高中数学第三章《数系的扩充与复数的引入 复数》学案（新人教A版选修1-2） 4页

复数复习学案 一． 知识结构 数系扩充 复数 复数的概念 复数的运算 定义 代数形式 四则运算 几何意义 二． 重点、难点、热点剖析 由于复数在整个高中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。‎ 三． 技巧方法 1、 设z＝a＋bi(a,b),利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法，同时要学会以整体的角度出发去分析和求解，如果遇到复数就设z＝a＋bi(a,b),有时带来不必要的运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍。‎ 2、 在简化运算中，如能合理运用i和复数的模等有关的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累并灵活运用。‎ 3、 性质：是复数运算与实数运算相互转化的重要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。‎ 4、 学习本章时，应注意联系全面学过的实数的性质，实数的运算内容，以便对复数的知识有较完整的认识。‎ 四、 注意点析 1、 要注意实数、虚数。纯虚数、复数之间的联系与区别，实数集和虚数集都是复数集的真子集，它们的并集是复数集，它们的交集是空集，纯虚数集是虚数集的真子集， ‎ 2、 当概念扩展到复数后，实数集R中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等。‎ 3、 熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。‎ 五、 思想方法 1、 数形结合这是本章的主要数学思想，例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等。图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题。‎ 2、 方程的思想，主要体现在复数相等的充要条件和复数方程。‎ ‎3、转化思想，转化思想是复数的重要思想方法，既然在实数的基础上扩展到复数，自然复数中的许多问题都可以转化到实数集内解决，如求模运算，复数相等的充要条件及等，进行复数与实数间的转化。‎ ‎4、分类讨论思想：它是一种比较重要的解题策略和方法，在复数中它能够使复杂问题简单化，从而化整为零，各个击破。‎ ‎5、主要方法有：待定系数法、整体法；待定系数法是利用复数的代数形式，设复数z＝a＋bi的形式代入，再利用复数相等或其它途径，转化为与a，b相关的等式，求出a，b即可得到复数z。在复数学习中有必要根据条件与待求结论的特点，通过研究问题的整体形式、整体结构或作某些整体处理，这样往往可以避繁就简，化难为易，顺速解决问题。‎ ‎ ‎ 五、 典例分析 ‎ 1、基本概念计算类 例1．若且为纯虚数，则实数a的值为_________‎ 解：因为，＝，‎ 又为纯虚数，所以，‎3a－8＝0，且6＋4a0。‎ ‎2、复数方程问题 例2．证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解。‎ 证明：原方程化简为设z＝x＋yi(x、y)，代入上述方程得 整理得 方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。‎ 点评：本题主要考查复数方程等知识，一般是设Z的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程。‎ ‎3、综合类 例3．设z是虚数，是实数，且－1<<2‎ （1） 求|z|的值及z的实部的取值范围； ‎ （2） 设，求证：M为纯虚数；‎ （3） 求的最小值。‎ 分析：本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算及不等式的知识，以及运算能力和推理能力。‎ 解：（1）设z＝a＋bi（a，b）‎ ‎ 因为，是实数，‎ 所以，，即|z|＝1， 因为＝‎2a，－1<<2，‎ 所以，z的实部的取值范围（－）。‎ ‎（2）＝（这里利用了（1）中）。 因为a（－），，所以M为纯虚数。‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ 因为，a（－），所以，a＋1>0， 所以2×2－3＝1，‎ 当a＋1＝，即a＝0时上式取等号， 所以，的最小值是1。‎ 点评：本题以复数的有关概念为载体，考查学生的化归能力，考查了均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力。正是高考的重点。 ‎ ‎ 4、创新类 例4．对于任意两个复数)定义运算“⊙”为 ‎⊙＝，设非零复数在复平面内对应的点分别为,点O为坐标原点，若⊙＝0，则在中，的大小为_________.‎ 分析：本题立意新颖，解题入口宽，是一道不可多得的好题。‎ 解法一：（解析法）设，故得点，，且＝0，即 从而有＝ 故,也即 解法二：（用复数的模）同法一的假设，知 ‎＝＋－2（）＝＋－2×0‎ ‎＝＋＝＋‎ 由勾股定理的逆定理知 解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知，则有 ‎ 故 ‎