数学理卷·2019届湖北省孝感高中等鄂东南示范高中教改联盟高二上学期期中联考（2017-11） 10页

‎2017 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 ‎8、抛物线 y 2 = 2 px （ p > 0 ）的焦点为 F ，已知点 A ， B 为抛物线上的两个动点，且满足 高二数学（理科）试卷 ‎‎ ÐAFB = 120° ，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则 AB MN ‎‎ 的最小值 考试时间：2017 年 11 月 14 日上午 8:00—10:00 试卷满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。‎ ‎为（ ）‎ A． 3 B．1 C． 2 3 D． 3‎ ‎3 3‎ ‎1、若命题 p : $x0 > 0, x0‎ ‎£ 2018, 则命题 p 的否定是（ ）‎ ‎9、如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABC ^ 平面 BCD ， D BAC 与 D BCD A． "x > 0, x > 2018‎ C． "x £ 0, x < 2018‎ ‎B． "x > 0, x ³ 2018‎ D． "x £ 0, x £ 2018‎ ‎均为等腰直角三角形，且 ÐBAC = ‎ÐBCD = ‎90o ，BC = ‎‎ ‎2．点 是线段 ‎2、已知直线方程为 cos 300o x + sin 300o y - 3 = 0 ，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． 60o B． 60o 或300o ‎AB 上的动点，若线段 CD 上存在点 Q，使得异面直线 PQ 与 AC 成 的角，‎ 则线段 PA 长的取值范围是（ ）‎ C． 30o D． 30o 或330o ‎3、榫卯（sŭn măo）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在 ‎A． (0, 2 )‎ ‎2‎ x2 y 2‎ ‎B． (0, 6 )‎ ‎3‎ ‎‎ C． (‎ ‎2 , 2 )‎ ‎2‎ ‎‎ D． (‎ ‎6 , 2 )‎ ‎3‎ 两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的 北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到 ‎10、椭圆 M : + a2 b2‎ ‎= 1(a > b > 0) 左右焦点分别为 为椭圆 上任一点且 最大值 了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图，其 ‎取值范围是[2c2 , 3c2 ] ，其中 ，则椭圆离心率 取值范围（ ）‎ 体积为（‎ ‎）‎ A．21‎ C．23.5‎ B．22.5‎ D．25‎ A．[‎ ‎2 ,1)‎ ‎B．[ 3 , 2 ]‎ ‎‎ C．[‎ ‎3 ,1)‎ ‎D．[ 1 , 1 )‎ ‎2 3 2 3 3 2‎ ‎4、“a=1”是直线 l1 : ax - y + 3 = 0与l2 : 2x -（a + 1) y + 4 = 0 互相平行的（ ）‎ ‎11、已知平面 ABCD ^ 平面 ADEF，AB ^ AD，CD ^ AD，且 AB = 1，AD = CD = 2。ADEF 是正方 形，在正方形 ADEF 内部有一点 M，使 MB 与平面 ADEF 所成的角a和 MC 与平面 ADEF A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎所成的角 b之间满足 tan b = 2 tana ‎则点 的轨迹长度为（ ）‎ ‎1 4‎ C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎A．1 B．2 C． D． p ‎2 9‎ ‎5、过定点 A(2，-2)作圆 x2 + y 2 + 2ax + 4 y + 2a2 = 0 的切线有 2 条，则 a 的取值范围为（ ）‎ ‎12、已知关于 x 的方程 x3‎ ‎+ ax 2‎ ‎+ bx + c = 0 的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一 A． a < -2‎ ‎‎ B. a > 0‎ ‎C. a > 0或a < -2‎ ‎‎ D. 0 < a < 2‎ ‎‎ 个双曲线的离心率，则 的取值范围（ ）‎ ‎2 2 2 2‎ x y ‎6、椭圆 + a2 b2‎ ‎= m(m > 0)和 x + y a2 b2‎ ‎= n(n > 0) (m ¹ n) 具有（ ）‎ ‎‎ A． (-1, 0)‎ ‎‎ B． (-1, - 1 )‎ ‎2‎ ‎‎ C． (-2, - 1 )‎ ‎2‎ ‎‎ D． (-2, +¥)‎ A．相同的长轴长 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的顶点 ‎7、棱长均相等的三棱柱ABC - A1B1C1 中，AA1‎ 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）‎ ‎1 3‎ A． B．‎ ‎10 5‎ ‎^ 平面 ABC，M，N 分别是A1B1 ，A1C1 的中点，‎ ‎7 4‎ C． D．‎ ‎10 5‎ ‎‎ ‎14 、 经 过 直 线 l1 : x - y + 1 = 0 与 l2 : 2x + y -1 = 0 的 交 点 A 且 斜 率 为 k 的 直 线 l 与 圆 ‎20、（本小题满分 12 分）在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， EF // AB ， DE = EF = 1 ，‎ C: ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1 相交于 M，N 两点，则 AM g AN = ．‎ ‎DC = BF = 2 ， ÐEAD = ‎30o ．‎ x y ‎15、设双曲线 - a2 b2‎ ‎‎ = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F，过点 F 作与 X 轴垂直的直线交两渐近线于 A，‎ uuuv uuuv uuuv ‎（Ⅰ）求证： AE ^ 平面 CDEF ；‎ ‎（Ⅱ）在线段 BD 上确定一点 G ，使得平面 EAD 与平面 FAG 所成的角为 30o ．‎ B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设 O 为坐标原点，若 OP = lOA + mOB，‎ lm= 1 (l, mÎ R) 则双曲线离心率 e 的值为 ．‎ ‎9‎ ‎16、已知正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 3 ，此时四面 体 ABCD 外接球的体积为 ．‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎‎ ‎21、（本小题满分12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点， AE ^ BD 于 E ，延长AE交BC于F，将 D ABD沿BD折起，使平面ABD ^ 平面BCD，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；‎ ‎17、（本小题满分 10 分）已知命题 p :函数 f ( x) = ‎ax2 + (a - 3) x + 1 的值域为[0, +¥) ；命题 ‎（Ⅱ）求二面角 A–DC –B 的余弦值．‎ q : "m Î [-1,1] ，不等式 a2 - 5a - 3 ³ 为假命题，求实数 a 的取值范围．‎ ‎‎ m2 + 8 恒成立，如果命题“ p Ú q ”为真命题，且“ p Ù q ”‎ ‎（Ⅲ）在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM / / 平面 ADC ？若存在，请指明点 M 的位置；若不存在， 请说明理由． A ‎18、（本小题满分 12 分）如图，C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A，B 的点，平面 PAC⊥平面 ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别 是 PC，PB 的中点，记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线 l⊥平面 PAC；‎ ‎D E B F C 图 1 图 2‎ x2 y 2‎ ‎（Ⅱ）直线 l 上是否存在点 Q，使直线 PQ 分别与平面 AEF、直线 EF 所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22、（本小题满分 12 分）已知 分别为椭圆 C : + ‎3 2‎ 上．‎ ‎= 1 的 左、右焦点，点 在椭圆 C ‎2‎ ‎19、（本小题满分 12 分） 已知 A, B 分别为椭圆 C ： x ‎‎ y 2‎ + = 1 的左、右顶点， P 为椭圆 C 上异于 ‎（Ⅰ）求 的最小值；‎ uuur uuuur ‎（Ⅱ）若且 PF1 × F1F2 = 0 ，已知直线 l : y = k ( x + 1) 与椭圆 C 交于两点 A、B，过点 P 且平行 ‎4 2‎ A, B 两点的任意一点，直线 PA, PB 的斜率分别记为 k1 , k2 ．‎ ‎（Ⅰ）求 k1 × k2 ；‎ ‎（Ⅱ）过坐标原点 O 作与直线 PA, PB 平行的两条射线分别交椭圆 C 于 点 M , N ，问： DMON 的面积是否为定值？请说明理由．‎ ‎‎ 于直线 l 的直线交椭圆 C 于另一点 Q，问：四边形 PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求 出直线 的方程；若不能，请说明理由．‎ ‎2017年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高二数学（理科）参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B A D C C A B B B C ‎12【解答】C解：令f（x）=x3+ax2+bx+c ‎∵抛物线的离心率为1，∴1是方程f（x）=x3+ax2+bx+c=0的一个实根∴a+b+c=﹣1‎ ‎∴c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）=x3+ax2+bx+c，可得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x﹣1）[x2+（a+1）x+1+a+b]设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，则g（x）=0的两根满足0＜x1＜1，x2＞1∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0‎ 作出可行域，如图所示的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，∴‎ 故答案为：C 二．填空题 ‎13． 5 14． 7 15． 16．‎ 三．解答题 ‎17解答：P：因为的值域为， 所以的值可以取一切非负数。 -----------------------1‎ 当 -----------------------2‎ 当 解得 -------4‎ 所以的范围为 -----------------------------------5‎ Q: -----------------6‎ P真q假 -----------------7‎ P假 q 真-------------------------------------------9‎ 所以 ------------------------------10‎ ‎18．（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，‎ 又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，∴BC∥面EFA，‎ 又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，∴BC∥l，‎ 又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，‎ ‎∴l⊥面PAC． -----------------------------------------------------------------4‎ ‎（Ⅱ）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），‎ E（），F（），，，-----6‎ 设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，‎ 则，取z=，得，，----8‎ ‎|cos＜＞|==，|cos＜＞|==，‎ 依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|， --------9‎ ‎∴y=±1． --------11‎ ‎∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1． -------------12‎ ‎19题解：（Ⅰ）设，则；----3‎ ‎（Ⅱ）由题知，直线，直线，设，‎ 则，--------------6‎ 由，同理可得，故有 ‎，---------------------10‎ 又，故，. ----------------------------12‎ ‎20题解：（Ⅰ）四边形是正方形，‎ ‎.‎ 在中，，即 P ‎，即． ………………… 2分 在梯形中，过点E作EP//BF，交AB于点P.‎ ‎∵EF//AB,∴EP=BF=2.，PB=EF=1，‎ ‎∴AP=AB-PB=1‎ 在中，可求，‎ ‎∴‎ ‎∴. .………………………………………… 4分 ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴平面. ……………………………… 5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，又，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面 .…………………6分 如图，过作平面的垂线，‎ 以点为坐标原点，所在直线分别 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，． ……………7分 设，，则.‎ 设平面的一个法向量则，，‎ 即令 ，得 ‎……………………………………………………………9分 易知平面的一个法向量. ………………………………………10分 由已知得，‎ 化简得，‎ ‎． ……………………………………………………………………………11分 ‎∴当点满足时，平面与平面所成角的大小为.………12分 ‎ ‎21题解（Ⅰ）因为平面平面，交线为，‎ 又在中，于，平面 ‎ 所以平面 . --------------------------------------3分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）结论平面可得.‎ 由题意可知，又.‎ 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 ‎ --------------------------4分 ‎ 不妨设，则.‎ ‎ 由图1条件计算得，，，‎ ‎ 则-------5分 ‎ .‎ ‎ 由平面可知平面DCB的法向量为. -----------------------------------6分 ‎ 设平面的法向量为，则 ‎ 即 ‎ 令，则，所以.------------------------------------8分 ‎ 平面DCB的法向量为 ‎ ‎ 所以二面角的余弦值为 ------------------------------9分 ‎（Ⅲ）设，其中.由于，‎ 所以，其中 --------------------------10分 所以 ‎ 由，即解得. ----------11分 所以在线段上存在点使，且.-------------12分 ‎22题解析（Ⅰ）由题意可知，,‎ ‎ ‎ 点是椭圆上，，即 ，且 ‎ 最小值1. ----------------------------5‎ ‎（Ⅱ） ‎ 设.‎ 由得，，‎ ， ----------------------------6‎ ，‎ ----------------------7‎ 直线的方程为. ‎ 由得，，‎ ，， - ----------9‎ 若四边形能成为平行四边形，则， -----------------10‎ ，解得. ------------11‎ 符合条件的直线的方程为，即. ----------------12‎