2019届二轮复习【高中数学】必须掌握的题型之函数的性质学案（全国通用） 9页

‎【高中数学】必须掌握的题型之函数的性质 单调性 函数单调性的常用结论 ‎(1)‎ ‎(2‎ ‎.‎ ‎ (3)在区间上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.‎ ‎(4)函数的单调性与函数的单调性的关系是“同增异减”.‎ 题型一　比较大小 例1　已知函数的图象向左平移1个单位后关于 轴对称，当时，恒成立，设，则的大小关系为____________.‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】　根据已知可得函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，因为，且，所以.‎ 题型二　解函数不等式 例2　(2017·苏州月考)定义在 上的奇函数在上递增，且，则满足的的集合为________________.‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】　由题意知，，由，得，或，解得.‎ 题型三　求参数范围 例3　(1)如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】　　‎ ‎【解析】当时，，在定义域上是单调递增的，故在上单调递增；‎ 当时，二次函数的对称轴为，‎ 因为在上单调递增，所以，且，解得.综上所述，得.‎ ‎(2)已知满足对任意，都有成立，那么的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知条件得为增函数，‎ 所以解得，所以的取值范围是.‎ ‎【思维升华】　确定函数单调性的方法 ‎(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法，（导数法高一不学）；‎ ‎(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；‎ ‎(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接.‎ 奇偶性 判断方法：1.定义域关于原点对称(这个很多人忘记考虑)‎ 2. 偶函数；奇函数.‎ 常见的奇函数 常见的偶函数 函数奇偶性常用结论 ‎(1)如果函数是偶函数，那么 ‎(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.‎ ‎(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.‎ 题型一 求参数问题 例1 函数为奇函数，则实数 ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)根据题意得，使得函数有意义的条件为由奇函数的性质可得.‎ 所以即经检验满足函数的定义域.‎ 例2 若是偶函数，则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解析　(1)函数是偶函数，故，即，化简得，即，整理得，所以，解得.‎ 例3 若函数的定义域为，且函数为奇函数，则实数的值为___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】函数的定义域为，且函数为奇函数，则函数的图像关于点对称，则 型，其中是奇函数，P是常数.‎ 例4 已知函数是定义在区间上的奇函数，若，则的最大值与最小值之和为______________.‎ ‎【答案】4036‎ 解析：基本法：函数是定义在区间上的奇函数，则 最小值与最大值的关系为 速解法：因为函数为奇函数，所以其图象关于原点对称．而的图象是由的图象向上平移2016个单位长度得到的，故g(x)的图象关于点对称，所以 变式1.已知函数，若，则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，即.g(x)为奇函数，满足．由 例2.定义在上的奇函数满足当时， (为常数)，若，则的值为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】　由已知得，，又，，，.‎ 周期性 ‎(1)若函数的图象有两条对称轴，则函数y＝f(x ‎)必是周期函数，且一个周期为；‎ ‎(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为；‎ ‎(3)如果函数的图象有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一个周期为.‎ ‎(4)若函数满足；‎ ‎(5)若恒成立，则；‎ ‎(6)若恒成立，则.‎ ‎（7）若 ‎（8）若 例1.已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则.‎ ‎【答案】2.5‎ ‎【解析】由已知，可得.‎ 故函数的周期为.‎ ‎.‎ ‎，由题意，得.‎ ‎.‎ 变式：例1中，若将改为，其他条件不变，则的值为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】;故函数的周期为.‎ ‎.‎ ‎，由题意，得.‎ ‎.‎ 例2.偶函数的图象关于直线对称，，则________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】基本法：∵函数的图象关于直线对称，∴对任意x恒成立，令 速解法：由题意的图象关于和对称，则周期.‎ ‎∴‎ 综合性问题 例设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其中.若＝，则的值为________.‎ ‎【答案】-10‎ ‎【解析】因为是定义在上且周期为的函数，‎ 所以＝且，‎ 故＝，‎ 从而即 ①‎ 由得 即 ②‎ 由得，从而.‎ ‎【思维升华】　(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.‎ ‎(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：‎ 为偶函数.②若奇函数在处有意义，则.‎