数学理卷·2018届四川省眉山中学高二下学期期中考试（2017-04） 8页

眉山中学2018届高二下期半期考试 数学试题（理科）‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1、某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为( )‎ 附随机数表：‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A. B. C. D.‎ ‎2、已知x、y的取值如下表所示：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ m 从散点图分析、y与x线性相关，且，则m的值为 A、6.4 B、6.5 C、6.7 D、6.8‎ ‎3、某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则（ ）.‎ A．9 B.10 C.12 D.13‎ ‎4、在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( )‎ A.都不是一等品 B.恰有1件一等品 ‎ C.至少有1件一等品 D.至多有1件一等品 ‎5、已知函数，其中，，则函数在上是增函数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7、要证，只要证（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8、设，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、已知函数，若对，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10、已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数，有，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11、已知函数，，对，，使得，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12、设函数，关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13题图 ‎13、如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P 恰好取自阴影部分的概率为__________.‎ ‎14、定义一种新运算“*”，对自然数满足以下等式：（1）11=1；‎ ‎（2），则 ； ．‎ ‎15、已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为 .‎ ‎16、已知并且m+3n=1则的最小值__________‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17、（本小题10分）某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求并估计这次考试中该学科的中位数、平均值；‎ ‎（2）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组……第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差不小于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据，如：[40，50），[70，80）这两组分数之差为30分），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．‎ ‎18、（本小题12分）数列中，，前项的和记为．‎ ‎（1）求的值，并猜想的表达式；‎ ‎（2）请用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎19、（本小题12分）某旅游公司为甲,乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路,每个旅游团可任选其中一条旅游线路.‎ ‎(1)求甲,乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率.‎ ‎(2)某天上午9时至10时, 甲,乙两个旅游团都到同一个著名景点游览,20分钟后游览结束即离去.求两个旅游团在该著名景点相遇的概率.‎ ‎20、（本小题12分）二次函数，又的图像与轴有且仅有一个公共点，且．（1）求的表达式．（2）若直线把的图象与轴所围成的图形的面积二等分，求的值．‎ ‎21、（本小题12分）已知函数． ‎（1）若函数在处取得极值，求的值；‎ ‎（2）若方程在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．‎ ‎22、（本小题12分）已知函数.‎ ‎（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎（3）当时，证明：.‎ 高二下期半期考试理科数学参考答案 一． 选择题 ‎1-5BCDDD 6-10DDABB 11-12AB 二．填空题13. 14.3； 15. 16. ‎ 三．解答题 ‎17.（1）,中位数是分，平均值是71分 ‎（2）记选出的两组为“最佳组合”为事件A。‎ 从六组中任选两组的基本事件是：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15，符合“最佳组合”条件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6，‎ 所以，选出的两组为“最佳组合”的概率为 ‎18. （1）∵，∴，，∴猜想．‎ ‎（2）证明：①当时，，猜想成立；‎ ‎②假设当时，猜想成立，即：；‎ ‎∴当时，‎ ‎∴时猜想成立∴由①、②得猜想对都成立．‎ ‎19. (1)用1,2,3,4表示四条不同的旅游线路,事件用(甲,乙)表示.‎ 基本事件: ‎ ‎ 共16个.‎ 记“甲，乙两个旅游团所选旅游线路不同”为事件 ‎ 甲，乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率为.‎ ‎(2)设甲，乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为,,‎ 依题意,, 如图,‎ 记“两个旅游团在著名景点相遇”为事件,‎ 两个旅游团在著名景点相遇的概率为 ‎20. （1） ‎ ‎（2）与轴交点（0，0）、（1，0）‎ 直线y=与抛物线交点的横坐标为 抛物线与轴所围成图形的面积 ‎，即 ‎21. （1）函数 由题可知 经检验合题 ‎（2）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得 整理得，即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点 令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，‎ 解得或lnx=﹣1（舍），即 当时，（x）＜0，当时，f′（x）＞0‎ 可知，f(x)在上单调递减，在上单调递增 ‎，当x→1时，，∴，‎ 实数m的取值范围为 ‎22. （1）在[1，2]上恒成立，‎ 令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得.‎ ‎（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，‎ ‎①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，=g（e）=e﹣1=3，（舍去），‎ ‎②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增 ‎∴，a=e2，满足条件．‎ ‎③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，=g（e）=e﹣1=3，（舍去），‎ 综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3.‎ ‎（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知， =3.令，，‎ 当0＜x≤e时，（x）≥0，∴φ（x）在（0，e]上单调递增 ‎∴，即．‎