数学理卷·2019届广西柳州二中高二上学期期中考试（2017-11） 9页

‎2017-2018上学期柳州二中高二理科数学段考试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。‎ 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:‎ 收入x(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y(万元)‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76,=-.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为　(　　)‎ A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元 ‎3．已知向量与的夹角为120°，，则（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 1‎ ‎4．在区间[－1，1]上随机取一个数k，使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5.在的展开式中，记项的系数为，则（ ）‎ A.45 B.60 C.120 D. 210‎ ‎6.同时具有以下性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；‎ ‎③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎7.执行如图所示的程序框图（），那么输出的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ (7题图) ‎ 8. 过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎9.数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）‎ A．1008 B． C. D．0‎ ‎10.已知0 ＜a＜b＜1，给出以下结论：‎ ‎①.则其中正确的结论个数是（ ）‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎11.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. 0 D． ‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上。‎ ‎13.若变量满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎14.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是　　　 　.‎ 15. 将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红 欲从处行走至处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共 有 ．‎ 16. 已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的 垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=　　　　. ‎ ‎ (15题图）‎ ‎ 三.解答题：共6大题，70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，若,且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）在三角形中,三个内角所对的边分别为，且满足:‎ （1） 若，求；‎ （2） 若， 求的最小值。‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，四边形是边长为的菱形，,.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离 ‎20．（本小题满分12分）已知向量且A为锐角.‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求函数的值域.‎ 21. ‎（本小题满分12分）某企业有甲乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在 ‎[45，75）的为优质品，从两个分厂生产的产品中每个厂 随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标 值，结果如表：‎ 分组 ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[55，65）‎ ‎[65，75）‎ ‎[75，85）‎ ‎[85，95）‎ 甲厂频数 ‎10‎ ‎40‎ ‎115‎ ‎165‎ ‎120‎ ‎45‎ ‎5‎ 乙厂频数 ‎5‎ ‎60‎ ‎110‎ ‎160‎ ‎90‎ ‎70‎ ‎5‎ ‎（1）根据以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”？‎ ‎（2）求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）‎ ‎（3）经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差s2=142，乙分厂的500件产品质量指标值的样本方差s2=162，可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，由优质品率较高的厂的抽样数据，能够认为该分厂生产的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%？‎ 附注：‎ 参考数据：‎ 参考公式：‎ P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974． ‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ 2×2列联表 甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品 合计 ‎　　‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎22. （本小题满分12分）已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒 来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒，则在另外一组中逐个进行化验.‎ ‎（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.‎ ‎（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？‎ ‎2017-2018上学期柳州二中高二理科数学段考试题答案 ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B B D C D C A D B C C ‎ ‎ ‎(13) 3 (14) (15) 60 (16) 4 ‎ ‎ 17.解：（Ⅰ）数列是等差数列，设的公差为，成等比数列，‎ ‎ ， ‎ ‎ 得 ， ..........2分 ‎ 得.........4分 ‎　　 得 .............5分 ‎ （Ⅱ） ........6分 .......7分 .............9分 ‎ ............10分 ‎18.解：(1)由 得 ……1分 即…………..2分 ‎…..3分 因为所以 ，‎ ‎………4分 由余弦定理得即 ……5分 化简得，解得……………….7分 ‎(2) 由得……………...9分 ‎ …….11分 ‎ ‎ ‎ 所以的最小值为……………….12分 ‎19证明：（Ⅰ）, ‎ ‎ , ‎ ‎ 平面,‎ ‎ ............4分 ‎（Ⅱ） 有 ‎ ‎ 同理 故 ‎ 又四边形是菱形 ，‎ ‎ ‎ ‎ 平面平面 ............8分 ‎（Ⅲ）方法一：设到平面的距离为，，连接 ‎ 由（2）可知，四边形是直角梯形 ‎ ‎ 又 ‎ 又在中， ‎ ‎ ‎ ‎ ， 即到平面的距离为 ............12分 方法二：过F作 ‎ ‎ ‎ ..........12分 ‎20．（Ⅰ）由题意得 ‎　　　　　‎ ‎　　　　　由A为锐角得 ‎　　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎　　所以 ‎　　因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值.‎ ‎　　当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是.‎ ‎21.解：（1）由以上统计数据填写2×2列联表，如下；‎ 甲　厂 ‎　　乙　厂 ‎　　合计 优质品 ‎400‎ ‎360‎ ‎760‎ 非优质品 ‎100‎ ‎140‎ ‎240‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ 计算K2=≈8.772＞6.635，‎ 对照临界值表得出，有99%的把握认为：“两个分厂生产的产品的质量有差异”；‎ ‎（2）计算甲厂优秀率为=0.8，乙厂优秀率为=0.72‎ 所以甲厂的优秀品率高，‎ 计算甲厂数据的平均值为：‎ ‎=×（30×10+40×40+50×115+60×165+70×120+80×45+90×5）‎ ‎=60，‎ ‎（3）根据（2）知，μ=60，σ2=142，且甲厂产品的质量指标值X服从正态分布X～N（60，142），‎ 又σ=≈11.92，则P（60﹣11.92＜X＜60+11.92）=P（48.08＜X＜71.92）=0.6826，‎ P（X＞71.92）===0.1587＜0.18，‎ 故不能够认为该分厂生产的产品的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%． ‎ ‎　　　‎ ‎22. 试题解析：（1）方案乙所需化验恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒,再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为,第二种,先化验一组，结果含病毒，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为.‎ 所以依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为……………5分 ‎（2）设方案甲化验的次数为，则可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为元,则 ‎，，‎ ‎，，‎ 则其化验费用的分布列为 所以（元）.‎ 所以甲方案平均需要化验费元………12分