数学理卷·2019届安徽省滁州市民办高中高二下学期第一次联考（2018-03） 13页

滁州市民办高中2017-2018学年下学期第一次联合考试 高二理科数学 注意事项：‎ 1. 本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。‎ 2. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。‎ 3. 请将答案正确填写在答题卷上，写在其它地方无效。‎ 4. 本次考题主要范围：必修2、选修2-1等 第I卷（选择题）‎ 一、选择题 ‎1.一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.“”是“直线与平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.已知直三棱柱中， ， ， ，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知为坐标原点， ， 是双曲线： （， ）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎5.如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ， ，则线段的长为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎6.已知直线与抛物线相交于两点，点是线段的中点， 为原点，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.在平面直角坐标系中，已知为函数图象上一点，若，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.设为双曲线右支上一点， 分别是圆和上的点，设的最大值和最小值分别为，则（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎10. 如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则（ ）‎ A．5 B． C．9 D．14‎ ‎11.如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且P到直线BC与直线C1D1的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是（　　） A. B.C.D.‎ ‎12.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，则的外接圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13.正方形的边长为4，点分别是边， 的中点，沿折成一个三棱锥 （使 重合于），则三棱锥的外接球表面积为______．‎ ‎14.如图，在正三棱柱中， ， ， ， 分别是棱， 的中点， 为棱上的动点，则周长的最小值为__________．‎ ‎15.已知椭圆的离心率为, 为左顶点,点在椭圆上,其中在第一象限, 与右焦点的连线与轴垂直,且,则直线的方程为_______.‎ ‎16.已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面.给出下列四个命题:‎ ‎(1)若,则 ‎(2)若,则 ‎ ‎(3)若,则 ‎(4)若是异面直线, ,则 其中是真命题的是_______ .(填上正确命题的序号)‎ 三、解答题 ‎17. 如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形, 为棱上的动点,且.‎ ‎(I)求证： 为直角三角形；‎ ‎(II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.‎ ‎18. 如图，边长为4的正方形中，点分别是上的点，将折起，使两点重合于.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，‎ 求四棱锥的体积.‎ ‎19.如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为，线段的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形.‎ ‎（1）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（2）过做直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎21.如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为， 是的中点．‎ ‎（I）求证： 平面．‎ ‎（II）求证： 平面．‎ ‎（III）求三棱锥的体积．‎ ‎22. 已知为坐标原点，直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求证：直线恒过定点；‎ ‎（3）在（2）的条件下过向轴做垂线，垂足为，求的最小值.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.B2.A3.C4.D5.D6.D7.A8.C9.C10.A11.B12.D 二、填空题 ‎13. ‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.（1）（4）‎ 三、解答题 ‎17. ‎ ‎(I)取中点,连结，依题意可知均为正三角形，所以,‎ 又平面平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以,‎ 因为,所以，即,‎ 从而为直角三角形.‎ 说明:利用 平面证明正确,同样满分!‎ ‎(II)[向量法]由(I)可知,又平面平面,平面平面,‎ 平面，所以平面.‎ 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示,则 ‎,‎ 由可得点的坐标 所以,‎ 设平面的法向量为，则,‎ 即解得，‎ 令，得，‎ 显然平面的一个法向量为,‎ 依题意，‎ 解得或（舍去），‎ 所以，当时，二面角的余弦值为.‎ ‎18. ‎ 证明：（1）折起前，‎ 折起后，. （2分）‎ ‎∵，∴平面，（4分）‎ ‎∵平面，∴. （6分）‎ ‎（2）当时，由（1）可得平面. ‎ 此时，，. ‎ 的高为 ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ 设点P到平面的距离为，则 ‎∵，∴解得 ‎ ‎∴四棱锥的体积 ‎ ‎ ‎19. ‎ ‎(1)设所求椭圆的标准方程为，右焦点为.‎ 因是直角三角形，又,故为直角，因此,得.‎ 又得，故，所以离心率.‎ 在中，，故 由题设条件，得，从而.‎ 因此所求椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）知，由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为，代入椭圆方程得，‎ 设，则 ‎,‎ 又，所以 ‎ ‎ 由,得,即，解得，‎ 所以直线方程分别为和.‎ ‎20 （1）由题意知，‎ 又椭圆的离心率为，所以，‎ 所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）因为直线的方程为，设 ，‎ ‎①当时，设，显然，‎ 由可得，即,‎ 又，所以为线段的中点，‎ 故直线的斜率为，‎ 又，‎ 所以直线的方程为 即，显然恒过定点，‎ ‎②当时， 过点，‎ 综上可得直线过定点.‎ ‎21. ‎ ‎（I）证明：‎ ‎∵在正中， 是边中点，∴，‎ ‎∵在正三棱柱中， 平面， 平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点， ， 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（II）连接、，设点，连接，‎ ‎∵在中， 、分别是、中点，∴，‎ ‎∵平面， 平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎（III）．‎ ‎22. （1）设点的坐标为，则 所以，点到直线的距离.‎ 当且仅当时等号成立，此时点坐标为.‎ ‎（2）设点的坐标为，显然.‎ 当， 点坐标为，直线的方程为；可得，直线；‎ 当时，直线的方程为， ‎ 化简得；‎ 综上，直线的方程为 与直线的方程联立，可得点的纵坐标为 因为， 轴，所以点的坐标为.‎ 因此， 点的坐标为 当，即时，直线的斜率.‎ 所以直线的方程为，‎ 整理得 当时，上式对任意恒成立，‎ 此时，直线恒过定点，也在上，‎ 当时，直线的方程为，仍过定点，‎ 故符合题意的直线恒过定点.‎ ‎（3）所以 设的方程为 则 ， ， ‎ ‎ ‎