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  • 2021-06-23 发布

2020届高考理科数学全优二轮复习训练:专题5 第3讲 数列的综合问题

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专题复习检测 A卷 ‎1.等比数列{an}中,若a1=1,a10=2,则log2a1+log2a2+…+log2a10=(  )‎ A.2  B.4  ‎ C.5  D.10‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵{an}为等比数列,∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=2.∴log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2…a10)=log225=5.故选C.‎ ‎2.(2018年四川成都模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,-=-4,则Sn取最大值时的n的值为(  )‎ A.2  B.3   ‎ C.4  D.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵=a1+d,∴是首项为a1,公差为的等差数列.∵a1=9,-=-4,∴-4=4×,解得d=-2.∴Sn=9n-×2=-n2+10n=-(n-5)2+25.∴当n=5时,Sn取得最大值.‎ ‎3.已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2,则数列{an}的通项公式an=(  )‎ A.(n-1)2n  B.(n-1)3n ‎ C.n·2n  D.n·3n ‎【答案】C ‎【解析】由题意知a1=f(2)=2,an+1=f(2n+1)=2f(2n)+2nf(2)=2an+2n+1,则=+1,所以是首项为1,公差为1的等差数列.所以=n,则an=n·2n.‎ ‎4.已知数列{an}的前n项和Sn=3n(λ-n)-6,若数列{an}单调递减,则λ的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2)  B.(-∞,3)‎ C.(-∞,4)  D.(-∞,5)‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵Sn=3n(λ-n)-6,∴Sn-1=3n-1(λ-n+1)-6,n>1.两式相减,得an=3n-1(2λ-2n-1)(n>1,n∈N*)为单调递减数列,∴an>an+1,且a1>a2.∴3n-1(2λ-2n-1)>3n(2λ-2n-3)且λ<2,化为λ<n+2(n>1)且λ<2,∴λ<2,∴λ的取值范围是(-∞,2).故选A.‎ ‎5.某房地产开发公司用800万元购得一块土地,该土地可以建造每层1 ‎ ‎000平方米的楼房,已知第一层每平方米的建筑费用为600元,楼房每升高一层,每平方米的建筑费用增加40元.若把楼房建成n层后,每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和),则n的值为(  )‎ A.19  B.20   ‎ C.21  D.22‎ ‎【答案】B ‎【解析】易知每层的建筑费用构成等差数列,设为{an},则n层的建筑总费用为Sn=600×103+(600+40)×103+…+[600+40(n-1)]×103=(2n2+58n)×104,所以每平方米的平均综合费用为=10≥10=1 380元,当且仅当2n=,即n=20时等号成立.‎ ‎6.在等比数列{an}中,an∈R,a3,a11是方程3x2-25x+27=0的两根,则a7=________.‎ ‎【答案】3  ‎ ‎【解析】由题意,得∴a3>0,a11>0,且a=a3a11=9,∴a7=3.‎ ‎7.(2018年江西南昌模拟)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列.若a1a6a11=3,b1+b6+b11=7π,则tan的值是________.‎ ‎【答案】- ‎【解析】由a1a6a11=3,得a=()3.由b1+b6+b11=7π,得3b6=7π.∴a6=,b6=.‎ ‎∴tan =tan =tan =‎ tan=tan=-tan =-.‎ ‎8.(2019年湖南长沙模拟)设数列{an}的前n项和是Sn,若点An在函数f(x)=-x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记bn=aan,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.‎ ‎【解析】(1)由题意得=-n+c,即Sn=-n2+cn.‎ 因为a1=3,所以c=4,故Sn=-n2+4n.‎ 所以an=Sn-Sn-1=-2n+5(n≥2).‎ 又a1=3满足上式,所以an=-2n+5.‎ ‎(2)由(1)知bn=aan=-2an+5=-2(-2n+5)+5=4n-5,‎ 所以Tn==2n2-3n.‎ 所以Tn的最小值是T1=-1.‎ B卷 ‎9.(2019年安徽合肥模拟)如图所示是毕达哥拉斯树(Pythagoras Tree)的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,…,如此继续,若共得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为,则最小正方形的边长为(  )‎ A.  B.  ‎ C.  D. ‎【答案】A ‎【解析】设1+2+4+…+2n-1=1 023,即=1 023,解得n=10.正方形边长构成数列,2,3,…,其中第10项为10=.故选A.‎ ‎10.(2019年浙江湖州模拟)设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形的面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件是(  )‎ A.{an}是等比数列 B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列 C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列 D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同 ‎【答案】D ‎【解析】∵Ai=aiai+1,若{An}为等比数列,则==为常数,即=,=,…,∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…成等比数列,且公比相等.反之,若奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相等,设为q,则==q,从而{An}为等比数列.‎ ‎11.设数列{an}满足a2+a4=10,点Pn(n,an)对任意的n∈N*,都有向量PnPn+1=(1,2),则数列{an}的前n项和Sn=________.‎ ‎【答案】n2‎ ‎【解析】由题意,可知Pn+1(n+1,an+1),所以PnPn+1=(1,an+1-an)=(1,2).所以an+1-an=2.所以数列{an}是以2为公差的等差数列.又a2+a4=10,所以a1=1,an=2n-1,Sn ‎=1+3+…+(2n-1)=n2.‎ ‎12.(2019年天津模拟)设函数fn(x)=x-(3n-1)x2(其中n∈N*),区间In={x|fn(x)>0}.‎ ‎(1)定义区间(α,β)的长度为β-α,求区间In的长度;‎ ‎(2)把区间In的长度记作数列{an},令bn=an·an+1,‎ ‎①求数列{bn}的前n项和Tn;‎ ‎②是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)由fn(x)>0,得x-(3n-1)x2>0,‎ 解得0<x<,即In=.‎ 所以区间的长度为-0=.‎ ‎(2)由(1)知an=.‎ ‎①∵bn=an·an+1=,‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn ‎= ‎=.‎ ‎②由①知T1=,Tm=,Tn=.‎ 假设存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列,则T=T1Tn,化简得=.‎ ‎∴(-3m2+6m+2)n=5m2.(*)‎ 当m=2时,(*)式可化为2n=20,∴n=10.‎ 当m≥3时,-3m2+6m+2=-3(m-1)2+5≤-7<0.‎ 又∵5m2>0,∴(*)式可化为n=<0,此时n无正整数解.‎ 综上,存在正整数m=2,n=10满足条件.‎

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