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- 2021-06-23 发布
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第3章 3.2 第2课时
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知三条直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c=(-3,12,-9),则( )
A.l1⊥l2,但l1与l3不垂直 B.l1⊥l3,但l1与l2不垂直
C.l2⊥l3,但l2与l1不垂直 D.l1,l2,l3两两互相垂直
解析: ∵a·b=(4,-1,0)·(1,4,5)=4-4+0=0,
a·c=(4,-1,0)·( -3,12,-9)=-12-12=-24≠0.
b·c=(1,4,5)·(-3,12,-9)=-3+48-45=0,
∴a⊥b,a与c不垂直,b⊥c.
∴l1⊥l2,l2⊥l3,但l1不垂直于l3.
答案: A
2.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( )
A.-3或1 B.3或-1
C.-3 D.1
解析: |a|==6,
∴x=±4,
又∵a⊥b,
∴a·b=2×2+4y+2x=0,
∴y=-1-x,
∴当x=4时,y=-3,
当x=-4时,y=1,
∴x+y=1或-3.
答案: A
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD
C.A1D D.A1A
解析: 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2,
则C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),E(1,1,2),A(2,0,0),B(2,2,0)=(1,-1,2),=(-2,2,0)=(2,2,0),=(2,0,2),=(0,0,2).·=-2-2+0=-4≠0,
∴CE与AC不垂直,·=1×2+(-1)×2+2×0=0,
∴CE⊥BD.故选B.
答案: B
4.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.(1,-1,1) B.
C. D.
解析: 要判断点P是否在平面内,只需判断向量与平面的法向量n是否垂直,即·n是否为0即可,
因此,要对各个选项进行逐个检验.
对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)
=5≠0,故排除A;
对于选项B,=,
则·n=·(3,1,2)=0,故B正确,
同理可排除C,D.故选B.
答案: B
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E,F,G分别是CD,DA和AC的中点,则平面BEF与平面BDG的位置关系是________.
解析: 由AB=BC,G是AC中点得
BG⊥AC
由CD=DA,G是AC中点得DG⊥AC
∴AC⊥平面GBD
又EF∥AC,∴EF⊥平面GBD
∴平面BEF⊥平面BDG
答案: 垂直
6.已知正四棱锥(如图),在向量-+-,+,+,+++中,不能作为底面ABCD的法向量的向量是________.
解析: -+-=+-=-=0,
而+=2,又⊥面ABCD知可以,
同样+也可以,+++=4当然也可以.
答案: -+-
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
证明:CM⊥SN.
证明: 设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图.
则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),
M,N,S.
(1)=,
=,
因为·=-++0=0,
所以CM⊥SN.
8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明:CD⊥AE;
(2)证明:PD⊥平面ABE.
证明: 以A为原点,AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PA=AB=BC=1,
则AC=1,CD=,AD==
A(0,0,0);B(1,0,0);C;D
P(0,0,1);E;=;
=
(1)∵·==-+=0
∴⊥
(2)∵·=0
·==0
∴PD⊥AB,PD⊥AE
又AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE.
尖子生题库☆☆☆
9.(10分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
解析: 如图,以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,
则E,A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),C(0,1,0).
设=λ=λ(0,0,1)=(0,0,λ),=,=(0,1,1).
设n=(x,y,z)为平面C1DE的法向量,
则,∴.
令x=2,得y=-1,z=1,∴n=(2,-1,1).
=(0,1,0),=-=(0,0,λ)-(1,0,1)=(-1,0,λ-1).
设m=(x′,y′,z′)是平面A1B1P的法向量,
则,∴.
令z′=1,则x′=λ-1,
∴m=(λ-1,0,1),
要使平面A1B1P⊥平面C1DE,只须使n·m=0,
∴2(λ-1)+1=0.∴λ=.
∴点P为CC1的中点时,平面A1B1P⊥平面C1DE.