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  • 2021-06-23 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第九章 第6讲 抛物线

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‎ [基础题组练]‎ ‎1.(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.8‎ 解析:选D.由题意,知抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.‎ ‎2.(2020·河北衡水三模)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且||+||+||=10,则x1+x2=(  )‎ A.6 B.5‎ C.4 D.3‎ 解析:选A.根据抛物线的定义,知||,||,||分别等于点A,B,C到准线x=-1的距离,所以由||+||+||=10,可得2+x1+1+x2+1=10,即x1+x2=6.故选A.‎ ‎3.(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(  )‎ A. m B. m C. m D. m 解析:选D.建立如图所示的平面直角坐标系.‎ 设抛物线的解析式为x2=-2py,p>0,‎ 因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,可得p=,‎ 所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m.故选D.‎ ‎4.(2020·河南安阳三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AA′⊥l,垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为14,且cos∠FAA′=,则抛物线C的方程为(  )‎ A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x 解析:选C.过点F作FF′⊥AA′,垂足为F′.设|AF′|=3x,因为cos∠FAA′=,故|AF|=5x,则|FF′|=4x,由抛物线定义可知,|AF|=|AA′|=5x,则|A′F′|=2x=p,故x=.四边形AA′PF的面积S===14,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎5.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.设抛物线C:y2=8x的准线为l,易知l:x=-2,‎ 直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),‎ 如图,过A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,‎ 由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,‎ 所以点B为线段AP的中点,连接OB,‎ 则|OB|=|AF|,‎ 所以|OB|=|BF|,所以点B的横坐标为1,‎ 因为k>0,‎ 所以点B的坐标为(1,2),‎ 所以k==.故选D.‎ ‎6.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为________.‎ 解析:由题意,不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),由|AB|=4,|DE|=2,可取A,D,设O为坐标原点,由|OA|=|OD|,‎ 得+8=+5,得p=4.‎ 答案:4‎ ‎7.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则l的斜率为________.‎ 解析:设抛物线的准线为m,分别过点A,N,B作AA′⊥m,NN′⊥m,BB′⊥m,垂足分别为A′,N′,B′.‎ 因为直线l过抛物线的焦点,所以|BB′|=|BF|,|AA′|=|AF|.‎ 又N是线段AB的中点,|MN|=|AB|,所以|NN′|=(|BB′|+|AA′|)=(|BF|+|AF|)=|AB|=|MN|,所以∠MNN′=60°,则直线MN的倾斜角为120°.又MN⊥l,所以直线l的倾斜角为30°,斜率是.‎ 答案: ‎8.(一题多解)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________.‎ 解析:法一:由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k≠0),由消去y得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.由消去x得y2=4,即y2-y-4=0,则y1+y2=,y1y2=-4,由∠AMB=90°,得·=(x1+1,y1-1)·(x2+1,y2-1)=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,将x1+x2=,x1x2=1与y1+y2=,y1y2=-4代入,得k=2.‎ 法二:设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),则所以y-y=4(x1-x2),则k==,取AB的中点M′(x0,y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足分别为A′,B′,又∠AMB=90°,点M在准线x=-1上,所以|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA′|+|BB′|).又M′为AB的中点,所以MM′平行于x轴,且y0=1,所以y1+y2=2,所以k=2.‎ 答案:2‎ ‎9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,y2<0),如图所示,|AF|=x1+1=3,‎ 所以x1=2,y1=2.‎ 设AB的方程为x-1=ty,‎ 由 消去x得y2-4ty-4=0.‎ 所以y1y2=-4,所以y2=-,x2=,‎ 所以S△AOB=×1×|y1-y2|=,故选C.‎ ‎3.(2020·江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=(  )‎ A.4 B.8‎ C.16 D. 解析:选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),‎ 由抛物线定义得y1+y2+2=|AF|+|BF|,‎ 因为=|AB|-1,‎ 所以|AF|+|BF|=2|AB|,‎ 所以cos∠AFB= ‎= ‎≥=,‎ 当且仅当|AF|=|BF|时取等号.‎ 所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,‎ 联立消去y得,x2-4x-4=0,‎ 所以x1+x3=4,‎ 所以y1+y3=(x1+x3)+2=14.‎ 所以|AD|=16.‎ 故选C.‎ ‎4.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则实数a的取值范围为________.‎ 解析:如图,设C(x0,x)(x≠a),A(-,a),B(,a),‎ 则=(--x0,a-x),=(-x0,a-x).‎ 因为CA⊥CB,所以·=0,‎ 即-(a-x)+(a-x)2=0,(a-x)(-1+a-x)=0,‎ 所以x=a-1≥0,所以a≥1.‎ 答案:[1,+∞)‎ ‎5.已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),其焦点为F,点O为坐标原点,过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的两条切线,设两条切线交于点M.‎ ‎(1)求·;‎ ‎(2)设直线MF与抛物线交于C,D两点,且四边形ACBD的面积为p2,求直线AB的斜率k.‎ 解:(1)设直线AB的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2pkx-p2=0,‎ 则所以y1·y2=,‎ 所以·=x1·x2+y1·y2=-p2.‎ ‎(2)由x2=2py,知y′=,‎ 所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为,,所以直线AM的方程为y-y1=(x-x1),直线BM的方程为y-y2=(x-x2),则可得M.‎ 所以kMF=-,所以直线MF与AB相互垂直.‎ 由弦长公式知,|AB|=|x1-x2|=·=2p(k2+1),‎ 用-代替k得,|CD|=2p,‎ 四边形ACBD的面积S=·|AB|·|CD|=2p2=p2,解得k2=3或k2=,‎ 即k=±或k=±.‎ ‎6.已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.‎ ‎(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;‎ ‎(2)若△ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.‎ 解:设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,‎ 则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.①‎ ‎(1)由x2=2py得y′=,则A,B处的切线斜率的乘积为=-,‎ 因为点N在以AB为直径的圆上,所以AN⊥BN,‎ 所以-=-1,所以p=2.‎ ‎(2)易得直线AN:y-y1=(x-x1),直线BN:y-y2=(x-x2),‎ 联立,得 结合①式,解得即N(pk,-1).‎ ‎|AB|=|x2-x1|==,‎ 点N到直线AB的距离d==,‎ 则△ABN的面积S△ABN=·|AB|·d=≥2,当k=0时,取等号,‎ 因为△ABN的面积的最小值为4,‎ 所以2=4,所以p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.‎

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