2019届二轮复习等差数列与等比数列课件（24张）（全国通用） 24页

专题四　数列 4.1 　等差数列与等比数列 - 3 - - 4 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 等差数列与等比数列的基本量的求解 【思考】 如何求解等差数列与等比数列的基本量? 例 1 已知等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 a 1 +a 3 = , a 2 +a 4 = ,则 = ( 　　 ) A.4 n- 1 B.4 n - 1 C.2 n- 1 D.2 n - 1 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 5 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含 a 1 , n , d ( q ), a n 与 S n 这五个量 . 如果已知其中的三个 , 就可以求其余的两个 . 因为 a 1 , d ( q ) 是两个基本量 , 所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量 , 再根据通项公式、求和公式构建这两者的方程 ( 组 ), 通过解方程 ( 组 ) 求其值 , 这也是方程思想在数列问题中的体现 . - 6 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 1 (1) 已知 { a n } 是公差为 1 的等差数列 , S n 为 { a n } 的前 n 项和 . 若 S 8 = 4 S 4 , 则 a 10 = ( 　　 ) (2)已知数列{ a n }是递增的等比数列, a 1 +a 4 = 9, a 2 a 3 = 8,则数列{ a n }的前 n 项和等于 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 7 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 等差数列与等比数列的判定与证明 【思考】 证明数列{ a n }是等差数列或等比数列的基本方法有哪些? 例 2 设 S n 为等比数列{ a n }的前 n 项和,已知 S 2 = 2, S 3 =- 6 . (1)求{ a n }的通项公式; (2)求 S n ,并判断 S n+ 1 , S n , S n+ 2 是否成等差数列 . - 8 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 9 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 1 . 证明数列 { a n } 是等差数列的两种基本方法 : (1) 利用定义 , 证明 a n+ 1 -a n ( n ∈ N * ) 为常数 ; (2) 利用等差中项 , 证明 2 a n =a n- 1 +a n+ 1 ( n ≥ 2) . 2 . 证明数列 { a n } 是等比数列的两种基本方法 : - 10 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 11 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 12 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 等差数列与等比数列性质的应用 【思考】 常用的等差、等比数列的性质有哪些? 例 3 设 S n 是等差数列{ a n }的前 n 项和,若 a 1 +a 3 +a 5 = 3,则 S 5 = ( 　　 ) A.5 B.7 C.9 D.11 A - 13 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 等差数列与等比数列的性质多与其下标有关 , 解题需多注意观察 , 发现其联系 , 加以应用 . (1) 等差数列的性质 : ① a n =a m + ( n-m ) d ( n , m ∈ N * ); ② 若 m+n=p+q , 则 a m +a n =a p +a q ( m , n , p , q ∈ N * ); ③ 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 则 S m , S 2 m -S m , S 3 m -S 2 m , … 也成等差数列 . (2) 等比数列的性质 : ① a n =a m q n-m ( m , n ∈ N * ); ② 若 m+n=p+q , 则 a m · a n =a p · a q ( m , n , p , q ∈ N * ); ③ 若等比数列 { a n } 的公比不为 - 1, 前 n 项和为 S n , 则 S m , S 2 m -S m , S 3 m -S 2 m , … 也成等比数列 . - 14 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 3 在正项等比数列 { a n } 中 , a 2 , a 48 是关于 x 的方程 2 x 2 - 7 x+ 6 = 0 的两个根 , 则 a 1 a 2 a 25 a 48 a 49 的值为 ( 　　 ) B - 15 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 等差数列、等比数列的综合问题 【思考】 解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的? 例 4 (2018 天津 , 文 18)设{ a n }是等差数列,其前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ); { b n }是等比数列,公比大于0,其前 n 项和为 T n ( n ∈ N * ) . 已知 b 1 = 1, b 3 =b 2 + 2, b 4 =a 3 +a 5 , b 5 =a 4 + 2 a 6 . (1)求 S n 和 T n ; (2)若 S n + ( T 1 +T 2 + … +T n ) =a n + 4 b n ,求正整数 n 的值 . - 16 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 17 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 等差数列和等比数列的综合问题 , 涉及的知识面很宽 , 题目的变化也很多 , 但是只要抓住基本量 a 1 , d ( q ), 充分运用方程、函数、转化等数学思想方法 , 合理运用相关知识 , 就能解决这类问题 . - 18 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练4 等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,已知 S 10 = 0, S 15 = 25,则 nS n 的最小值为 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 19 - 规律总结 拓展演练 1 . 等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前 n 项和公式构造关于 a 1 与 d 、 a 1 与 q 的方程(组)解决 . 在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识 . 2 . 解决等差数列{ a n }前 n 项和问题常用的三个公式 是: ; S n =An 2 +Bn ( A , B 为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷 . 3 . 等差数列和等比数列的中项、前 n 项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程 . 4 . 证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法 . - 20 - 规律总结 拓展演练 5 . 等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形 . 在求解相关问题时 , 要根据条件灵活选择相关公式 , 同时两种数列可以相互转化 , 如等差数列取指数函数之后即为等比数列 , 正项等比数列取对数函数之后即为等差数列 . - 21 - 规律总结 拓展演练 1 . 已知在等差数列 { a n } 中 , 前 n 项和为 S n , 若 a 3 +a 9 = 6, 则 S 11 = ( 　　 ) A.12 B.33 C.66 D.99 B 解析 ∵ { a n } 为等差数列 , 且 a 3 +a 9 = 6, ∴ a 1 +a 11 =a 3 +a 9 = 6 . - 22 - 规律总结 拓展演练 2 . 等比数列{ a n }的各项均为实数,其前 n 项和为 S n . 已知 ,则 a 8 = 　　　　　 .   32 - 23 - 规律总结 拓展演练 3 . 已知{ a n }是等差数列, S n 是其前 n 项和 . 若 a 1 + =- 3, S 5 = 10,则 a 9 的值是 　　　　　 .   20 解析 由 S 5 = 10 得 a 3 = 2, 因此 2 - 2 d+ (2 -d ) 2 =- 3, 即 d= 3, 故 a 9 = 2 + 3 × 6 = 20 . 4 . 若 a , b 是函数 f ( x ) =x 2 -px+q ( p> 0, q> 0)的两个不同的零点,且 a , b , - 2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于 　　　　　 .   9 - 24 - 规律总结 拓展演练 5 . (2018 全国 Ⅱ , 文 17) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 , 已知 a 1 =- 7, S 3 =- 15 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 求 S n , 并求 S n 的最小值 . 解 (1) 设 { a n } 的公差为 d , 由题意得 3 a 1 + 3 d=- 15 . 由 a 1 =- 7, 得 d= 2 . 所以 { a n } 的通项公式为 a n = 2 n- 9 . (2) 由 (1) 得 S n =n 2 - 8 n= ( n- 4) 2 - 16 . 所以当 n= 4 时 , S n 取得最小值 , 最小值为 - 16 .