2018-2019学年青海省西宁市第四高级中学高二上学期期末考试数学试题 Word版 9页

西宁市第四高级中学2018-19学年第一学期期末试卷 高 二 数 学 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)‎ A． B． C． D． ‎3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎4．过点P(4，－1)，且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是(　　)‎ A．4x＋3y－19＝0 B．4x＋3y－13＝0‎ C．3x＋4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0‎ ‎5．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是(　　)‎ A．3x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0‎ C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0‎ ‎6．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)‎ A． 2 B．2 C． D．1‎ ‎7．已知S，A，B，C是球O表面上的点，若SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积为(　　)‎ A．4π B．3π C．2π D．π ‎8．“－3b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎11．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．2‎ ‎12．已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为(　　)‎ A．(0,0) B．(1，－2) C．(2，－4) D．(，－2)‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上）‎ ‎13．过点M(3,2)作圆O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线方程是________________．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______________．‎ ‎15．已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程______________‎ ‎16．已知命题p：不等式<0的解集为{x|0B”是“sin A>‎ sin B”成立的必要不充分条件．有下列四个结论；①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是________‎ 三、 解答题（本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎17．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎18．　已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．‎ ‎ ‎ ‎19．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·．‎ ‎20．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．‎ ‎(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； ‎ ‎(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．‎ ‎21．（文科做）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（‎ ‎(1)证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．‎ 21. ‎（理科做）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°， ‎ PA⊥底 面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点．‎ ‎(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎(2)求AC与PB的夹角的余弦值；‎ ‎(3)求二面角A－MC－B的余弦值．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2．以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设椭圆E：＋＝1， P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点M．‎ ‎(ⅰ)求的值；‎ ‎(ⅱ)求△ABM面积的最大值．‎ ‎ ‎ 高二期末数学参考答案 ‎　一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）‎ CDBBD AABCB AD ‎ 二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13 　y＝2或5x－12y＋9＝0‎ ‎ 14. 1＋＝1‎ ‎15 x＋2y－8＝0. 16 　①③‎ 三、解答题（共44分，解题必须有详细的解题过程）‎ ‎17．由q：x2－2x＋1－m2≤0，m>0，‎ 得1－m≤x≤1＋m，‎ ‎∴綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}.‎ 由≤2，解得－2≤x≤10，‎ ‎∴綈p：B＝{x|x>10或x<－2}.‎ ‎∵綈p是綈q的必要不充分条件.‎ ‎∴AB，∴或 即m≥9或m>9，∴实数m的取值范围是m≥9.‎ ‎18, 设圆C的半径长为r，‎ 则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，‎ 即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，‎ 两圆的方程相减，得 公共弦所在的直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0.‎ 因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，‎ 则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎　‎ ‎19．解　(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，‎ ‎∴设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．‎ 把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，‎ ‎∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)由(1)知双曲线方程为x2－y2＝6，‎ ‎∴双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．‎ ‎∵点M在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3.‎ ‎∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)‎ ‎＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.‎ ‎20．解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，‎ 所以其斜率k＝tan 60°＝，‎ 又F.‎ 所以直线l的方程为 y＝.‎ 联立 消去y得x2－5x＋＝0.‎ 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，‎ 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋ ‎＝x1＋x2＋p.‎ ‎∴|AB|＝5＋3＝8.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知 ‎|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋ ‎＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，‎ 所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，‎ 又准线方程是x＝－，‎ 所以M到准线的距离等于3＋＝.‎ ‎　‎ ‎21．1)证明　连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点.‎ 又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)解　因为ABCA1B1C1是直三棱柱，‎ 所以AA1⊥CD.‎ 由已知AC＝CB，D为AB的中点，‎ 所以CD⊥AB.‎ 又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.‎ 由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得 ‎∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，‎ 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.‎ 所以V三棱锥CA1DE＝××××＝1‎ ‎21.证明　(1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，‎ AD⊄平面PBC，‎ ‎∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵AD∥BC，∴MN∥BC.‎ 又∵N为PB的中点，∴M为PC的中点，‎ ‎∴MN＝BC.‎ ‎∵E为AD的中点，DE＝AD＝BC＝MN，‎ ‎∴DE綊MN，∴四边形DENM为平行四边形，‎ ‎∴EN∥DM.又∵EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，‎ ‎∴EN∥平面PDC.‎ ‎(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，‎ ‎∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB.∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.‎ ‎(3)由(2)知AD⊥PB.‎ 又∵PA＝AB，且N为PB的中点，∴AN⊥PB.‎ ‎∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.‎ 又∵PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.‎ ‎22.解　(1)由题意知，2a＝4，则a＝2，‎ 又＝，a2－c2＝b2，‎ 可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，‎ 由题意知，M(－λx0，－λy0)．‎ 因为＋y＝1，‎ 又＋＝1，即＝1，‎ 所以λ＝2，即＝2.‎ ‎(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，‎ 由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①‎ 因为x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 所以|x1－x2|＝.‎ 因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，‎ 所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|‎ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 设＝t，则t>0.‎ 将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，‎ 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，‎ 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②‎ 由①②可知0＜t≤1，‎ 因此S＝2＝2，‎ 故S≤2，‎ 当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.‎ 由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，‎ 所以△ABQ面积的最大值为6.‎