极性一般 合计 ‎（1）请把表格数据补充完整；‎ ‎（2）若从不参加社团活动的人按照分层抽样的方法选取人，再从所选出的人中随机选取两人作为代表发言，求至少有一个学习积极性高的概率；‎ ‎（3）运用独立性检验的思想方法分析：请你判断是否有的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系？‎ 附： ‎ ‎（1）‎ 参加社团活动 不参加社团活动 合计 学习积极性高 学习积极性一般 合计 ‎（2）人选人，其中学习积极性高的人记为，学习积极性一般的人，记为，从这人中任选两人，共有以下个等可能性基本事件： ，‎ 则至少有以为学习积极性高的事件有个，所以至少有一位学习积极性高的概率.‎ ‎（3）所以大约有的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系.‎ ‎21.(本小题9分)‎ 已知中心在原点O，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图，若椭圆，椭圆，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一 条切线交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．‎ ‎(1)设椭圆C的方程为，‎ ‎∴直线AB的方程为＋＝1.‎ ‎∴F1(－1,0)到直线AB距离d＝＝b，‎ 整理得a2＋b2＝7(a－1)2，‎ 又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为＋＝1，‎ ‎①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2；‎ ‎②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为y＝kx＋p，‎ 将y＝kx＋p代入椭圆C的方程，‎ 得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－12＝0，‎ ‎∴Δ＝(8kp)2－4(3＋4k2)(4p2－12)＝48(4k2＋3－p2)＝0，‎ 即p2＝4k2＋3.()‎ 记M、N两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，‎ 将y＝kx＋p代入椭圆C2的方程，‎ 得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－36＝0，‎ 此时x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ‎∴|x1－x2|＝，‎ ‎∴|MN|＝·‎ ‎＝4＝2，‎ ‎∵3＋4k2≥3，∴1<1＋≤，‎ 即2<2≤4，‎ 结合①②，得弦长|MN|的取值范围为[2，4]．‎ ‎22.(本小题9分)‎ 已知函数（）‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在处取得极值，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，证明不等式 .‎ ‎（1）函数的定义域为， 1分 当时，，从而，故函数在上单调递减 3分 当时，若，则，从而，‎ 若，则，从而，‎ 故函数在上单调递减，在上单调递增； 5分 ‎（2）由（1）得函数的极值点是，故 6分 所以，即，‎ 由于，即. 7分 令，则 当时，；当时，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增； ‎ 故，所以实数的取值范围为 ‎ ‎（3）不等式 ‎ 构造函数，则，‎ 在上恒成立，即函数在上单调递增， ‎ 由于，所以，得 故 ‎