广东省2013届高三数学理科试题精选分类汇编7：立体几何（2） 42页

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编7：立体几何（2）‎ 一、选择题 ．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）如图正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是底 面的中心)P-ABCD的底面边长为‎6cm,侧棱长为 ‎5cm,则它的侧视图的周长等于 （　　）‎ A．‎17cm B． C．‎16cm D．‎‎14cm ‎【答案】D ‎ ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）设O是空间一点,a,b,c是空间三条直线,是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是 （　　）‎ A．当a∩b=O且a,b时,若c⊥a,c⊥b,则c⊥ ‎ B．当a∩b=O且a,b时,若a∥,b∥,则∥ ‎ C．当b时,若b⊥,则⊥ ‎ D．当b时,且c时,若c∥,则b∥c ‎【答案】C ‎ ．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3,则a=‎ ‎ （　　）‎ A． B． C． D．[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是 ‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: )则该组合体的体积为.‎ ‎ （　　）‎ A．72000 B．64000 ‎ C．56000 D．44000 图(1) ‎ ‎【答案】B由三视图知,该组合体由两个直棱柱组合而成,故其体积,故选 B． ‎ ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）右图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为 ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎ （　　）‎ A．72 B．‎36 ‎C．24 D．12‎ ‎【答案】D ‎ ．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,Pl,则下列命题中是假命题的为 （　　）‎ A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β ‎ B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 ‎ C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 ‎ D．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β ‎【答案】解:对于A,由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,因此平行于平面β,因此A正确.根据面面垂直的性质定理知,选项 C．D正确. 选 B． ‎ ．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）已知四棱锥的三视图如图1所示,则四棱锥的四个侧面中面积最大的是 ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 分析:三棱锥如图所示,, , ‎ ‎, ‎ ‎ [来源:学科网ZXXK]‎ ．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是 ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）对于平面和共面的两直线、,下列命题中是真命题的为 （　　）‎ A．若,,则 B．若,,则 ‎ C．若,,则 D．若、与所成的角相等,则 ‎【答案】C 考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断. ‎ ．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ 正视图 侧视图 俯视图 第4题图 ‎ （　　）‎ A．9 B．‎10 ‎C．11 D．‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a + b的最大值为 （　　）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎ ．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）一空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为12π+,则正视图与侧视图中x的值为 [来源:学#科#网]‎ ‎. . . .‎ ‎【答案】C ‎ 二、填空题 ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为3,则正视图中的x=____‎ ‎【答案】3 [来源:Z§xx§k.Com]‎ ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________. ‎ ‎1‎ 正视图 俯视图 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0.5‎ ‎0.5‎ ‎2‎ ‎1‎ 侧视图 图2‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的体积为__________.‎ 主视图 俯视图 ‎2‎ 左视图 ‎【答案】.由左视图知正三棱柱的高,设正三棱柱的底面边长,则,故,底面积,故. ‎ ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）图2是一个组合体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积等于(几何体的接触面积可忽略不计)___________‎ ‎【答案】解析:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为 ‎ ‎ ‎ ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））某简单组合体的三视图如图2,其中正视图与侧视图相同(尺寸如图,单位:cm),则该组合体的体积是________(结果保留)‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题 ．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD, E为PB的中点,向量,点H在AD上,且 ‎(I):EF//平面PAD.‎ ‎(II)若PH=,AD=2, AB=2, CD=2AB,‎ ‎(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值. ‎ ‎(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 取PA的中点Q,连结EQ、DQ, ‎ 则E是PB的中点, ‎ ‎ ‎ ‎,四边形EQDF为平行四边形, ‎ ‎,, ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)⑴解法一:证明: , PH⊥AD, ‎ 又 AB⊥平面PAD,平面PAD,AB⊥PH, ‎ 又 PHAD=H, PH⊥平面ABCD; --------------------------------- ‎ 连结AE ‎ 又且 ‎ ‎ ‎ 由(Ⅰ)知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎, 又 ‎ ‎ ‎ 在 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)延长DA,CB交于点M,连接PM,则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线. ‎ 因为,所以点A,B分别为DM,CM的中点,所以DM=4, ‎ 在中:, , ‎ 又因为,所以 ‎ 即为所求的二面角的平面角. ‎ 所以在中: ‎ 解法二:(向量法)(1)由(Ⅰ)可得 又 ‎ 在平面ABCD内过点,以H为原点,以正方向建立空间直角坐标系 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设平面PAB的一个法向量为 ‎ ‎ , ‎ ‎ 得y=0 令 得x=3 ‎ ‎ ‎ 设直线AF与平面PAB所成的角为 ‎ 则 ‎ ‎(9分 ) ‎ ‎(2) 显然向量为平面PAD的一个法向量,且 ‎ 设平面PBC的一个法向量为, ‎ ‎,, ‎ 由得到 ‎ 由得到,令,则 ‎ 所以, ‎ ‎ ‎ 所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为(14分 ) ‎ ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）(本小腼溯分14分)在三棱锥P-ABC中.侧梭长均为4.底边AC=4. AB=2,BC=2,‎ D. E分别为PC. BC的中点.‎ ‎〔I)求证:平面PAC⊥平面ABC. (II)求三棱锥P-ABC的体积;‎ ‎(III)求二面角C-AD-E的余弦值.‎ ‎【答案】证明:(Ⅰ)因为, ‎ 取的中点,连接,易得:, ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ 又 ‎ 平面,又 ‎ ‎ ‎ 注意:该步骤要求学生的表达严谨规范,对于几个垂直的证明,如果没有过程,相应步骤得分为0分,而利用结论的后续证明只要正确,可以相应步骤得分) ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎(注意:该步骤只要计算出错,就0分) ‎ ‎(Ⅲ)方法一:过点E 作于H,过点H作于M, ‎ 连接,因为平面平面,平面平面=, ‎ ‎,平面,所以平面, [来源:学科网ZXXK]‎ ‎(三垂线定理)(注意:也可以证明线面垂直) ‎ 即为所求的二面角的平面角 ‎ 分别为中点,, 在中: ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在中, ‎ 所以,中, ‎ 所以 ‎ z x y M H O M H ‎ [来源:学科网]‎ ‎[来源:学+科+网Z+X+X+K] ‎ 方法二:以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 [来源:Zxxk.Com]‎ ‎,,,,,, , ‎ ‎,, ‎ 所以,可以设平面的一个法向量为, ‎ 平面的一个法向量为, ‎ ‎,所以令,则, ‎ 所以,可以设所求的二面角为,显然为锐角 ‎ 由可得: ‎ ‎ ‎ ．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E,F分别是AB、PD的中点.‎ ‎(1)求证:AF∥平面PEC; (2)求二面角P-EC-D的余弦值;‎ ‎(3)求点B到平面PEC的距离.‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.‎ ‎(1)当平面A1DE⊥平面BCD时,求直线CD与平面CEA1所成角的正弦值;‎ ‎(2)设M为线段A‎1C的中点,求证:在△ADE翻转过程中,BM的长度为定值.‎ ‎【答案】解:(1)过A1作A‎1F⊥DE,由已知可得A‎1F⊥平面BCD,且F为DE中点,以D为原点,DC、DA所在直线为y,x轴建立空间直角坐标系,则 ‎ D(0,0,0),C(0,4,0),E(2,2,0),A1(1,1,) ‎ 求得平面CEA1的一个法向量为m=(1,1,) ‎ ‎=(0,4,0),•m=|||m|cosθ,得cosθ= ‎ 所以,直线CD与平面CEA1所成角的正弦值为. ‎ ‎(2)取A1D中点G,连结MG,EG,由MG∥EB,且MG=EB,可得BMGE为平行四边形,所以,BM=EG,而三角形ADE中,EG的长度为定值,所以,BM的长度为定值. ‎ ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）如图,为矩形,为梯形,平面平面,,.[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎(1)若为中点,求证:∥平面;‎ ‎(2)求平面与所成锐二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)证明:连结,交与,连结, ‎ 中,分别为两腰的中点 ∴ ‎ 因为面,又面,所以平面 ‎ ‎(2)解法一:设平面与所成锐二面角的大小为,以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则 ‎ ‎ ‎ 设平面的单位法向量为,则可设 ‎ 设面的法向量,应有 ‎ ‎ ‎ 即: ‎ 解得:,所以 ‎ ‎∴ ‎ 所以平面与所成锐二面角为60° ‎ 解法二:延长CB、DA相交于G,连接PG,过点D作DH⊥PG ,垂足为H,连结HC ‎ ‎∵矩形PDCE中PD⊥DC,而AD⊥DC,PD∩AD=D ‎ ‎∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG,又CD∩DH=D ‎ ‎∴PG⊥平面CDH,从而PG⊥HC ‎ ‎∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 ‎ 在△中,, 可以计算 ‎ 在△中, ‎ 所以平面与所成锐二面角为60° ‎ ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(4),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,,,现将梯形沿CB、DA折起,使且,得一简单组合体如图(5)示,已知分别为的中点.‎ ‎(1)求证:平面; ‎ ‎(2)求证: ;‎ ‎(3)当多长时,平面与平面所成的锐二面角为? ‎ ‎ ‎ 图(4) 图(5)‎ ‎【答案】(1)证明:连,∵四边形是矩形,为中点, ‎ ‎∴为中点, ‎ 在中,为中点,故 ‎ ‎∵平面,平面,平面; ‎ ‎(其它证法,请参照给分) ‎ ‎(2)依题意知 且 ‎ ‎∴平面 ‎ ‎∵平面,∴, ‎ ‎∵为中点,∴ ‎ 结合,知四边形是平行四边形 ‎ ‎∴, ‎ 而,∴ ∴,即 ‎ 又 ∴平面, ‎ ‎∵平面, ∴ ‎ ‎(3)解法一:如图,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系 ‎ 设,则 ‎ 易知平面的一个法向量为, ‎ 设平面的一个法向量为,则 ‎ 故,即 ‎ 令,则,故 ‎ ‎∴, ‎ 依题意,,, ‎ 即时,平面与平面所成的锐二面角为 ‎ ‎【解法二:过点A作交DE于M点,连结PM,则 ‎ ‎∴为二面角A-DE-F的平面角, ‎ 由=600,AP=BF=2得AM, ‎ 又得, ‎ 解得,即时,平面与平面所成的锐二面角为 】 ‎ ．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）如图,在三棱锥V-ABC中,VC ‎⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=q (0