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  • 2021-06-23 发布

2021高考数学一轮复习课时作业29等差数列及其前n项和理

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课时作业29 等差数列及其前n项和 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.[2020·广西柳州二中月考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=3,S3=15,则a7=(  )‎ A.11 B.12‎ C.9 D.15‎ 解析:通解 ∵{an}为等差数列,S3=15,∴3a2=15,∴a2=5,又a1=3,∴公差为2,∴a7=3+6×2=15,故选D项.‎ 优解 ∵a1=3,S3=15,∴a2+a3=12,∴a1+a4=12,∴a4=9,∴a1+a7=2a4=18,∴a7=15,故选D项.‎ 答案:D ‎2.[2020·天津南开中学月考]设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=3(a2+a8),则的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:∵S5=3(a2+a8),∴5a3=6a5,∴=,故选D项.‎ 答案:D ‎3.[2020·河南龙泉中学模拟]已知数列{an}满足an+1-an=3(n∈N*),若=1,则a4的值为(  )‎ A.2 B.4‎ C.12 D.16‎ 解析:因为an+1-an=3(n∈N*),所以数列{an}是公差为3的等差数列,==1,所以a1=3,所以a4=3+3×3=12,故选C项.‎ 答案:C ‎4.[2020·湖南衡阳模拟]在等差数列{an}中,a1+‎3a8+a15=120,则a2+a14的值为(  )‎ A.6 B.12‎ 4‎ C.24 D.48‎ 解析:∵在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,∴由等差数列的性质可得a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,∴a2+a14=2a8=48.故选D.‎ 答案:D ‎5.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为(  )‎ A.10 B.20‎ C.30 D.40‎ 解析:设项数为2n,公差为d,则S偶-S奇=nd=2n=25-15=10,故选A项.‎ 答案:A 二、填空题 ‎6.[2020·湖北荆州模拟]在等差数列{an}中,a1=1,a2+a6=10,则a7=________.‎ 解析:设等差数列{an}的公差为d.∵在等差数列{an}中,a1=1,a2+a6=10,∴解得∴a7=a1+6d=1+8=9.‎ 答案:9‎ ‎7.[2020·江苏常州月考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=8,则S9=________.‎ 解析:设等差数列{an}的公差为d,∵a2+a3+a10=8,∴3a1+12d=8,∴a1+4d=a5=,∴S9=9a5=24.‎ 答案:24‎ ‎8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),则数列{an}的项数为________.‎ 解析:由题意知a1+a2+…+a6=36,①‎ an+an-1+an-2+…+an-5=180,②‎ ‎①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36,‎ 又Sn==324,∴18n=324,∴n=18.‎ 答案:18‎ 三、解答题 ‎9.已知数列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*).设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}是等差数列.‎ 证明:∵an=2-,∴an+1=2-,‎ 4‎ ‎∴bn+1-bn=-=-==1,‎ ‎∴{bn}是首项为b1==1,公差为1的等差数列.‎ ‎10.[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.‎ ‎(1)若a3=4,求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.‎ 解析:(1)设{an}的公差为d.‎ 由S9=-a5得a1+4d=0.‎ 由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.‎ 因此{an}的通项公式为an=10-2n.‎ ‎(2)由(1)得a1=-4d,‎ 故an=(n-5)d,Sn=.‎ 由a1>0知d<0,‎ 故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,‎ 解得1≤n≤10.‎ 所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11.[2020·黑龙江哈尔滨六中期中]已知数列{an}为等差数列,a3=3,设{an}的前n项和为An,则A6=21,数列的前n项和为Sn,若对一切n∈N*,恒有S2n-Sn>,则m能取到的最大整数是(  )‎ A.6 B.7‎ C.8 D.9‎ 解析:∵a3=3,A6=3(a3+a4)=21,∴a4=4,∴数列{an}的公差为1,∴a1=1,∴an=n,∴=,∴S2n-Sn=++…+.令Tn=++…+,则Tn+1=++…+,∴Tn+1-Tn=+-=->0,∴Tn+1>Tn,∴Tn的最小值为T1=,∴<,∴m<8,∴m能取到的最大整数是7,故选B项.‎ 答案:B ‎12.[2019·山西太原期末]对于数列{an},定义Hn=为{an 4‎ ‎}的“优值”,已知数列{an}的“优值”Hn=2n+1,记数列{an-20}的前n项和为Sn,则Sn最小值为(  )‎ A.-70 B.-72‎ C.-64 D.-68‎ 解析:∵数列{an}的“优值”Hn=2n+1,∴Hn==2n+1,∴a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,∴2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n(n≥2),∴an=4n-2(n-1)=2n+2(n≥2),又a1=4,满足上式,∴an=2n+2(n∈N*),∴an-20=2n-18,由得8≤n≤9,∴Sn的最小值为S8=S9=-72,故选B项.‎ 答案:B ‎13.[2020·福建泉州第十六中学月考]设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S17>0,S18<0,则,,…,中最大的项为________.‎ 解析:∵S17>0,S18<0,∴17a9>0,9(a9+a10)<0,∴a9>0,a10<0且公差d<0,∴1≤n≤9时,>0,10≤n≤15时,<0,又1≤n≤8时,0Sn>0,∴最大.‎ 答案: 4‎

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