2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版） 8页

长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若，‎ ‎，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（ ）‎ A．3个 B．4个 C.5个 D．6个 ‎6.在直角坐标系中，若角的终边经过点，在（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.定义运算，，例如，则函数的值域为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.若在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）‎ A．1 B．2 C. D．‎ ‎11.已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（ ）‎ A．1 B． C.3 D．0‎ ‎12.设，则使得的的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎13.已知函数，其中为函数的导数，则（ ）‎ A.2 B.2019 C.2018 D.0‎ ‎14.中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )‎ A.7 B.8 C.5 D.6‎ ‎15.在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.‎ ‎16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的 条件(将正确的序号填入空格处).‎ ‎①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件 ‎17.对于，，规定，集合，则中的元素的个数为 ．‎ ‎18.已知平面向量，满足，，，则在方向上的投影是 ．‎ ‎19.已知函数，若正实数，满足，则的最小值是 ．‎ ‎20.已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是 ．‎ 三、解答题 ：本大题共5小题，每小题8份，共40分. ‎ ‎21. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线 相交于，两点，求的值.‎ ‎22.如图，在中，角，，所对的边分别为，， ，若.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长.‎ ‎23.已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎24. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当中()的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为 ‎ ‎(单位:分钟), ‎ 而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:‎ ‎ (1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?‎ ‎ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性,并说明其实际意义.‎ ‎25.已知函数，（）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求证：当时，对任意，，总有成立.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BDCBB 6-10:CDACC 11-15：CBAAC 二、填空题 ‎16. 17.41 18. 19. 20.‎ 三、解答题 ‎21.(1)∵曲线的极坐标方程，即，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），代入曲线的方程，可得，‎ 整理得，‎ ‎∵，∴点在之间，‎ ‎∴.‎ ‎22.（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）在中，由余弦定理得，‎ 解得或（舍）‎ ‎∵是的角平分线，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎23.（1）当时，，‎ 由，解得；由解得，.‎ ‎∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是.‎ ‎（2）依题意：对于任意，不等式恒成立，‎ 即恒成立，即在上恒成立，‎ 令，‎ 所以.‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴函数在上单调递增；在上单调递减.‎ 所以函数在处取得极大值，即为在上的最大值.‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 所以对于任意，不等式恒成立的实数的取值范围是.‎ ‎24.（1）由题意知，当时，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得或，‎ ‎∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.‎ ‎（2）当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ ‎∴；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时人均通勤时间是递增的；‎ 当自驾人数为时，人均通勤时间最少.‎ ‎25.（1）函数的定义域为，.‎ 当时，‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 当时，‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 综上所述，‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；‎ 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.‎ ‎（2）由（1）可知，当当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 又，，‎ 所以，‎ 同样地，当时，若，在上单调递增，在上单调递减，所以，‎ 因为，‎ 同理，当或时，对于任意，，总有.‎ 综上所述，对于任意，，总有成立.‎