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- 2021-06-23 发布
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难点37 数形结合思想
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想,就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决.运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.
●难点磁场
1.曲线y=1+ (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时,实数r的取值范围
.
2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈[–1,+∞)时,f(x)>a恒成立,求a的取值范围.
●案例探究
[例1]设A={x|–2≤x≤a},B={y|y=2x+3,且x∈A},C={z|z=x2,且x∈A },若CB,求实数a的取值范围.
命题意图:本题借助数形结合,考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.
知识依托:解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将CB用不等式这一数学语言加以转化.
错解分析:考生在确定z=x2,x∈[–2,a]的值域是易出错,不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a<–2这一种特殊情形.
技巧与方法:解决集合问题首先看清元素究竟是什么,然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言,进而分析条件与结论特点,再将其转化为图形语言,利用数形结合的思想来解决.
解:∵y=2x+3在[–2, a]上是增函数
∴–1≤y≤2a+3,即B={y|–1≤y≤2a+3}
作出z=x2的图象,该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下:
①当–2≤a≤0时,a2≤z≤4即C={z|z2≤z≤4}
要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a<0矛盾.
②当0≤a≤2时,0≤z≤4即C={z|0≤z≤4},要使CB,由图可知:
必须且只需
解得≤a≤2
③当a>2时,0≤z≤a2,即C={z|0≤z≤a2},要使CB必须且只需
解得2<a≤3
④当a<–2时,A=此时B=C=,则CB成立.
综上所述,a的取值范围是(–∞,–2)∪[,3].
[例2]已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证:
.
命题意图:本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.
知识依托:解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.
错解分析:考生不易联想到条件式的几何意义,是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.
技巧与方法:善于发现条件的几何意义,还要根据图形的性质分析清楚结论的几
何意义,这样才能巧用数形结合方法完成解题.
证明:在平面直角坐标系中,点A(cosα,sinα)与点B(cosβ,
sinβ)是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.
从而:|AB|2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2
=2–2cos(α–β)
又∵单位圆的圆心到直线l的距离
由平面几何知识知|OA|2–(|AB|)2=d2即
∴.
●锦囊妙计
应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化:
(1)集合的运算及韦恩图
(2)函数及其图象
(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象
(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线
以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法.
以数助形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)方程sin(x–)=x的实数解的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.以上均不对
2.(★★★★★)已知f(x)=(x–a)(x–b)–2(其中a<b,且α、β是方程f(x)=0的两根(α<β,则实数a、b、α、β的大小关系为( )
A.α<a<b<β B.α<a<β<b
C.a<α<b<β D.a<α<β<b
二、填空题
3.(★★★★★)(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2,(θ、t为参数)的最大值是 .
4.(★★★★★)已知集合A={x|5–x≥},B={x|x2–ax≤x–a},当AB时,则a的取值范围是 .
三、解答题
5.(★★★★)设关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0,π)内有相异解α、β.
(1)求a的取值范围;
(2)求tan(α+β)的值.
6.(★★★★)设A={(x,y)|y=,a>0},B={(x,y)|(x–1)2+(y–3)2=a2,a>0},且A∩B≠,求a的最大值与最小值.
7.(★★★★)已知A(1,1)为椭圆=1内一点,F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点.求|PF1|+|PA|的最大值和最小值.
8.(★★★★★)把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过,那么正方形窗口的边长至少应为多少?
参 考 答 案
●难点磁场
1.解析:方程y=1+的曲线为半圆,y=r(x–2)+4为过(2,4)的直线.
答案:(]
2.解法一:由f(x)>a,在[–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a>0在[–1,+∞
)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在[–1,+∞]时位于x轴上方.如图两种情况:
不等式的成立条件是:(1)Δ=4a2–4(2–a)<0a∈(–2,1)
(2)a∈(–3,–2,综上所述a∈(–3,1).
解法二:由f(x)>ax2+2>a(2x+1)
令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.
如图满足条件的直线l位于l1与l2之间,而直线l1、l2对应的a值(即直线的斜率)分别为1,–3,
故直线l对应的a∈(–3,1).
●歼灭难点训练
一、1.解析:在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2=x的图象如图.
答案:B
2.解析:a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根,在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示:
答案:A
二、3.解析:联想到距离公式,两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)
点A的几何图形是椭圆,点B表示直线.
考虑用点到直线的距离公式求解.
答案:
4.解析:解得A={x|x≥9或x≤3},B={x|(x–a)(x–1)≤0},画数轴可得.
答案:a>3
三、5.解:①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=–的图象,知当|–|<1且–≠
时,曲线与直线有两个交点,故a∈(–2,–)∪(–,2).
②把sinα+cosα=–a,sinβ+cosβ=–a相减得tan,
故tan(α+β)=3.
6.解:∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心,a为半径的半圆;集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心,a为半径的圆.如图所示
∵A∩B≠,∴半圆O和圆O′有公共点.
显然当半圆O和圆O′外切时,a最小
a+a=|OO′|=2,∴amin=2–2
当半圆O与圆O′内切时,半圆O的半径最大,即a最大.
此时a–a=|OO′|=2,∴amax=2+2.
7.解:由可知a=3,b=,c=2,左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义,|PF1|=2a–|PF2|=6–|PF2|,
∴|PF1|+|PA|=6–|PF2|+|PA|=6+|PA|–|PF2|
如图:
由||PA|–|PF2||≤|AF2|=知
–≤|PA|–|PF2|≤.
当P在AF2延长线上的P2处时,取右“=”号;
当P在AF2的反向延长线的P1处时,取左“=”号.
即|PA|–|PF2|的最大、最小值分别为,–.
于是|PF1|+|PA|的最大值是6+,最小值是6–.
8.解:本题实际上是求正方形窗口边长最小值.
由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小,所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.
如图:
设AE=x,BE=y,
则有AE=AH=CF=CG=x,BE=BF=DG=DH=y
∴
∴.