高中数学选修2-2教案第二章 5 8页

明目标、知重点 ‎1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．‎ ‎2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．‎ ‎1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x)，其中u为中间变量．‎ ‎2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ 探究点一　复合函数的定义 思考1　观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？‎ 答　y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以y＝ln(x＋2)称为复合函数．‎ 思考2　对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？‎ 答　复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．‎ 思考3　在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？‎ 答　A⊆B.‎ 小结　要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．‎ 例1　指出下列函数是怎样复合而成的：‎ ‎(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.‎ 解　(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；‎ ‎(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；‎ ‎(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．‎ 反思与感悟　分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．‎ 跟踪训练1　指出下列函数由哪些函数复合而成：‎ ‎(1)y＝ln ；(2)y＝esin x；(3)y＝cos (x＋1)．‎ 解　(1)y＝ln u，u＝；‎ ‎(2)y＝eu，u＝sin x；‎ ‎(3)y＝cos u，u＝x＋1.‎ 探究点二　复合函数导数的求解 思考　如何求复合函数的导数？‎ 答　对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．‎ 例2　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝；‎ ‎(3)y＝sin(－2x＋)；(4)y＝102x＋3.‎ 解　(1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.‎ ‎(2)y＝＝(1－2x)－可看作y＝u－，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(－)u－·(－2)＝(1－2x)－＝；‎ ‎(3)原函数可看作y＝sin u，u＝－2x＋的复合函数，‎ 则yx′＝yu′·ux′＝cos u·(－2)＝－2cos(－2x＋)‎ ‎＝－2cos(2x－)．‎ ‎(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，‎ 则yx′＝yu′·ux′＝102x＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x＋3.‎ 反思与感悟　分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．‎ 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．‎ 跟踪训练2　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x(1＋＋)；‎ ‎(2)y＝1＋sin cos ；‎ ‎(3)y＝(＋1)(－1)．‎ 解　(1)y＝x(1＋＋)＝x＋2＋，‎ ‎∴y′＝1－.‎ ‎(2)y＝1＋sin cos ＝1＋sin x，‎ ‎∴y′＝cos x.‎ ‎(3)∵y＝(＋1)(－1)＝－＋，‎ ‎∴y′＝(－)′＋()′＝－x－－x－ ‎＝－(1＋)．‎ 探究点三　复合函数导数的应用 例3　求曲线y＝f(x)＝e2x＋1在点(－，1)处的切线方程．‎ 解　∵y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，‎ ‎∴f′(－)＝2，‎ ‎∴曲线y＝e2x＋1在点(－，1)处的切线方程为 y－1＝2(x＋)，‎ 即2x－y＋2＝0.‎ 反思与感悟　求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“‎ 过某点的切线”两种不同的说法．‎ 跟踪训练3　曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．‎ 解　设u＝sin x，‎ 则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cos xesin x.‎ y′|x＝0＝1.‎ 则切线方程为y－1＝x－0，‎ 即x－y＋1＝0.‎ 若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.‎ 两平行线间的距离d＝＝⇒c＝3或c＝－1.‎ 故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.‎ ‎1．函数y＝(3x－2)2的导数为(　　)‎ A．2(3x－2) B．6x C．6x(3x－2) D．6(3x－2)‎ 答案　D 解析　y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)．‎ ‎2．若函数y＝sin2x，则y′等于(　　)‎ A．sin 2x B．2sin x C．sin xcos x D．cos2x 答案　A 解析　y′＝2sin x·(sin x)′‎ ‎＝2sin x·cos x＝sin 2x.‎ ‎3．若y＝f(x2)，则y′等于(　　)‎ A．2xf′(x2) B．2xf′(x)‎ C．4x2f(x) D．f′(x2)‎ 答案　A 解析　设x2＝u，则y′＝f′(u)·ux′‎ ‎＝f′(x2)·(x2)′＝2xf′(x2)．‎ ‎4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由题意知y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ 求简单复合函数f(ax＋b)的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键．‎ 一、基础过关 ‎1．下列函数不是复合函数的是(　　)‎ A．y＝－x3－＋1‎ B．y＝cos(x＋)‎ C．y＝ D．y＝(2x＋3)4‎ 答案　A 解析　A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.‎ ‎2．曲线y＝f(x)＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)‎ A．2e B．e C．2 D．1‎ 答案　C 解析　y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，‎ 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为f′(1)＝2.‎ ‎3．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)‎ A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 答案　B 解析　y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′‎ ‎＝2xcos 2x＋x2·(－2sin 2x)‎ ‎＝2xcos 2x－2x2sin 2x.‎ ‎4．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.‎ 答案　 解析　f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，‎ ‎∴f′(2)＝.‎ ‎5．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ 答案　(－ln 2,2)‎ 解析　设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，‎ ‎∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，‎ ‎∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，‎ ‎∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2,2)．‎ ‎6．曲线y＝cos(2x＋)在x＝处切线的斜率为______．‎ 答案　－2‎ 解析　∵y′＝－2sin(2x＋)，‎ ‎∴切线的斜率k＝－2sin(2×＋)＝－2.‎ ‎7．已知函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，求实数a的值．‎ 解　y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′‎ ‎＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]‎ ‎＝(1－ax)2－2ax(1－ax)．‎ 由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)‎ ‎＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.‎ 二、能力提升 ‎8．下列各函数的导数：①()′＝x－；②(ax)′＝a2ln x；③(sin 2x)′＝cos 2x；④()′＝.其中正确的有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　B 解析　()′＝(x)′＝x－，①正确；(ax)′＝axln a，②错误；(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos ‎ 2x，③错误；()′＝＝＝，④错误．故正确的只有1个．‎ ‎9．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)‎ A.e2 B．4e2‎ C．2e2 D．e2‎ 答案　D 解析　∵y′＝ex·，∴y′|x＝4＝e2.‎ ‎∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－4)，‎ 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2,0)，‎ 则切线与坐标轴围成的三角形面积 S＝|－e2||2|＝e2.‎ ‎10．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　f′(x)＝2(2x＋a)·2＝4(2x＋a)，f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.‎ ‎11．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l的方程．‎ 解　f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.‎ ‎∴f′(x)＝2ax－2＋＝，‎ f′(0)＝－1，‎ ‎∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，‎ ‎∴切线l的方程为x＋y－1＝0.‎ ‎12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝s(t)＝5－.求函数在t＝ s时的导数，并解释它的实际意义．‎ 解　函数s＝5－可以看作函数s＝5－和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．‎ 由导数公式表可得sx′＝－x－，xt′＝－18t.‎ 故由复合函数的求导法则得st′＝sx′·xt′‎ ‎＝(－x－)·(－18t)＝，‎ 将t＝代入s′(t)，得s′()＝0.875 (m/s)．‎ 它表示当t＝ s时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.‎ 三、探究与拓展 ‎13．曲线y＝f(x)＝e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．‎ 解　∵y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′‎ ‎＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，‎ ‎∴f′(0)＝2.‎ ‎∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，‎ 即y＝2x＋1.‎ 设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，‎ 根据题意，得＝，‎ ‎∴b＝6或－4.‎ ‎∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.‎