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  • 2021-06-23 发布

高中数学选修2-2教案第二章 5

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明目标、知重点 ‎1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则.‎ ‎2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax+b)的导数).‎ ‎1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成x的函数,我们称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y=f(φ(x),其中u为中间变量.‎ ‎2.复合函数的求导法则 复合函数y=f(φ(x))的导数和函数y=f(u),u=φ(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积.‎ 探究点一 复合函数的定义 思考1 观察函数y=2xcos x及y=ln(x+2)的结构特点,说明它们分别是由哪些基本函数组成的?‎ 答 y=2xcos x是由u=2x及v=cos x相乘得到的;而y=ln(x+2)是由u=x+2与y=ln u(x>-2)经过“复合”得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.所以y=ln(x+2)称为复合函数.‎ 思考2 对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系?‎ 答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程.在分析时可以从外向里出发,先根据最外层的主体函数结构找出y=f(u);再根据内层的主体函数结构找出函数u=g(x),函数y=f(u)和u=g(x)复合而成函数y=f(g(x)).‎ 思考3 在复合函数中,内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系?‎ 答 A⊆B.‎ 小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别,对于复合函数,要掌握引入中间变量,将其分拆成几个基本初等函数的方法.‎ 例1 指出下列函数是怎样复合而成的:‎ ‎(1)y=(3+5x)2;(2)y=log3(x2-2x+5);(3)y=cos 3x.‎ 解 (1)y=(3+5x)2是由函数y=u2,u=3+5x复合而成的;‎ ‎(2)y=log3(x2-2x+5)是由函数y=log3u,u=x2-2x+5复合而成的;‎ ‎(3)y=cos 3x是由函数y=cos u,u=3x复合而成的.‎ 反思与感悟 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u,分别找出y和u的函数关系,u和x的函数关系.‎ 跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成:‎ ‎(1)y=ln ;(2)y=esin x;(3)y=cos (x+1).‎ 解 (1)y=ln u,u=;‎ ‎(2)y=eu,u=sin x;‎ ‎(3)y=cos u,u=x+1.‎ 探究点二 复合函数导数的求解 思考 如何求复合函数的导数?‎ 答 对于简单复合函数的求导,其一般步骤为“分解——求导——回代”,即:(1)弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;(2)利用求导法则分层求导;(3)最终结果要将中间变量换成自变量.注意不要漏掉第(3)步回代的过程.‎ 例2 求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=(2x-1)4;(2)y=;‎ ‎(3)y=sin(-2x+);(4)y=102x+3.‎ 解 (1)原函数可看作y=u4,u=2x-1的复合函数,则yx′=yu′·ux′=(u4)′·(2x-1)′=4u3·2=8(2x-1)3.‎ ‎(2)y==(1-2x)-可看作y=u-,u=1-2x的复合函数,则yx′=yu′·ux′=(-)u-·(-2)=(1-2x)-=;‎ ‎(3)原函数可看作y=sin u,u=-2x+的复合函数,‎ 则yx′=yu′·ux′=cos u·(-2)=-2cos(-2x+)‎ ‎=-2cos(2x-).‎ ‎(4)原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数,‎ 则yx′=yu′·ux′=102x+3·ln 10·2=(ln 100)102x+3.‎ 反思与感悟 分析复合函数的结构,找准中间变量是求导的关键,要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体,并且它们必须是一些常见的基本函数.‎ 复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由外及内逐层求导.‎ 跟踪训练2 求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=x(1++);‎ ‎(2)y=1+sin cos ;‎ ‎(3)y=(+1)(-1).‎ 解 (1)y=x(1++)=x+2+,‎ ‎∴y′=1-.‎ ‎(2)y=1+sin cos =1+sin x,‎ ‎∴y′=cos x.‎ ‎(3)∵y=(+1)(-1)=-+,‎ ‎∴y′=(-)′+()′=-x--x- ‎=-(1+).‎ 探究点三 复合函数导数的应用 例3 求曲线y=f(x)=e2x+1在点(-,1)处的切线方程.‎ 解 ∵y′=e2x+1·(2x+1)′=2e2x+1,‎ ‎∴f′(-)=2,‎ ‎∴曲线y=e2x+1在点(-,1)处的切线方程为 y-1=2(x+),‎ 即2x-y+2=0.‎ 反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数,要注意“在某点处的切线”与“‎ 过某点的切线”两种不同的说法.‎ 跟踪训练3 曲线y=esin x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.‎ 解 设u=sin x,‎ 则y′=(esin x)′=(eu)′(sin x)′=cos xesin x.‎ y′|x=0=1.‎ 则切线方程为y-1=x-0,‎ 即x-y+1=0.‎ 若直线l与切线平行可设直线l的方程为x-y+c=0.‎ 两平行线间的距离d==⇒c=3或c=-1.‎ 故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0.‎ ‎1.函数y=(3x-2)2的导数为(  )‎ A.2(3x-2) B.6x C.6x(3x-2) D.6(3x-2)‎ 答案 D 解析 y′=2(3x-2)·(3x-2)′=6(3x-2).‎ ‎2.若函数y=sin2x,则y′等于(  )‎ A.sin 2x B.2sin x C.sin xcos x D.cos2x 答案 A 解析 y′=2sin x·(sin x)′‎ ‎=2sin x·cos x=sin 2x.‎ ‎3.若y=f(x2),则y′等于(  )‎ A.2xf′(x2) B.2xf′(x)‎ C.4x2f(x) D.f′(x2)‎ 答案 A 解析 设x2=u,则y′=f′(u)·ux′‎ ‎=f′(x2)·(x2)′=2xf′(x2).‎ ‎4.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=________.‎ 答案 2‎ 解析 由题意知y′|x=0=aeax|x=0=a=2.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ 求简单复合函数f(ax+b)的导数 求简单复合函数的导数,实质是运用整体思想,先把简单复合函数转化为常见函数y=f(u),u=ax+b的形式,然后再分别对y=f(u)与u=ax+b分别求导,并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为y=f(u),u=ax+b的形式是关键.‎ 一、基础过关 ‎1.下列函数不是复合函数的是(  )‎ A.y=-x3-+1‎ B.y=cos(x+)‎ C.y= D.y=(2x+3)4‎ 答案 A 解析 A中的函数是一个多项式函数,B中的函数可看作函数u=x+,y=cos u的复合函数,C中的函数可看作函数u=ln x,y=的复合函数,D中的函数可看作函数u=2x+3,y=u4的复合函数,故选A.‎ ‎2.曲线y=f(x)=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于(  )‎ A.2e B.e C.2 D.1‎ 答案 C 解析 y′=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,‎ 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为f′(1)=2.‎ ‎3.函数y=x2cos 2x的导数为(  )‎ A.y′=2xcos 2x-x2sin 2x B.y′=2xcos 2x-2x2sin 2x C.y′=x2cos 2x-2xsin 2x D.y′=2xcos 2x+2x2sin 2x 答案 B 解析 y′=(x2)′cos 2x+x2(cos 2x)′‎ ‎=2xcos 2x+x2·(-2sin 2x)‎ ‎=2xcos 2x-2x2sin 2x.‎ ‎4.若f(x)=log3(x-1),则f′(2)=________.‎ 答案  解析 f′(x)=[log3(x-1)]′=,‎ ‎∴f′(2)=.‎ ‎5.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.‎ 答案 (-ln 2,2)‎ 解析 设P(x0,y0),∵y=e-x,∴y′=-e-x,‎ ‎∴点P处的切线斜率为k=-e-x0=-2,‎ ‎∴-x0=ln 2,∴x0=-ln 2,‎ ‎∴y0=eln 2=2,∴点P的坐标为(-ln 2,2).‎ ‎6.曲线y=cos(2x+)在x=处切线的斜率为______.‎ 答案 -2‎ 解析 ∵y′=-2sin(2x+),‎ ‎∴切线的斜率k=-2sin(2×+)=-2.‎ ‎7.已知函数y=x(1-ax)2(a>0),且y′|x=2=5,求实数a的值.‎ 解 y′=(1-ax)2+x[(1-ax)2]′‎ ‎=(1-ax)2+x[2(1-ax)(-a)]‎ ‎=(1-ax)2-2ax(1-ax).‎ 由y′|x=2=(1-2a)2-4a(1-2a)‎ ‎=12a2-8a+1=5(a>0),解得a=1.‎ 二、能力提升 ‎8.下列各函数的导数:①()′=x-;②(ax)′=a2ln x;③(sin 2x)′=cos 2x;④()′=.其中正确的有(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案 B 解析 ()′=(x)′=x-,①正确;(ax)′=axln a,②错误;(sin 2x)′=cos 2x·(2x)′=2cos ‎ 2x,③错误;()′===,④错误.故正确的只有1个.‎ ‎9.曲线y=ex在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(  )‎ A.e2 B.4e2‎ C.2e2 D.e2‎ 答案 D 解析 ∵y′=ex·,∴y′|x=4=e2.‎ ‎∴曲线在点(4,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-4),‎ 切线与坐标轴的交点分别是(0,-e2),(2,0),‎ 则切线与坐标轴围成的三角形面积 S=|-e2||2|=e2.‎ ‎10.若f(x)=(2x+a)2,且f′(2)=20,则a=________.‎ 答案 1‎ 解析 f′(x)=2(2x+a)·2=4(2x+a),f′(2)=16+4a=20,∴a=1.‎ ‎11.已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.求切线l的方程.‎ 解 f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.‎ ‎∴f′(x)=2ax-2+=,‎ f′(0)=-1,‎ ‎∴切点P的坐标为(0,1),l的斜率为-1,‎ ‎∴切线l的方程为x+y-1=0.‎ ‎12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s=s(t)=5-.求函数在t= s时的导数,并解释它的实际意义.‎ 解 函数s=5-可以看作函数s=5-和x=25-9t2的复合函数,其中x是中间变量.‎ 由导数公式表可得sx′=-x-,xt′=-18t.‎ 故由复合函数的求导法则得st′=sx′·xt′‎ ‎=(-x-)·(-18t)=,‎ 将t=代入s′(t),得s′()=0.875 (m/s).‎ 它表示当t= s时,梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.‎ 三、探究与拓展 ‎13.曲线y=f(x)=e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为,求直线l的方程.‎ 解 ∵y′=(e2x)′·cos 3x+e2x·(cos 3x)′‎ ‎=2e2x·cos 3x-3e2x·sin 3x,‎ ‎∴f′(0)=2.‎ ‎∴经过点(0,1)的切线方程为y-1=2(x-0),‎ 即y=2x+1.‎ 设适合题意的直线方程为y=2x+b,‎ 根据题意,得=,‎ ‎∴b=6或-4.‎ ‎∴适合题意的直线方程为y=2x+6或y=2x-4.‎

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