2018届二轮复习等差数列、等比数列学案（全国通用）(1) 19页

专题09 等差数列、等比数列 高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．‎ 备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．‎ ‎1．等差数列 ‎(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)；‎ ‎(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；‎ ‎(3)前n项和公式：Sn＝＝na1＋；‎ ‎(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；‎ ‎②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.‎ ‎2．等比数列 ‎(1)定义式：＝q(n∈N*，q为非零常数)；‎ ‎(2)通项公式：an＝a1qn－1；‎ ‎(3)前n项和公式：Sn＝ ‎(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；‎ ‎②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．‎ ‎3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法). ‎ ‎【误区警示】‎ ‎1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．‎ ‎2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．‎ ‎3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形．‎ ‎4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.‎ 考点一、等差数列、等比数列的基本运算 例1、【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．‎2 ‎ C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，即，则，即，解得，故选C.‎ ‎【变式探究】(1)在等比数列{an}中，Sn表示其前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于(　　)‎ A．－3　　　 B．－‎1　　‎　 C．1　　　 D．3‎ ‎(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ 答案：(1)D　(2)20‎ ‎【变式探究】(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)‎ A. B. C．10 D．12‎ ‎(2)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：(1)由S8＝4S4，公差d＝1，得‎8a1＋×1＝4×，解得a1＝，‎ ‎∴a10＝a1＋9d＝.‎ ‎(2)由题意得S4＝＝9，∴＝.由a1·a1q·a1q2·a1q3＝(aq3)2＝，得aq3＝.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为＝＝·＝＝2.‎ 答案：(1)B　(2)D 考点二、等差数列、等比数列的判断与证明 ‎ 例2、(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. ‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝.‎ ‎(1)求证：是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，‎ 得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，‎ 考点三、等差数列、等比数列的综合应用 例3、【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．‎330 ‎ C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，数列如下：‎ 则该数列的前项和为 ‎，‎ 要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，‎ 所以，则，此时，‎ 所以对应满足条件的最小整数，故选A.‎ ‎【变式探究】(2016·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{bn}的前n项和．‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？‎ 解：(1)取n＝1，得λa＝2S1＝‎2a1，a1(λa1－2)＝0.‎ 若a1＝0，则Sn＝0.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，‎ ‎∴an＝0(n≥1)．‎ 若a1≠0，则a1＝.‎ 当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，‎ 两式相减得2an－2an－1＝an，‎ ‎∴an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，‎ ‎∴an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.‎ 综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝.‎ ‎1.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．‎2 ‎ C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，即，则，即，解得，故选C.‎ ‎2.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【答案】B ‎【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有： ，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．‎ ‎3.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．‎330 ‎ C．220 D．110‎ ‎【答案】A 要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，‎ 所以，则，此时，‎ 所以对应满足条件的最小整数，故选A.‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知,所以故选C. ‎ ‎2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ）‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，‎ ‎，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6．‎ ‎4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 ‎5、【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎【答案】64‎ ‎6.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得.‎ 于是当时，.‎ 又，故，即.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以.‎ 因此，.‎ ‎（3）下面分三种情况证明.‎ ‎①若是的子集，则.‎ ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.‎ 令，则，，.‎ 于是，，进而由，得.‎ ‎1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）‎ A、-1 B、‎0 C、1 D、6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质得，选B.‎ ‎2.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D． ‎ ‎3.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．‎ ‎【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= .‎ ‎【答案】10．‎ ‎【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．‎ ‎【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：5．‎ ‎【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎，故选B.‎ ‎【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎1. 【2014高考北京版理第5题】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】对等比数列，若，则当时数列是递减数列；若数列是递增数列，则满足且，故当“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.‎ ‎【考点定位】等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定 ‎2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和，若，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】假设公差为,依题意可得.所以.故选C.‎ ‎【考点定位】等差数列的性质.‎ ‎3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是 .‎ ‎【答案】4 ‎ ‎【解析】设公比为，因为，则由得，，解得，所以．‎ ‎【考点定位】等比数列的通项公式．‎ ‎4. 【2014辽宁高考理第8题】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】等差数列的概念、递减数列. ‎ ‎5. 【2014重庆高考理第2题】对任意等比数列,下列说法一定正确的是( )‎ 成等比数列 成等比数列 成等比数列 成等比数列 ‎【答案】D ‎【解析】因为数列为等比数列，设其公比为，则 所以，一定成等比数列，故选D.‎ ‎【考点定位】等比数列的概念与通项公式、等比中项.‎ ‎6. 【2014天津高考理第11题】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】依题意得，∴，解得．‎ ‎【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式．‎ ‎7. 【2014大纲高考理第10题】等比数列中，，则数列的前8项和等于 （ ）‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎【答案】C．‎ ‎【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式．‎ ‎8. 【2014高考广东卷理第13题】若等比数列的各项均为正数，且，则 .‎ ‎【答案】50‎ ‎【解析】由题意知，所以，‎ 因此，‎ 因此.‎ ‎【考点定位】等比数列的基本性质与对数的基本运算 ‎9. 【2014高考安徽卷理第12题】数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【考点定位】等差、等比数列的性质.‎ ‎10. 【2014高考北京版理第12题】若等差数列满足，则当 时，的前项和最大.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以 所以，所以，，故数列的前8项最大. ‎ ‎【考点定位】等差数列的性质，前项和的最值 ‎11. 【2014高考大纲理第18题】‎ 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知可得等差数列的公差为整数．由可得列出不等式组解得的范围，从而可确定整数的值，最后由等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）由已知先写出，‎ 列出的表达式，‎ 由于可分裂为，故采用裂项相消法求．‎ ‎（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．‎ ‎（2），‎ 于是 ‎．‎ ‎【考点定位】等差数列通项公式、裂项法求数列的前项和．‎ ‎12. 【2014高考广东理第19题】设数列的前项和为，满足，，且.‎ ‎（1）求、、的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1），，；（2）.‎ ‎（2）由题意得，‎ 由（1）知，，，猜想，‎ 假设当时，猜想成立，即，则有，‎ 则当时，有，‎ 这说明当时，猜想也成立，‎ 由归纳原理知，对任意，.‎ ‎【考点定位】数列的通项 ‎13. 【2014高考湖北理第18题】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）或.‎ ‎（2）当时，，显然，不存在正整数，使得.‎ 当时，，‎ 令，即，‎ 解得或（舍去）‎ 此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.‎ 综上所述，当时，不存在正整数；‎ 当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.‎ ‎【考点定位】等差数列、等比数列的性质、等差数列的求和公式.‎