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- 2021-06-23 发布
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2017-2018学年河南省焦作市高二5月联考数学(文)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位,为复数的模,则( )
A. B. C. D.
3.如图所示,大正方形被分割成9个小正方形,每个小正方形中阴影部分与空白部分形状完全相同,若在大正方形内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知,则( )
A.0 B.2 C. D.
5.在平面直角坐标系中,是抛物线:的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,,则的面积为( )
A.1 B. C. D.2
6.函数( )
A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增 D.在定义域内单调递减
7.执行如图所示的程序框图,则输出的( )
A.48 B.49 C.50 D.52
8.在四面体中,已知,,是边长为2的等边三角形,那么点到底面的距离是( )
A.1 B. C.2 D.3
9.已知函数的图象与直线相切于点,则( )
A.16 B.8 C.4 D.2
10.如图是函数的部分图象,的两零点之差的绝对值的最小值为,则的一个极值点为( )
A. B. C. D.
11.在中,,是的外心,则( )
A.4 B.6 C.8 D.16
12.已知为递增的等差数列,且构成等比数列.若,数列
的前项和恒成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知正项等比数列中,,则 .
14.一次月考数学测验结束后,四位同学对完答案后估计分数,甲:我没有得满分;乙:丙得了满分;丙:丁得了满分;丁:我没有得满分.以上四位同学中只有一个人说的是真话,只有一个人数学得到满分,据此判断,得了满分的同学是 .
15.已知实数满足不等式组,则目标函数的最大值为 .
16.已知平行四边形的四个顶点均在双曲线上,为坐标原点,为线段的中点且的斜率之积为3,则双曲线的离心率为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在中,角所对的边分别为,.
(1)求证:成等差数列;
(2)若,求的面积.
18.某知名书店推出新书借阅服务一段时间后,该书店经过数据统计发现图书周销售量(单位:百本)和周借阅量(单位:百本)存在线性相关关系,得到如下表格:
其中.
(1)求关于的回归直线方程;(结果保留到小数点后两位)
(2)当周借阅量为80百本时,预计图书的周销售量为多少百本.(结果保留整数)
参考公式:,
参考数据:.
19.下面是几何体的三视图及直观图.
(1)试判断线段上是否存在一点,使得平面,请说明理由;
(2)证明:.
20.已知函数在区间上为减函数.
(1)求的取值范围;
(2)当时,方程有几个不同的实根?说明理由.
21.已知椭圆的长轴长为4,直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于两点(点不同于椭圆的右顶点),证明:直线过定点.
22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,的极坐标为.
(1)写出曲线的直角坐标方程及的直角坐标;
(2)设直线与曲线相交于两点,求的值.
23.已知函数.
(1)解不等式;
(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BDAAC 6-10:BDBBC 11、12:CD
二、填空题
13. 14.甲 15.8 16.2
三、解答题
17.解:(1)依题意
所以即
由正弦定理得,所以成等差数列.
(2)由得,根据余弦定理,,
所以,又,∴,
所以为等边三角形,所以面积为.
18.解:(1),
所以,
,
所以回归直线方程是.
(2)当周借阅量为80百本时,预计该店的周销售量(百本).
19.解:(1)存在线段的中点,使得平面,理由如下:
由三视图可知,,且平面,平面
取的中点,连接,
因为为中点,所以,且
因为四边形是直角梯形,,且,
所以,所以四边形为平行四边形,所以
因为平面,平面,所以平面.
(2)因为平面,所以,
所以,因为四边形为矩形,
所以,,所以平面,
又,故平面,平面,
所以,故,
因为四边形为直角梯形,,且,
所以,∴.
又,即,故.
20.解:(1),因为在区间上为减函数,
所以在区间上恒成立,
所以即
解之得,所以的取值范围是
(2)因为,所以
令,得或
,随的变化情况如下表:
画出函数的大致图象(略)易知方程有3个不同的实根.
21.(1)根据题意,设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限,又长为,
∴,∴,可得,
又,
∴,故题意的标准方程为,
(2)显然直线的斜率存在且不为0,设,
由得,∴,
同理可得
当时,,所以直线的方程为
整理得,所以直线
当时,直线的方程为,直线也过点
所以直线过定点.
22.解:(1)曲线的极坐标方程为,
将代入可得直角坐标方程为.
的直角坐标为.
(2)联立方程与,可得
即,
所以
23.(1),
解或或得,所以解集为.
(2)由(1)知在时取得最小值,
所以,解之得
所以的取值范围是.