2019年高考数学仿真押题试卷（十九）（含解析） 16页

专题19 高考数学仿真押题试卷（十九）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎ 1．已知集合，，，则　　‎ A． B．， C． D．，‎ ‎【解析】解：；‎ ‎．‎ ‎【答案】． 2．已知的共轭复数是，且为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于　　‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解析】解：设，‎ ‎，，‎ ‎，解得：，‎ 复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限．‎ ‎【答案】． ‎ 16‎ ‎3．已知向量，，且与的夹角为，则　　‎ A．5 B． C．7 D．37‎ ‎【解析】解：由题可得：向量，，‎ 所以，‎ 所以，．‎ ‎【答案】． 4．已知函数，若，则实数的取值范围是　　‎ A．， B．， C．，， D．，，‎ ‎【解析】解：函数，在各段内都是减函数，‎ 并且，，所以在上递减，‎ 又，所以，‎ 解得：，‎ ‎【答案】． 5．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数被3除余2，被7除余4，被8除余5，求的最小值．执行该程序框图，则输出的　　‎ A．50 B．53 C．59 D．62‎ ‎【解析】解：【方法一】正整数被3除余2，得，；‎ 16‎ 被8除余5，得，；‎ 被7除余4，得，；‎ 求得的最小值是53．‎ ‎【方法二】按此歌诀得算法如图，‎ 则输出的结果为 按程序框图知的初值为1229，代入循环结构得，‎ 即输出值为53．‎ ‎【答案】． 6．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：，‎ 将函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，‎ 所以，即，，‎ 又，‎ 所以当时，最小为．‎ ‎【答案】． 7．已知命题：函数是定义在实数集上的奇函数；命题：直线是的切线，则下列命题是真命题的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：，‎ 即是奇函数，故命题是真命题，‎ 16‎ 函数的导数，当时，不存在，此时切线为轴，即，故命题是真命题，‎ 则是真命题，其余为假命题，‎ ‎【答案】． 8．已知双曲线的渐近线与相切，则双曲线的离心率为　　‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【解析】解：取双曲线的渐近线，即．‎ 双曲线 ，的渐近线与相切，‎ 圆心到渐近线的距离，‎ ‎，化为，‎ 两边平方得，化为．‎ ‎．‎ ‎【答案】． 9．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为 16‎ 由，解得，‎ 频率为的音名是　，‎ ‎【答案】． 10．函数的大致图象是　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解析】解：当时，，，所以，故可排除，；‎ 当时，（2），故可排除．‎ ‎【答案】． 11．利用产生两组，之间的均匀随机数：　　，　　：若产生了2019个样本点，则落在曲线、和所围成的封闭图形内的样本点个数估计为　　‎ A．673 B．505 C．1346 D．1515‎ ‎【解析】解：由曲线、和所围成的封闭图形的面积为，‎ 所以，则落在曲线、和所围成的封闭图形内的样本点个数估计为，‎ ‎【答案】． 12．已知点为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，、，，则　　‎ 16‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎【解析】解：不妨设，过的切线方程设为，‎ 代入抛物线方程得，又，故．‎ ‎【答案】． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若整数、满足不等式组，则的最小值为　　．‎ ‎【解析】解：整数、满足不等式组的可行域如图：三角形区域内的点、、、，连线的斜率是最小值．‎ 则的最小值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎ 14．已知椭圆的焦点为、，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的与椭圆内切于点，则　 　．‎ 16‎ ‎【解析】解：椭圆的焦点为、，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的与椭圆内切于点，‎ 可得，‎ 所以．‎ 故答案为：1． 15．定义在上的函数满足，若，且，则　 　．‎ ‎【解析】解：根据题意，，‎ 则，变形可得，‎ ‎，‎ 又由，且，则，‎ 则；‎ 故答案为：4． 16．已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为　　．‎ ‎【解析】解：由是锐角的外接圆圆心，‎ 则点为三角形三边中垂线的交点，‎ 由向量投影的几何意义有：‎ ‎，‎ 则，‎ 所以则，‎ 由正弦定理得：‎ ‎，‎ 16‎ 所以，‎ 所以，‎ 又，，‎ 所以，，‎ 故答案为：，．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在平面四边形中，已知，，．‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ ‎【解析】解：（1）在中，，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 16‎ 在中，，，‎ ‎，‎ ‎． 18．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．‎ ‎（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；‎ ‎（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；‎ ‎（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀． ‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 数学不特别优秀 合计 参考公式： ‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 16‎ ‎【解析】解：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，所以采用分层抽样法，‎ 由题意知，从示范性高中抽取（人，‎ 从非示范性高中抽取（人；‎ ‎（2）由频率分布直方图估算样本平均数为：‎ ‎，‎ 据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为92.4；‎ ‎（3）由题意知，语文特别优秀学生有5人，数学特别优秀的学生有（人，‎ 且语文、数学两科都特别优秀的共有3人，填写列联表如下； ‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ 数学不特别优秀 ‎2‎ ‎94‎ ‎96‎ 合计 ‎5‎ ‎95‎ ‎100‎ 计算，‎ 所以有的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀． 19．已知点，点，分别为椭圆的左右顶点，直线交于点，是等腰直角三角形，且．‎ ‎（1）求的方程；‎ 16‎ ‎（2）设过点的动直线与相交于，两点，为坐标原点．当为直角时，求直线的斜率．‎ ‎【解析】解：（1）由题意是等腰直角三角形，则，，‎ 设点，，由，‎ 则，，代入椭圆方程解得，‎ 椭圆方程为．‎ ‎（2）由题意可知，直线的斜率存在，令的方程为，‎ 则，，，，‎ 则，整理可得，‎ ‎△，解得，‎ ‎，，‎ 当为直角时，，‎ ‎，‎ 则 ‎，‎ 解得，即，‎ 故存在直线的斜率为，使得为直角． 20．如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，点是侧棱的上一点．‎ ‎（1）证明：当点是的中点时，平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求的长．‎ 16‎ ‎【解析】解：（1）证明：由题意：且，，‎ 平面，则．‎ 又是的中点，，且，，‎ 同理．‎ ‎，则，‎ 平面；‎ ‎（2）以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．‎ 设，则，0，，，1，，，0，．‎ 由条件易知平面，故取，0，为平面的法向量．‎ 设平面的法向量为，，，‎ 则且，‎ ‎，，‎ ‎，取，得．‎ 由，‎ 解得，即．‎ 16‎ ‎ 21．已知函数在处取得极小值．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设，讨论函数的零点个数．‎ ‎【解析】解：（1）函数的定义域为，，‎ 函数在处取得极小值，‎ ‎，得 当时，，则时，，当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 时，函数取得极小值，‎ ‎（2）由（1）知，函数，定义域为，‎ ‎，‎ 令，得，令，得，在上单调递减，在，上单调递增，‎ 当时，函数取得最小值，‎ 当，即时，函数没有零点；‎ 当，即时，函数有一个零点；‎ 16‎ 当，即时，（e），‎ ‎（e）‎ 存在，，使，‎ 在，上有一个零点 设，则，当时，，则在上单调递减，‎ ‎（1），即当时，，‎ 当时，，‎ 取，，则，，存在，，使得，‎ 在，上有一个零点，在上有两个零点，，‎ 综上可得，当时，函数没有零点；‎ 当时，函数有一个零点；‎ 当时时，函数有两个零点．‎ 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．‎ ‎（1）求，的极坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．‎ ‎【解析】解：（1）曲线的参数方程为为参数），‎ 曲线的普通方程为，‎ 曲线的极坐标方程为．‎ 16‎ 设的极坐标为，点的极坐标为，，‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 的极坐标方程为 ‎（2）由题意知，‎ ‎，‎ 当时，取得最小值为2．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]． 23．已知函数的最小值为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，设，且满足，求证：．‎ ‎【解析】解：（1），‎ 显然，在，上单调递减，在上单调递增，‎ ‎（1），‎ ‎，‎ 证明（2），‎ ‎，‎ 由于，，且，‎ ‎，当且仅当，即当，时取“”，‎ 故 16‎ 16‎