2019年山西省八校高三上学期第一次联考理科数学(解析版) (2) 13页

湖北省部分重点中学 2018-2019 学年度上学期新高三起点考试 理科数学试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．） 1．已知集合 2 3{ | 3 2 0}, { | log ( 2) 1}A x x x B x x     ≥ ，则 A B  ( ) A．{ | 2 1}x x   B．{ | 1 2}x x x或≤ ≥ C．{ | 1}x x  D． 1．答案：A 解析： 2{ | 3 2 0} { | ( 1)( 2) 0} { | 1 2}A x x x x x x x x x       或≥ ≥ ≤ ≥ ， 3{ | log ( 2) 1} { | 2 1}B x x x x       ，则 { | 2 1}A B x x    ． 2．已知复数 z 满足( i) (1 i) 2 iz      ，则 z z  （ ） A．1 B． 1 2 C． 2 2 D． 2 2．答案：B 解析： 2 i 2 i i(1 i) 2 i i 1 1 1 1 1 2i ,1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 22 z z                       ， 2 1 2z z z    ． 3．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ．若 4 520, 10S a  ，则 16a  （ ） A． 32 B．12 C．16 D．32 3．答案： 解析： 3．已知命题 0 3 0 0: , 3R xp x x   ，那么命题 p 为（ ） A． 3, 3R xx x   B． 0 3 0 0, 3R xx x   C． 3, 3R xx x  ≥ D． 0 3 0 0, 3R xx x  ≥ 3．答案：C 解析：特称命题的否定是全称命题，所以 p 为 3, 3R xx x  ≥ ． 4．已知函数 1( ) ( )ln 11 x x xf x e e x     ，若 ( ) 1f a  ，则 ( )f a  （ ） A．1 B． 1 C．3 D． 3 4．答案：D 解析：设 1( ) ( )ln1 x x xg x e e x     ，则 1 1 1 1( ) ( ) ( )ln ( )ln ( ) ln ln 01 1 1 1 x x x x x xx x x xg x g x e e e e e ex x x x                      ， 所以函数 ( )g x 为奇函数，且 ( ) ( ) 1f x g x  ， 由 ( ) ( ) 1 1, ( ) 2, ( ) ( ) 2, ( ) ( ) 1 2 1 3f a g a g a g a g a f a g a                   ． 5．执行程序框图，假如输入的 ,S k 的值分别为 1，2，那么输出的 S  （ ） A．1 15 B． 15 C．4 D． 17 5．答案：C 解析： 16 2 11 1k S k k     ， 1 1 1 1 ( 1 )( 1) k k k k k k k k k k             ， 所以 1 ( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ( 16 15) 16 4S             ． 6．有 4 位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都 有人去游览的概率为（ ） A． 3 4 B． 9 16 C． 8 9 D． 4 9 6．答案：D 解析：由题意知，4 位游客各从甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览的选法有 43 81 种．将 4 位游客 分为 3 组的分法有 2 4C 种，然后将这 3 组游客分到甲、乙、丙三个不同的景点，其分法有 3 3A 种，由分步乘 法计数原理知，每个景点都有人去游览的方法有 2 3 4 3 36C A  种．于是所求概率为 36 4 81 9P   ． 7．已知函数 ( ) sin( ) 0, 2f x x           ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 4  ，将函数 ( )y f x 的图象向左平移 3 16  个单位后，得到的图象关于 y 轴对称，那么函数 ( )y f x 的图象（ ） A．关于点 ,016     对称 B．关于点 ,016      对称 C．关于直线 16x  对称 D．关于直线 4x   对称 7．答案：B 解析：相邻两条对称轴之间的距离为 4  ，所以周期为 2  ，将函数 ( )y f x 的图象向左平移 3 16  个单位后， 得到的图象关于 y 轴对称，所以 ( )y f x 的一条对称轴方程为 3 16x  ，故其对称轴方程为 3 ,4 16 kx k   Z ； 因为对称轴与对称中心之间的距离为 1 4 8T  ，所以 ( )y f x 的一个对称中心为 ,016      ． 8．已知 ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，且 2 2 2sin sin sin sin sin cos cos A B C A B c a B b A     ， 若 4a b  ，则c 的取值范围为（ ） A．(0, 4) B．[2,4) C．[1,4) D．(2,4] 8．答案：B 解析：在 ABC△ 中，由三角函数的定义知 cos cosa B b A c  ，结合正弦定理和已知，得： 2 2 2a b c ab c c    ，即 2 2 2a b c ab   ，所以 2 2 2 2 2 2 23 ( )( ) 3 ( ) ( ) 44 4 a bc a b ab a b ab a b a b           ≥ ，所以 2c≥ ， 又 4c a b   ，所以c 的取值范围是[2,4) ． 9．已知 ,x y 满足约束条件 1 0 0 0 x x y x y m       ≥ ≤ ≤ ，若 1 y x  的最大值为 2，则 m 的值为（ ） A．4 B．5 C．8 D．9 9．答案：B 解析：由题意知 1, , 2x y x m x y≥ ≥ ≥ ≥ ，作出满足约束条件的平面区域如图所示，因为 1 y x  表示 定点 ( 1,0)P  与平面区域内的点 ( , )x y 连线的斜率，由图可知，当直线经过平面区域内的顶点 (1, 1)A m  时，直线的斜率取得最大值 1 22 m   ，解得 5m  ． O x y P A B C 10．已知两点 ( ,0), ( ,0) ( 0)A a B a a  ，若圆 2 2( 3) ( 1) 1x y    上存在点 P ，使得 90APB   ， 则正实数 a 的取值范围为（ ） A．(0,3] B．[1,3] C．[2,3] D．[1,2] 10．答案：B 解析：由题意知，点 P 在以 AB 为直径的圆上，即圆 2 2( 3) ( 1) 1x y    与圆 2 2 2x y a  有交点， 圆心距为 2，所以 1 2 1a a ≤ ≤ ，解得1 3a≤ ≤ ． 11．如图，已知 , ,A B C 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    上的三个点， AB 经过原点O ， AC 经过右焦 点 F ，若 BF AC 且 2 AF CF ，则该双曲线的离心率是（ ） A． 5 3 B． 17 3 C． 17 2 D． 9 4 11．答案：B 解析：设双曲线的左焦点为 F，连接 , ,AF BF CF   ，则由 , ,OA OB OF OF BF AC   知四边 形 AFBF 为矩形，设 AF m ，则 2 , 2 3 , 2AF m a AC AF AF m FC m       ，则 2 2 2F C FC a m a     ，则在 Rt AF C△ 中， 2 2 2F C AF AC   ，即 2 2 2(2 2 ) ( 2 ) (3 )m a m a m    ，解得 2 3m a ．在 Rt AF F△ 中， 2 2 2F F AF AF   ， 即 2 2 24 ( 2 )c m a m   ，即 2 2 24 ( 2 )c m a m   ，即 2 2 2 2 24 23 3c a a a            ， 整理得： 2 2 17 9 c a  ，所以双曲线的离心率为 17 3 ce a  ，故选 B． C B A FF' O 12．己知函数 ( ) x xf x e ，若关于 x 的方程 2[ ( )] ( ) 1 0f x mf x m    恰有 3 个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是（ ） A．( , 2) (2, )  B． 11 ,e      C． 11 ,1e     D．(1, )e 12．答案：C 解析：因为 2 1( ) ( ) x x x x e xe xf x e e     ，所以函数 ( )f x 在 ( ,1) 上单调递增，在(1, ) 上单调递减，则 max 1( ) (1)f x f e  ，且 x   时， ( )f x   ，当 x   时， ( ) 0f x  且 ( ) 0f x  ，由此作出函 数 ( )f x 的简图，如图所示．令 ( )t f x ， 2( ) 1g t t mt m    ，由题意与图可知函数 2( ) 1g t t mt m    有一个零点必在 10, e      内，另一个零点必为 1 e 或在( ,0] 内． 当 ( )g t 的一个零点为 1 e ，另一个零点在 10, e      内时， 2 (0) 1 0 1 1 1 0 10 2 g m mg me e e m e                      ，此不等式组无解， 当 ( )g t 的一个零点在( ,0] 内，另一个零点在 10, e      内时， 2 (0) 1 0 1 1 1 0 g m mg me e e              或 2 (0) 1 0 1 1 1 0 10 2 g m mg me e e m e                     ，解得 11 1me   ． 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． 5 2 2x x     的展开式中 4x 项的系数为_______． 13．答案：40 解析：二项式展开式的通项 2 5 10 3 1 5 5 2( ) 2 r r r r r r rT C x C xx          ，令10 3 4r  ，得 2r  ， 所以展开式中 4x 项的系数为 2 2 52 40C  ． 14．函数 ( ) 2sin cos 3 sin 24 4f x x x x              的最小正周期为___________． 14．答案： 解析： ( ) sin 2 3 sin 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 sin 2 2sin 24 2 6f x x x x x x x x                           ， 所以其最小正周期 2 2T    ． 15．如图所示，圆 O 及其内接正八边形．已知 1 2,OA e OB e      ，点 P 为正八边形边上任意一点， 1 2 , , ROP e e         ，则  的最大值为_____________________． B A O P 15．答案： 2 1 解析：以O 为原点建立如图所示平面直角坐标系，不妨设 1 2 1e e    ，如图， //CD AB ，由向量的等和 线定理可知，当点 P 位于线段CD 上时，   取得最大值，不妨取点 P 为点C ， 1 2 2, ,2 2OA e          2(0,1), (1,0)OP OB e      ，由 1 2 , , ROP e e         ， 2 02 2 22(0,1) , (1,0), , 2 12 2 12 12                                ． A D C O B 16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为__________． 2 3 44 4 2 3 正视图 侧视图 俯视图 16．答案：100 3  解析：该几何体为如图所示的三棱锥 A BCD ，因为 AC  平面 BCD ，所以是圆柱模型，底面圆的半径 4 3 3r  ，高 2 3h  ，设外接球半径为 R ，则 2 2 2 2 28 3 64 100(2 ) (2 ) (2 3) 123 3 3R r h            ， 则外接球的表面积 2 100(2 ) 3S R    ． A BC D 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共 60 分． 17．已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a  ，且满足 1n nS a  ． （1）求数列{ }na 的通项 na ； （2）求数列{ }nna 的前 n 项和 nT ． 17．解：（1） 1n nS a  ，当 1n  时， 2 1a  ，当 2n≥ 时， 1 2n nS a  ， 1 1n n n n na S S a a      ，即 1 2 ( 2)n na a n  ≥ ， 又因为 1 21, 1a a  不满足上式，所以数列{ }na 是从第二项起的等比数列，其公比为 2； 所以 2 1, 1 2 , 2n n na n    ≥ ．………………6 分 （2）当 1n  时， 1 1T  ，当 2n≥ 时， 0 1 2 3 2 1 2 3 2 1 1 2 2 3 2 4 2 ( 1) 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 ( 1) 2 2 n n n n n n T n n T n n                                 ① ② ① ② ，得 2 3 2 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2 1 2 (1 ) 2 1n n n n n nT n n n                     ， 1( 1) 2 1n nT n      ， 当 1n  时， 1 1T  也满足上式，所以 1( 1) 2 1 ( )n nT n n     N ………………12 分 18．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， DA DP ， BA BP ． （1）求证： PA BD ； （2）若 DA DP ， 60ABP   ， 2BA BP BD   ，求二面角 D PC B  的正弦值． A B CD P 18．解：（1）证明：取 AP 中点 M ，连 ,DM BM ，∵ DA DP ， BA BP ∴ PA DM ， PA BM ，∵ DM BM M ∴ PA  面 DMB ，又∵ BD  面 DMB ，∴ PA BD ………………4 分 （2）∵ DA DP ， BA BP ， DA DP ， 60ABP   ， ∴ DAP△ 是等腰直角三角形， ABP△ 是等边三角形，∵ 2AB PB BD   ，∴ 1DM  ， 3BM  ．∴ 2 2 2BD MB MD  ，∴ MD MB 以 , ,MP MB MD 所在直线分别为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系，………………6 分 则 ( 1,0,0)A  ， (0, 3,0)B ， (1,0,0)P ， (0,0,1)D 从而得 (1,0, 1)DP    ， )1, 3,0(DC AB    ， (1, 3,0)BP    ， (1,0,1)BC AD    设平面 DPC 的法向量 1 1 1 1( , , )n x y z  ，则 1 1 1 1 3 0 0 n DP n D x z xC y             ，可取 1 ( 3,1, 3)n     ， 设平面 PCB 的法向量 2 2 2 2( , , )n x y z  ，则 2 2 2 2 0 3 0 n BC x z n BP x y              ，可取 2 ( 3,1, 3)n    ∴ 1 2 1 2 1 2 1cos , 7 n nn n n n         设二面角 D PC B  为 ，∴ 2 1 2 4 3sin 1 cos , 7n n      ………………12 分 19．已知 , ,A B C 为椭圆 2 2: 12 xE y  上三个不同的点，O 为坐标原点，若O 为 ABC△ 的重心． （1）如果直线 AB OC、 的斜率都存在，求证 AB OCk k 为定值； （2）试判断 ABC△ 的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由． A B C O x y 19．解：（1）设直线 :AB y kx m  ，代入 2 2: 12 xE y  得： 2 2 2(1 2 ) 4 2( 1) 0k x kmx m     ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 1 2 1 22 2 4 2( 1),2 1 2 1 km mx x x xk k      ； 由 2 2 2 216 8(1 2 )( 1) 0m k k m      得： 2 21 2m k  线段 AB 中点 2 2 2( , )2 1 2 1 km mD k k   ,因为O 为 ABC△ 的重心， 所以 1 1( )2 2AB OC AB ODk k k k k k      为定值． ………………6 分 点差法求证相应给分． （2）设 3 3( , )C x y ，则 3 1 2 3 1 22 2 4 2( ) , ( )2 1 2 1 km mx x x y y yk k          ， 代入 2 2 12 x y  得 2 21 2 4k m  ，又 2 2 1 2 1 21 ( ) 4AB k x x x x     ， 原点O 到 AB 的距离 2 1 md k   ，于是 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 4 2( 1) 64 1 2 32 2 1 2 1 2 1 2 4 4OAB m mkm mS AB d m k m mk k k m                  △ 所以 3 63 4ABC OABS S △ △ （定值）． ………………12 分 20．为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标 x )、推理能力(指标 y )、建模能力(指标 z )的相关性， 将它们各自量化为 1、2、3 三个等级，再用综合指标 w x y z   的值评定学生的数学核心素养，若 7w≥ ， 则数学核心素养为一级；若5 6w≤ ≤ ，则数学核心素养为二级；若3 4w≤ ≤ ，则数学核心素养为三级， 为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校 10 名学生，得到如下数据： 学生编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 (x,y,z) (2,2,3) (3,2,3) (3,3,3) (1,2,2) (2,3,2) (2,3,3) (2,2,2) (2,3,3) (2,1,1) (2,2,2) (1)在这 10 名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率； (2)在这 10 名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为 X ，求随机变量 X 的分布列 及其数学期望． 20．解： 学生编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 (x,y,z) (2,2,3) (3,2,3) (3,3,3) (1,2,2) (2,3,2) (2,3,3) (2,2,2) (2,3,3) (2,1,1) (2,2,2) w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6 （1）由题可知：建模能力三级的学生是 9A ；建模能力二级的学生是 4 7 10, ,A A A ；建模能力一级的学生是 1 2 3 5 6 8, , , , ,A A A A A A ． 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 A ，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件 B ． 则 2 2 2 3 2 2 2 2 3 6 ( ) 5( | ) ( ) 18 C C CP ABP B A P A C C     ………………6 分 (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为: 1 2 3 5 6 8, , , , ,A A A A A A ，非一级的学生为余下 4 人 X 的所有可能取值为 0，1，2，3． 0 3 1 2 2 1 3 1 6 4 6 4 6 4 6 4 3 3 3 3 10 10 10 10 1 3 1 1( 0) , ( 1) , ( 2) , ( 3)30 10 2 6 C C C C C C C CP X P X P X P XC C C C            所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 ………………10 分 1 3 1 10 1 2 3 1.830 10 2 6EX          ………………12 分 21．设函数 2 1 1 1( ) ln , ( ) xf x ax a x g x x e      ，其中 , 2.71828Ra e  为自然对数的底数． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）证明：当 1x  时， ( ) 0g x  ； （3）如果 ( ) ( )f x g x 在区间(1, ) 内恒成立，求实数 a 的取值范围． 21．解：（1） 21 2 1( ) 2 ( 0)axf x ax xx x     ………………1 分 当 0a ≤ 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在(0, ) 内单调递减． ………………2 分 当 0a  时，由 ( ) 0f x  ,得 1 2 x a  ．当 10, 2a x     时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递减； 当 1 + 2 x a     ， 时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增． ………………4 分 （2） 1 1( ) x x e xg x xe    ，令 1( ) exs x x  ，则 1( ) e 1xs x   ． 当 1x  时， ( ) 0s x  ，所以 ( )s x 单调递增，又 (1) 0s  ， ( ) 0s x  ， 从而 1x  时， 1 1 1( ) 0exg x x    ． ………………7 分 （3）由（2），当 1x  时， ( ) 0g x  ． 当 0a ≤ ， 1x  时， 2( ) ( 1) ln 0f x a x x    ． 故当 ( ) ( )f x g x 在区间(1, ) 内恒成立时，必有 0a  ．………………8 分 当 10 2a  时， 1 1 2a  ．由（Ⅰ）有 1 (1) 0 2 f f a       ,而 1 0 2 g a      ， 所以此时 ( ) ( )f x g x 在区间(1, ) 内不恒成立． ………………10 分 当 1 2a≥ 时，令 ( ) ( ) ( ) ( 1)h x f x g x x  ≥ ． 当 1x  时， 3 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1( ) 2 e 0x x x x xh x ax xx x x x x x x                 ． 因此， ( )h x 在区间(1, ) 单调递增． 又因为 (1) 0h  ，所以当 1x  时， ( ) ( ) ( ) 0h x f x g x   ，即 ( ) ( )f x g x 恒成立． 综上， 1 +2a     ， ．………………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程是 2 6 x t y t     （t 是参数），以原点O 为极点， x 轴正 半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 2 cos  ． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设 ( , )M x y 为曲线C 上任意一点，求 x y 的取值范围． 22．解：（Ⅰ）由 2 6 x t y t     ，得 2 6y x  ，故直线l 的普通方程为 2 6 0x y   ， 由 2 2 cos  ，得 2 2 2 cos   ，所以 2 2 2 2x y x  ，即 2 2( 2) 2x y   ， 故曲线C 的普通方程为 2 2( 2) 2x y   ． ………………5 分 （Ⅱ）据题意设点 ( 2 2 cos , 2 sin )M   ， 则 2 2 cos 2 sin 2 2sin 4x y             ， 所以 x y 的取值范围是[ 2 2,2 2]   ． ………………10 分 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) 1f x x a x    ． (1）若 2a  ，求不等式 ( ) 2f x x  的解集； (2）如果关于 x 的不等式 ( ) 2f x  的解集不是空集，求实数 a 的取值范围． 23．[解：（Ⅰ）当 2a  时，知 2 1 ( 1) ( ) 3 ( 1 2) 2 1 ( 2) x x f x x x x          ≤ ≥ ，不等式 ( ) 2f x x  等价于 1 2 1 2 x x x       或 1 2 3 2 x x      ≤ 或 2 2 1 2 x x x      ≥ 解得： 1 3x x 或 故原不等式的解集为{ | 1 3}x x x 或 ． ………………5 分 （Ⅱ） ( ) 1 ( ) ( 1) 1f x x a x x a x a         ≥ ，当( )( 1) 0x a x  ≤ 时取等号． 所以若关于 x 的不等式 ( ) 2f x  的解集不是空集，只需 1 2a   解得 3 1a   ，即实数 a 的取值范围是 ( 3,1) ………………10 分