数学卷·2018届湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版） 23页

‎2016-2017学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．直线x﹣y+3=0的斜率是（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎2．2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（　　）‎ A．92 B．94 C．116 D．118‎ ‎3．十进制数101对应的二进制数是（　　）‎ A．1100011 B．1100111 C．1100101 D．1100110‎ ‎4．下列程序执行后输出的结果是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎5．命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是（　　）‎ A．所有能被2整除的整数都是奇数 B．所有不能被2整除的整数都不是奇数 C．存在一个能被2整除的整数是奇数 D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数 ‎6．“m=﹣1”是“直线l1：x+my+6=0与l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（　　）‎ A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25‎ ‎8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（　　）‎ A．3 B．11 C．38 D．123‎ ‎9．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为2，若游客获奖的概率不超过，则方格边长最长为（单位：cm）（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎10．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：‎ 身高x（cm）‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎170‎ ‎175‎ ‎180‎ 体重y（kg）‎ ‎63‎ ‎66‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎74‎ 根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（　　）‎ A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg ‎11．两定点F1（﹣3，0），F2（3，0），P为曲线=1上任意一点，则（　　）‎ A．|PF1|+|PF2|≥10 B．|PF1|+|PF2|≤10 C．|PF1|+|PF2|＞10 D．|PF1|+|PF2|＜10‎ ‎12．已知圆O：x2+y2﹣4=0，圆C：x2+y2+2x﹣15=0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎14．已知圆C过点A（1，0）和B（3，0），且圆心在直线y=x上，则圆C的标准方程为　　．‎ ‎15．从某校的高一学生中采用系统抽样法选出30人测量其身高，数据的茎叶图如图（单位：cm）：若高一年级共有600人，据上图估算身高在1.70m以上的大约有　　人．‎ ‎16．如图，已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，则该椭圆的离心率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）‎ ‎17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．‎ ‎18．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率　　．‎ ‎19．已知直线l：x﹣y+1=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．‎ ‎（1）求该圆的方程；‎ ‎（2）若直线：mx+y+m=0与圆C交于A，B两点，且|AB|=，求m的值．‎ ‎20．某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如图，已知分数在100﹣110的学生数有21人．‎ ‎（1）求总人数N和分数在110﹣115分的人数n；‎ ‎（2）现准备从分数在110﹣115的n名学生（女生占）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；‎ ‎（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．‎ 数学 ‎88‎ ‎83‎ ‎117‎ ‎92‎ ‎108‎ ‎100‎ ‎112‎ 物理 ‎94‎ ‎91‎ ‎108‎ ‎96‎ ‎104‎ ‎101‎ ‎106‎ 已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程=x+．若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？‎ ‎（参考公式： =， =﹣）‎ ‎21．在直角坐标系xOy中，已知A（﹣，0），B（，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率kAC，kBC满足条件．‎ ‎（1）求动点C的轨迹方程；‎ ‎（2）过点（1，0）作直线l交曲线C于M，N两点，若线段MN中点的横坐标为．求此时直线l的方程．‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．直线x﹣y+3=0的斜率是（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】利用直线一般式的斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：直线x﹣y+3=0的斜率=﹣=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（　　）‎ A．92 B．94 C．116 D．118‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为x，‎ 则，‎ 解得x=94，‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．十进制数101对应的二进制数是（　　）‎ A．1100011 B．1100111 C．1100101 D．1100110‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．‎ ‎【解答】解：101÷2=50…1‎ ‎50÷2=25…0‎ ‎25÷2=12…1‎ ‎12÷2=6…0‎ ‎6÷2=3…0‎ ‎3÷2=1…1‎ ‎1÷2=0…1‎ 故101（10）=1100101（2）‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．下列程序执行后输出的结果是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．‎ ‎【解答】解：该程序是一个当型循环结构．‎ 第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；‎ 第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；‎ 第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；‎ 第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；‎ 第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．‎ ‎∵s=15，‎ ‎∴结束循环．‎ ‎∴n=0．‎ 故选B；‎ ‎　‎ ‎5．命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是（　　）‎ A．所有能被2整除的整数都是奇数 B．所有不能被2整除的整数都不是奇数 C．存在一个能被2整除的整数是奇数 D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数 ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】所给的命题是一个全称命题，直接写出其否定，书写其否定要注意它的格式的变化，即量词的变化．再对比四个选项得出正确选项 ‎【解答】解：∵全称命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”‎ ‎∴全称命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，‎ 对比四个选项知，D选项是正确的 故选D ‎　‎ ‎6．“m=﹣1”是“直线l1：x+my+6=0与l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】当m=﹣1时，经检验，两直线平行，当两直线平行时，由可得m=﹣1．利用充要条件的定义可得结论．‎ ‎【解答】解：当m=﹣1时，直线l1：x+my+6=0 即 x﹣y+6=0．l2：（m﹣2）x+3y+2m=0 即﹣3x+3y﹣2=0，即 x﹣y+=0，‎ 显然，两直线平行．‎ 当直线l1：x+my+6=0与l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行时，由可得m=﹣1．‎ 故“m=﹣1”是“直线l1：x+my+6=0与l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行”的充要条件，‎ 故选 C．‎ ‎　‎ ‎7．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（　　）‎ A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25‎ ‎【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据频率分布直方图，结合众数和中位数的定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图可知，数据在[2，2.5]之间的面积最大，此时众数集中在[2，2.5]内，用区间.2的中点值来表示，∴众数为2.25．‎ 第一组的频率为0.08×0.5=0.05，对应的频数为0.05×100=5，‎ 第二组的频率为0.16×0.5=0.08，对应的频数为0.08×100=8，‎ 第三组的频率为0.30×0.5=0.15，对应的频数为0.15×100=15，‎ 第四组的频率为0.44×0.5=0.22，对应的频数为0.22×100=22，‎ 第五组的频率为0.50×0.5=0.25，对应的频数为0.25×100=25，‎ 前四组的频数之和为5+8+15+22=50，‎ ‎∴中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据，则对应的中位数在5组内且比2大一点，‎ 故2.02比较适合，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（　　）‎ A．3 B．11 C．38 D．123‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果．‎ ‎【解答】解；经过第一次循环得到a=12+2=3‎ 经过第一次循环得到a=32+2=11‎ 不满足判断框的条件，执行输出11‎ 故选B ‎　‎ ‎9．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为2，若游客获奖的概率不超过，则方格边长最长为（单位：cm）（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】‎ 由题意知本题是一个几何概型，概率等于对应面积之比，根据题意算出试验包含的总面积和符合条件的面积，求比值即可．‎ ‎【解答】解：设小方格边长为acm，‎ ‎∵硬币的直径为2cm，显然a≥2；‎ 使硬币与小方格的四边不相交，则 这时硬币所在的位置可以是以方格中心为中心点，以a﹣2为边长的方格；‎ 且与小方格的四边不相交的概率不超过，‎ 即p=≤，‎ 解出≤a≤3，‎ 即a的取值范围为[2，3]满足条件；‎ ‎∴方格边长最长为3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：‎ 身高x（cm）‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎170‎ ‎175‎ ‎180‎ 体重y（kg）‎ ‎63‎ ‎66‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎74‎ 根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（　　）‎ A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg ‎【考点】回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的高三男生的体重 ‎【解答】解：由表中数据可得==170， ==69‎ ‎∵（，）一定在回归直线方程=0.56x+上 故69=0.56×170+解得 =﹣26.2‎ 故 =0.56x﹣26.2‎ 当x=172时， =0.56×172﹣26.2=70.12 ‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．两定点F1（﹣3，0），F2（3，0），P为曲线=1上任意一点，则（　　）‎ A．|PF1|+|PF2|≥10 B．|PF1|+|PF2|≤10 C．|PF1|+|PF2|＞10 D．|PF1|+|PF2|＜10‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】根据题意，曲线=1表示的图形是图形是以A（﹣5，0），B（0，4），C（5，0），D（0，﹣4）为顶点的菱形，而满足|PF1|+|PF2|=10的点的轨迹恰好是以A、B、C、D为顶点的椭圆，由此结合椭圆的定义即可得到|PF1|+|PF2|≤10．‎ ‎【解答】解：∵F1（﹣3，0），F2（3，0），‎ ‎∴满足|PF1|+|PF2|=10的点在以F1、F2为焦点，‎ ‎2a=10的椭圆上 可得椭圆的方程为，‎ ‎∵曲线=1表示的图形是图形是以A（﹣5，0），‎ B（0，4），C（5，0），D（0，﹣4）为顶点的菱形 ‎∴菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，‎ 因此，曲线=1上的点P，必定满足|PF1|+|PF2|≤10‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知圆O：x2+y2﹣4=0，圆C：x2+y2+‎ ‎2x﹣15=0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】△OAB面积的大小与线段AB的大小有关，要求△OAB面积的取值范围，只需求出AB的范围，即可求解．‎ ‎【解答】解：圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积，S=，‎ 圆O：x2+y2﹣4=0，的半径为r=2，AB是圆C：x2+y2+2x﹣15=0的弦长，‎ 圆C：x2+y2+2x﹣15=0的圆心（﹣1，0），半径为：4，‎ 圆心到AB的距离最小时，AB最大，圆心到AB的距离最大时，AB最小，如图：‎ AB的最小值为：2=2；‎ AB的最大值为：2=2；‎ ‎∴△OAB面积的最小值为：．‎ ‎∴△OAB面积的最大值为：．‎ ‎△OAB面积的取值范围是：．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　[﹣2，2]　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】根据题意，原命题的否定“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．‎ ‎【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，‎ 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，‎ 只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．‎ 故答案为：[﹣2，2]‎ ‎　‎ ‎14．已知圆C过点A（1，0）和B（3，0），且圆心在直线y=x上，则圆C的标准方程为　（x﹣2）2+（y﹣2）2=5　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】设圆心坐标为（a，a），利用圆C过点A（1，0）和B（3，0），即可确定圆心与半径，从而可得圆C的标准方程．‎ ‎【解答】解：设圆心坐标为（a，a），则 ‎∵圆C过点A（1，0）和B（3，0），‎ ‎∴（a﹣1）2+a2=（a﹣3）2+a2，‎ ‎∴a=2‎ ‎∴（a﹣1）2+a2=5‎ ‎∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5‎ 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=5‎ ‎　‎ ‎15．从某校的高一学生中采用系统抽样法选出30人测量其身高，数据的茎叶图如图（单位：cm）：若高一年级共有600人，据上图估算身高在1.70m以上的大约有　300　人．‎ ‎【考点】简单随机抽样．‎ ‎【分析】由题意，30人中身高在1.70m以上的概率为，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，30人中身高在1.70m以上的概率为，‎ ‎∴高一年级共有600人，估算身高在1.70m以上的大约有600×=300人．‎ 故答案为300．‎ ‎　‎ ‎16．如图，已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，则该椭圆的离心率是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先作出椭圆的右焦点F′，根据条件得出AB⊥BF′．再求出A、B、F′的坐标，由 两个向量的数量积的性质得出a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆C的离心率e．‎ ‎【解答】解：设椭圆的右焦点为F′，‎ 由题意得 A（﹣a，0）、B（0，b），F′（c，0），‎ ‎∵∠BAO+∠BFO=90°，且∠BFO=∠BF′O，‎ ‎∴∠BAO+∠BF′O=90°，‎ ‎∴•=0，‎ ‎∴（a，b）•（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，‎ ‎∴e﹣1+e2=0，‎ 解得 e=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）‎ ‎17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法；复合命题的真假．‎ ‎【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实根与判别式的关系即可得出p，再利用不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R与判别式的关系即可得出q；‎ 由p或q为真，p且q为假，可得p与q为一真一假，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，‎ ‎∴，∴m＞2或m＜﹣2 ‎ 又∵不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，‎ ‎∴，∴1＜m＜3 ‎ ‎∵p或q为真，p且q为假，‎ ‎∴p与q为一真一假，‎ ‎（1）当p为真q为假时，，解得m＜﹣2或m≥3．‎ ‎（2）当p为假q为真时，‎ 综上所述得：m的取值范围是m＜﹣2或m≥3或1＜m≤2．‎ ‎　‎ ‎18．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】建立甲先到，乙先到满足的条件，画出0≤x≤24且0≤y≤24可行域面积，求出满足条件的可行域面积，由概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：甲船停泊的时间是1h，乙船停泊的时间是2h，‎ 设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y，‎ 则（x，y）全部情况所对应的平面区域为；‎ ‎ 若不需等待则x，y满足的关系为，如图所示；‎ 它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为 P==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎19．已知直线l：x﹣y+1=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．‎ ‎（1）求该圆的方程；‎ ‎（2）若直线：mx+y+m=0与圆C交于A，B两点，且|AB|=，求m的值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设出圆心c（a，0），a＞0，根据半径r的几何关系进行判断，从而求出半径r，即可得到圆的方程；‎ ‎（2）由圆的方程找出圆心坐标和半径r，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，由圆的性质得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，由求出的d，圆的半径r，以及|AB|的一半，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．‎ ‎【解答】解：（1）设圆心c（a，0），a＞0，半径为r，‎ ‎∵该圆与直线l和y轴均相切，‎ ‎∴=a，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴圆的方程为（x﹣1）2+y2=1‎ ‎（2）由圆的方程找出圆心坐标为（1，0），半径r=1，‎ 所以圆心到直mx+y+m=0的距离d=，‎ 根据勾股定理得+（）2=1，解得：m=±．‎ ‎　‎ ‎20．某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如图，已知分数在100﹣110的学生数有21人．‎ ‎（1）求总人数N和分数在110﹣115分的人数n；‎ ‎（2）现准备从分数在110﹣115的n名学生（女生占）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；‎ ‎（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x（满分150分），物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．‎ 数学 ‎88‎ ‎83‎ ‎117‎ ‎92‎ ‎108‎ ‎100‎ ‎112‎ 物理 ‎94‎ ‎91‎ ‎108‎ ‎96‎ ‎104‎ ‎101‎ ‎106‎ 已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程=x+．若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？‎ ‎（参考公式： =， =﹣）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）求出该班总人数、分数在110﹣115内的学生的频率，即可得出分数在110﹣115内的人数；‎ ‎（2）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出其中恰好含有一名女生的概率；‎ ‎（3）分别求出回归学生的值，代入从而求出线性回归方程，将x=130代入，从而求出y的值．‎ ‎【解答】解：（1）分数在100﹣110内的学生的频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35，…‎ 所以该班总人数为N==60，…‎ 分数在110﹣115内的学生的频率为P2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，分数在110﹣115内的人数n=60×0.1=6．．…‎ ‎（2）由题意分数在110﹣115内有6名学生，其中女生有2名，‎ 设男生为A1，A2，A3，A4，女生为B1，B2，‎ 从6名学生中选出3人的基本事件为：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），‎ ‎（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），‎ ‎（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15个．‎ 其中恰 好含有一名女生的基本事件为 ‎（A1，B1），（A1，B2），（A2，B2），（A2，B1），（A3，B1），‎ ‎（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），共8个，‎ 所以所求的概率为P=．…‎ ‎（3）=100， =100；…‎ 由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 ‎==0.5， =100﹣0.5×100=50，∴线性回归方程为=0.5x+50，…‎ ‎∴当x=130时， =115．…‎ ‎　‎ ‎21．在直角坐标系xOy中，已知A（﹣，0），B（，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率kAC，kBC满足条件．‎ ‎（1）求动点C的轨迹方程；‎ ‎（2）过点（1，0）作直线l交曲线C于M，N两点，若线段MN中点的横坐标为．求此时直线l的方程．‎ ‎【考点】轨迹方程；待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（1）利用直线AC，BC的斜率kAC，kBC满足条件，即可求动点C的轨迹方程；‎ ‎（2）分类讨论，直线代入椭圆方程，利用韦达定理，结合线段MN中点的横坐标为，求出k，即可求此时直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设C（x，y）‎ ‎（2）解：当直线斜率不存在时，不满足题意．‎ 当直线斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为：y=k（x﹣1），‎ 代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，‎ ‎∴x1+x2=，‎ ‎∴k=±，‎ ‎∴直线l的方程y=±（x﹣1）．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据a2=2b2以及e的值，求出a，b的值，从而求出椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设出直线AC的方程，联立椭圆的方程求出|AC|，|BD|的表达式，结合不等式的性质求出四边形ABCD的面积的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴a2=2b2，‎ ‎∵直线l：x﹣y+2=0与圆x2+y2=b2相切∴，‎ ‎∴b=2，b2=4，∴a2=8，‎ ‎∴椭圆C1的方程是．…‎ ‎（Ⅱ）当直线AC的斜率存在且不为零时，‎ 设直线AC的斜率为k，A（x1，y1），C（x2，y2），‎ 则直线AC的方程为y=k（x﹣2）．‎ 联立．‎ 所以，‎ ‎…．‎ 由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得 因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为…..‎ 由 所以时取等号．…‎ 易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8‎ 综上可得，四边形ABCD面积的最小值为．…‎ ‎　‎ ‎2017年1月15日