2018-2019学年新疆生产建设兵团第一师高级中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 解析版 14页

第一师高级中学2018-2019学年第一学期高二年级第二次月考 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、单选题 ‎1．（本题5分）命题“ ”是命题“或”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 充分必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎2．（本题5分）已知P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面内的射影．若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的（ ）‎ A． 内心 B． 外心 C． 垂心 D． 重心 ‎3．（本题5分）四棱维 的底面是一个菱形且， 平面， , 是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．（本题5分）设为直线， ， ， 为三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）．‎ A． 若， ，则 B． 若， ，则 C． 若， ，则 D． 若， ，则 ‎5．（本题5分）已知变量和之间的几组数据如下表：（ ）‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 若根据上表数据所得线性回归方程为，则（ ）‎ A． -1.6 B． -1.7 C． -1.8 D． -1.9‎ ‎6．（本题5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内应填入(　　 )‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．（本题5分）现有下面三个命题 ‎：常数数列既是等差数列也是等比数列；‎ ‎：，；‎ ‎：椭圆的离心率为.‎ 下列命题中为假命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．（本题5分）若任取,则点满足的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎9．（本题5分）连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是 (　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．（本题5分）已知平面内动点满足，其中，则点轨迹是（ ）‎ A． 直线 B． 线段 C． 圆 D． 椭圆 ‎11．（本题5分）方程表示的曲线是( )‎ A． 两条直线 B． 两条射线 C． 两条线段 D． 一条直线和一条射线 ‎12．（本题5分）离心率为,且过点的椭圆的标准方程是(　　)‎ A． B． 或 C． D． 或 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13．（本题5分）若命题是假命题，则实数的取值范围是 .‎ ‎14．（本题5分）从个红球， 个黄球， 个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．‎ ‎15．（本题5分）过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_____________‎ ‎16．（本题5分）正方体中，异面直线和所成角的大小为________‎ 三、解答题 ‎17．（本题10分）已知命题p：“方程有两个不相等的实根”，命题p是真命题。‎ ‎（1）求实数m的取值集合M； ‎ ‎（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求a的取值范围．‎ ‎18．（本题12分）命题，命题 ．‎ ‎（1）若“或”为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“非”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围 ‎19．（本题12分）如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.‎ ‎ 1）证明：面；‎ ‎（2）证明；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎20．（本题12分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，直线平面，，，，点在棱上 ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（3）若，求二面角的余弦值.‎ ‎21．（本题10分）亳州某商场举行购物抽奖活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小求的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖；等于5中二等奖；等于4或3中三等奖.‎ ‎（1）求中三等奖的概率；（2）求不中奖的概率.‎ ‎22．（本题14分）已知椭圆的离心率为，点在上 ‎（1）求的方程 ‎（2）直线不过原点且不平行于坐标轴， 与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】“若，则或”为真命题，所以命题“ ”是命题“或”的充分条件；又“若或，则”为真命题，所以命题“ ”是命题“或”的必要条件；即命题“ ”是命题“或”的充分必要条件；故选B.‎ ‎2．B ‎【解析】若P是所在平面外一点，O是P点在平面上的射影．若P到三个顶点的距离相等，由条件可证得，由三角形外心的定义可以知道，此时O是三角形ABC的外心．‎ 故选B ‎3．C ‎【解析】连接，交于点， 取中点，连接， ， ，则， 平面 ，所以异面直线 与所成的角等于与所成的角，即，由底面为菱形且， ，则， ， ，在中，由余弦定理.故选择C.‎ 点睛：本题主要考查立体几何中异面直线成角问题，求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，主要解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移、辅助线、补形等手段将异面直线转化到共面，一般转化到一个三角形中，然后运用余弦定理求解；还有一种方法是空间向量求异面直线成角，即建立恰当的空间直角坐标系，根据向量数量积定义，利用坐标法求向量成角的余弦值.另外还要注意到异面直线成角的取值范围是.‎ ‎4．B ‎【解析】选项，由， ，可得，或，或与相交，故错误；‎ 选项，由， ，结合面面平行的性质可得，故正确；‎ 选项，若， ，则，或，故错误；‎ 选项，由， 不能推出，比如长方体的个相邻的面，故错误．‎ 故选．‎ ‎5．D ‎【解析】,判断是,,,判断是,,判断是,,判断是,判断是,,判断否,输出,故选.‎ ‎6．C ‎【解析】 由表中的数据可知， ，‎ 把点代入回归直线方程可得，解得，故选C.‎ ‎7．C ‎【解析】分析：首先将题中所给的几个命题的真假作出判断，根据0常数列是等差数列但不是等比数列，得到是真命题，根据二次式和对数式的性质，可得是真命题，求出椭圆的离心率，可得是假命题，之后根据复合命题真值表得到结果.‎ 详解：，常数均为0的数列是等差数列，不是等比数列，故其为假命题；‎ ‎，当时，，所以，，故其为真命题；‎ ‎，椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，所以，所以其离心率 ‎，故其为假命题，所以为真命题，为真命题，为假命题，为真命题，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，所涉及到的知识点有简单命题的真假判断和复合命题的真假判断，而要判断复合命题的真假，对于三个简单命题的真值必须要作出正确判断，这就要求平时对基础知识要牢固掌握.‎ ‎8．C ‎【解析】由题意可得所对应区域为边长为1的正方形,面积为1,‎ 记“点P(x,y)满足y>x为事件A,则A包含的区域满足，‎ 如图：‎ 根据几何概型的概率计算公式可知=.‎ 故选C.‎ ‎9．A ‎【解析】连掷两次骰子得到的点数(m，n)的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．因为(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，所以m>n.符合要求的事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15个，所以所求概率P＝＝．‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查古典概型概率公式，属于容易题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先， ‎ ‎…. ，再， ….. 依次 …. … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎10．B ‎【解析】满足题意时，点应位于线段上，‎ 即点轨迹是线段.‎ 本题选择B选项.‎ ‎11．D ‎【解析】由，‎ 得2x+3y−1=0或.‎ 即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.‎ ‎∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.‎ 故选D.‎ 点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：‎ ‎（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；‎ ‎（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。‎ 在求解方程时要注意变量的范围.‎ ‎12．D ‎【解析】当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，由离心率为，∴‎ ‎∵椭圆过点（2，0），∴，∴a2=4，∴b2=1，‎ ‎∴椭圆标准方程为 当椭圆的焦点在y轴上，同理易得： ‎ 故选D.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为命题是假命题，则是真命题.当时，令不等式不满足条件，所以，此时不等式为一元二次不等式，根据一元二次不等式恒成立的条件得，即，解得，综上的取值范围是.‎ 考点：命题，一元二次不等式恒成立.‎ ‎【易错点睛】（1）对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为，这是学生容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.（4）含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.‎ ‎14．‎ ‎【解析】考虑对立事件，减去颜色相同的即颜色不同的事件 的概率，即：‎ ‎，两球颜色不同的概率是.‎ 点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．‎ 二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．‎ ‎15．‎ ‎【解析】∵m∈[－2，－1]，‎ ‎∴曲线方程化为，曲线为双曲线，∴e＝.‎ ‎∵m∈[－2，－1]，∴.‎ ‎16．.‎ ‎【解析】分析：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到线面垂直进而得到线线垂直.‎ 详解：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到， ，而 于点，故垂直于面，进而得到.‎ 故两者夹角为.‎ 故答案为：.‎ 点睛：这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的情况.‎ ‎17．（1）；（2）或 ‎【解析】分析：‎ ‎（1）由二次方程有解可得，从而可得解；‎ ‎（2）由x∈N是x∈M的充分条件，可得，从而可得解.‎ 详解：‎ ‎(1) 命题：方程有两个不相等的实根，‎ ‎，解得，或．‎ M={m| ，或}．‎ ‎(2) 因为x∈N是x∈M的充分条件，所以 N=‎ ‎ ‎ 综上， 或 点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．‎ ‎18．（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：把和的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标；把的方程化为极坐标方程代入到和的极坐标方程得出两点的极坐标， 的长度为两点的极径的差的绝对值，借助三角函数求出最值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为 联立 解得， 或，‎ 所以与交点的直角坐标为和 ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中 因此的极坐标为，的极坐标为 所以 当时，取得最大值，最大值为.‎ ‎19．（1）见解析；（2）见解析；（3）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）取中点，利用中位线性质可证四边形是平行四边形，得，进一步得出线面平行面；（2）由已知条件可证，得，可证 ‎；（3）利用立方体等积的转化，可将所求体积转化，可求得体积．‎ 试题解析：证明：⑴取中点，连接 ‎ 分别是的中点 ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ 点睛：本题主要考查,线面间垂直的性质与判定,三棱锥的体积,空间想象能力,推理论证能力.在计算柱,锥,台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高.如果给出的几何体不规则 ,需要利用求体积的一些特殊方法:分割法,补体法,转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,选择,填空题中使用居多,要熟练掌握.本题使用转化法,将底和高进行转化.‎ ‎20．（1）见解析（2） (3) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平面，得；再由， 得， 平面.（2）先建立空间直角坐标系，由 ‎，，利用夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值.（3）由得.再求出平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：因为平面，所以，又，所以平面，又平面，故.‎ ‎（2）因为，所以，又由（1）得，，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，，，.‎ 所以，，所以，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（3）因为平面，所以平面的一个法向量，由知为的三等分点且此时.在平面中，，‎ ‎，所以平面的一个法向量.‎ 所以，又因为二面角的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为.‎ ‎21．(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：1）设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，利用列举法能求出中三等奖的概率．（2）利用列举法求出中奖的概率，由此能求出不中奖的概率．‎ 试题解析：‎ 设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，‎ 从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)， (1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．‎ ‎(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，‎ 则中三等奖的概率为P(A)＝．‎ ‎(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；‎ 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2)．‎ 两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3，3)．‎ 则中奖概率为P(B)＝＝．‎ 所以不中奖的概率为.‎