【数学】2018届一轮复习北师大版　平面解析几何学案 5页

‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平面解析几何[学生用书P185]‎ 年份 卷别 具体考查内容及命题位置 ‎2016‎ 甲卷 圆的方程、点到直线的距离应用·T4‎ 双曲线的定义、离心率问题·T11‎ 直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T20‎ 乙卷 双曲线的几何性质与标准方程·T5‎ 抛物线与圆的综合问题·T10‎ 定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆位置关系及范围问题·T20‎ 丙卷 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率·T11‎ 证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系·T20‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 求圆的方程·T14‎ 双曲线与向量的交汇·T5‎ 直线与圆锥曲线的综合问题·T20‎ Ⅱ卷 圆的方程及两点间的距离问题·T7‎ 双曲线的几何性质·T11‎ 直线与圆锥曲线的综合问题·T20‎ ‎2014‎ Ⅰ卷 双曲线的渐近线方程·T4‎ 抛物线的定义·T10‎ 椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离，面积的最值问题·T20‎ Ⅱ卷 直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义及几何性质·T10‎ 椭圆的性质及直线与圆锥曲线的位置关系·T20‎ ‎[命题分析]‎ ‎1．直线与圆的方程问题单独考查的次数较少，多作为条件结合圆锥曲线进行综合命题，直线与圆的位置关系为高考命题的热点，需重点关注，此类试题难度中等偏下，多在选择题或填空题中出现．‎ ‎2．圆锥曲线仍为高考考查的热点，一般为“一大一小”的形式，小题多考查圆锥曲线的标准方程与简单性质，解答题作为压轴题考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范围、探索性问题，难度较大．‎ 题示 参数 真题呈现 考题溯源 题示对比 ‎ (2016·高考全国卷乙，T5)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A.(－1，3)　　B．(－1，)‎ C.(0，3) D．(0，)‎ ‎ (2016·高考全国卷乙，T20)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎ 题溯源 ‎1.(选修21P55练习T3)已知方程－＝1表示双曲线，求m的取值范围.‎ ‎2.(选修21 P80复习参考题A组T3(1))曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的(　　)‎ A.长轴长相等 B．短轴长相等 C.离心率相等 D．焦距相等 ‎ 题溯源 ‎(选修21 P49习题2.2A组T7)‎ 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P 是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？‎ 题材评说 T1考题取自教材，在原问题的基础上，以静到动再到静的设置下，提升教材问题，体现源在本里的命题思想，具有豁然开朗之精彩感叹 T2‎ ‎(1)考题取自于教材中的几何背景，将形(圆与点)具体数字化，将垂线变为平行线，殊途同归得出相同的结论 ‎(2)考题中将原问题判断轨迹类型“具体化”为求证|EA|＋|EB|为定值，使得问题目标化，从而便于求解问题．可有的放矢地进行平面几何中的元素关系转化 ‎(3)第(2)问是问题的升华，将点与直线和圆锥曲线的位置关系用面积目标紧紧联系在一起，形成合力，充分展示了数与形的结合，思想与方法的相映．考题源于教材、高于教材，将教材的“散点”有机结合，体现了考题的风采 ‎1．(选修21 P46例4改编)如图，A、B是椭圆C长轴上的两个顶点，M是C上一点，∠MBA＝45°，tan∠MAB＝，则椭圆的离心率为(　　)‎ A.　　　　 B．　　　　‎ C.　　　　 D． ‎　D　[解析] 以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．‎ 则直线MA，MB的方程分别为y＝(x＋a)，y＝－x＋a.‎ 联立解得M的坐标为，‎ 所以＋＝1，化简得a2＝3b2＝3(a2－c2)，‎ 所以＝，所以＝.‎ ‎2．(选修21 P69例4改编)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，‎ 与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则|AB|＝(　　)‎ A．8　　　　　　　　　　 B．9‎ C．10 D．12‎ ‎　B　[解析] 如图，设A，B在准线上的射影分别为D，E，且设AB＝BC＝m，直线l的倾斜角为α.‎ 则|BE|＝m|cos α|，‎ 所以|AD|＝|AF|＝|AB|－|BF|＝|AB|－|BE|＝m(1－|cos α|)，‎ 所以|cos α|＝＝.‎ 解得|cos α|＝.‎ 由抛物线焦点弦长公式|AB|＝得 ‎|AB|＝＝9.故选B．‎ 或：由|cos α|＝得tan α＝±2.‎ 所以直线l的方程为y＝±2(x－2)，代入y2＝8x得 ‎8(x2－4x＋4)＝8x，即x2－5x＋4＝0.‎ 所以xA＋xB＝5，‎ 则|AB|＝xA＋xB＋4＝9.故选B．‎ ‎3．(选修21 P59例5改编)双曲线－＝1上任一点P到点A(5，0)的距离与到直线5x－16＝0的距离之比为(　　)‎ A.　　 B． C. D． ‎　B　[解析] 法一：取P(4，0)，则|PA|＝1，P到直线x＝的距离d＝＝，‎ 所以所求的比值为＝.‎ 法二：设P(x0，y0)，则－＝1，即y＝(x－16)，‎ 所以＝＝ ‎＝＝.故选B．‎ ‎4．(选修21 P49习题2.2A组T6改编)已知椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2＝120°，△MF1F2的面积为.‎ ‎(1)求椭圆G的方程；‎ ‎(2)过椭圆G长轴上的点P(t，0)的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．‎ ‎[解] (1)由椭圆性质，知|MF2|＝a，‎ 于是c＝asin 60°＝a，b＝acos 60°＝a.‎ 所以△MF1F2的面积S＝·(2c)·b＝·(a)·＝，‎ 解得a＝2，b＝1.‎ 所以椭圆G的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)显然，直线l与y轴不平行，‎ 可设其方程为y＝k(x－t)．‎ 由于直线l与圆O相切，则圆心O到l的距离d＝＝1，即k2t2＝k2＋1.①‎ 联立 化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有x1＋x2＝.‎ 设Q(x0，y0)，有，解得x0＝.‎ 由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0.‎ 因此＝t＋，化简得k2＝，‎ 将其代入①式，可得t＝±.‎