高考数学 17-18版 第5章 第23课 课时分层训练23 7页

课时分层训练(二十三)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________．‎ ‎－3　[由题意可知 ‎∴tan(α＋β)＝＝＝－3.]‎ ‎2．(2017·盐城模拟)tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值等于________．‎ ‎－　[∵tan 120°＝tan(50°＋70°)＝＝－，∴tan 50°＋tan 70°＝－＋tan 50°tan 70°，‎ 即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.]‎ ‎3．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边经过点P(2,4)，则tan＝________. 【导学号：62172130】‎ ‎－3　[由题意可知tan α＝＝2.‎ ‎∴tan＝＝＝－3.]‎ ‎4．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α是第二象限角，则tan等于________．‎ 　[∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，‎ ‎∴cos α＝－.‎ 又α是第二象限角，∴sin α＝，则tan α＝－.‎ ‎∴tan＝＝＝.]‎ ‎5．已知sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，α，β∈，则sin 3α＋sin 3β＝________.‎ ‎0　[由已知得：sin α＋cos α＝cos β－sin β，‎ 即cos＝cos，‎ 又α－∈，β＋∈.‎ 故α－＝β＋，即α＝β＋.‎ ‎∴sin 3α＋sin 3β＝sin(3β＋π)＋sin 3β＝0.]‎ ‎6．若cos－sin α＝，则cos＝________.‎ 　[cos－sin α＝，cos α－sin α＝，cos α－sin α＝cos＝.]‎ ‎7．若sin＝，sin(α－β)＝，则的值为________. ‎ ‎【导学号：62172131】‎ ‎5　[由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝得 ‎∴ ‎∴＝＝5.]‎ ‎8．(2017·苏锡常镇调研二)若tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝________.‎ ‎－　[∵tan α＝，tan(α－β)＝－，‎ ‎∴tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－＝－＝－.]‎ ‎9．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________. 【导学号：62172132】‎ 　[∵sin 2α＝，α∈，‎ ‎∴cos 2α＝－且α∈，‎ 又∵sin(β－α)＝，β∈.‎ ‎∴cos(β－α)＝－.‎ 因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝×＋×＝－，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝×－×＝，又α＋β∈，所以α＋β＝.]‎ ‎10．(2017·如皋市高三调研一)若sin β＝3sin(2α－β)，则tan(α－β)＋tan α＝________.‎ ‎0　[由sin β＝3sin(2α－β)得 ‎－sin[(α－β)－α]＝3sin[α＋(α－β)]，‎ ‎∴cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝3[sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)]，‎ ‎∴－4cos αsin(α－β)＝2sin αcos(α－β)，‎ ‎∴tan(α－β)＝－tan α.‎ ‎∴tan(α－β)＋tan α＝－tan α＋tan α＝0.]‎ 二、解答题 ‎11．已知α∈，且sin＋cos＝.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．‎ ‎[解]　(1)因为sin＋cos＝，‎ 两边同时平方，得sin α＝.‎ 又＜α＜π，所以cos α＝－＝－.‎ ‎(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－＜α－β＜.‎ 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.‎ cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝－×＋×＝－.‎ ‎12．(2017·启东中学高三第一次月考)在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin＝2cos A.‎ ‎(1)求角A的值；‎ ‎(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sin B.‎ ‎[解]　由sin＝2cos A，得sin A＋cos A＝2cos A，即sin A＝cos A．因为A∈(0，π)，且cos A≠0，所以tan A＝，所以A＝.‎ ‎(2)因为B∈，所以A－B＝－B∈.‎ 因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，所以sin(A－B)＝，所以sin B＝sin(A－(A－B))＝sin Acos(A－B)－cos Asin(A－B)＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知0＜θ＜π，tan＝，那么sin θ＋cos θ＝________.‎ ‎－　[由tan＝＝，解得tan θ＝－，即＝－，∴cos θ＝－sin θ，‎ ‎∴sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＝1.‎ ‎∵0＜θ＜π，∴sin θ＝，∴cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－.]‎ ‎2．若tan α＝2tan，则＝________.‎ ‎3　[∵cos＝cos＝sin，‎ ‎∴原式＝＝＝.‎ 又∵tan α＝2tan，∴原式＝＝3.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．‎ ‎[解]　(1)因为f＝Acos＝Acos ＝A＝，所以A＝2.‎ ‎(2)由f＝2cos ‎＝2cos＝－2sin α＝－，‎ 得sin α＝，又α∈，所以cos α＝.‎ 由f＝2cos ‎＝2cos β＝，得cos β＝，‎ 又β∈，所以sin β＝，‎ 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.‎ ‎4．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan ＝.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)证明：sin β>.‎ ‎[解]　(1)将tan ＝代入tan α＝，得tan α＝，‎ ‎∴ 又α∈，‎ 解得cos α＝.‎ ‎(2)证明：由题意易得<α＋β<，又sin(α＋β)＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝－，‎ 由(1)可得sin α＝，‎ ‎∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝>.‎