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- 2021-06-23 发布
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[基础题组练]
1.(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S4=0,a5=5,则( )
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
解析:选A.法一:设等差数列{an}的公差为d,
因为所以解得所以an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=na1+d=n2-4n.故选A.
法二:设等差数列{an}的公差为d,
因为所以解得
选项A,a1=2×1-5=-3;
选项B,a1=3×1-10=-7,排除B;
选项C,S1=2-8=-6,排除C;
选项D,S1=-2=-,排除D.故选A.
2.(一题多解)(2020·沈阳质量监测)在等差数列{an}中,若Sn为前n项和,2a7=a8+5,则S11的值是( )
A.55 B.11
C.50 D.60
解析:选A.通解:设等差数列{an}的公差为d,由题意可得2(a1+6d)=a1+7d+5,得a1+5d=5,则S11=11a1+d=11(a1+5d)=11×5=55,故选A.
优解:设等差数列{an}的公差为d,由2a7=a8+5,得2(a6+d)=a6+2d+5,得a6=5,所以S11=11a6=55,故选A.
3.(一题多解)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:选C.法一:等差数列{an}中,S6==48,则a1+a6=16=a2+a5,又
a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故选C.
法二:由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组,得
即解得故选C.
4.(2020·焦作市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中的第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( )
A.升 B.升
C.升 D.升
解析:选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1,a2,…,a9,依题意有,因为a2+a3=a1+a4,a7+a9=2a8,故a2+a3+a8=+=.选A.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若am=4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N+),则a2 017的值为( )
A.2 018 B.4 028
C.5 037 D.3 019
解析:选B.由题意得
解得所以an=-4+(n-1)×2=2n-6,
所以a2 017=2×2 017-6=4 028.故选B.
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=2a3,则=________.
解析:===.
答案:
7.在等差数列{an}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=________.
解析:因为S100=(a1+a100)=45,所以a1+a100=,a1+a99=a1+a100-d=,则a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×=10.
答案:10
8.在单调递增的等差数列{an}中,若a3=1,a2a4=,则a1=________.
解析:由题知,a2+a4=2a3=2,又因为a2a4=,数列{an}递增,所以a2=,a4=.所以公差d==.所以a1=a2-d=0.
答案:0
9.已知等差数列{an}的前三项的和为-9,前三项的积为-15.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)若{an}为递增数列,求数列{|an|}的前n项和Sn.
解:(1)设公差为d,则依题意得a2=-3,则a1=-3-d,a3=-3+d,
所以(-3-d)(-3)(-3+d)=-15,得d2=4,d=±2,
所以an=-2n+1或an=2n-7.
(2)由题意得an=2n-7,所以|an|=,
①n≤3时,Sn=-(a1+a2+…+an)=n=6n-n2;
②n≥4时,Sn=-a1-a2-a3+a4+…+an=-2(a1+a2+a3)+(a1+a2+…+an)=18-6n+n2.
综上,数列{|an|}的前n项和Sn=.
10.已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.
(1)求d及Sn;
(2)求m,k(m,k∈N+)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.
解:(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,
将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.
因为d>0,所以d=2.
从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N+).
(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.
由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,
故解得
即所求m的值为5,k的值为4.
[综合题组练]
1.等差数列{an}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )
A.{1} B.
C. D.
解析:选B.==,若a1=d,则=;若a1≠0,d=0,则=1.因为a1=d≠0,所以≠0,所以该常数的可能值的集合为.
2.(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)我国南北朝时期的著作《张邱建算经》有这样一个问题:今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入,得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给,问各得金几何?则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知,两人所得金相差数额绝对值的最小值是( )
A.斤 B.斤
C.斤 D.斤
解析:选C.设第n个人得金an斤,由题意可知{an}是等差数列,设公差为d,
则有
解得
则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.故选C.
3.若数列{an}是正项数列,且++…+=n2+n,则a1++…+=________.
解析:当n=1时,=2⇒a1=4,又++…+=n2+n ①,所以当n≥2时,++…+=(n-1)2+(n-1)=n2-n ②,①-②得=2n,即an=4n2,所以==4n,所以a1++…+==2n2+2n.
答案:2n2+2n
4.若{an}是等差数列,首项a1>0,a2 016+a2 017>0,a2 016·a2 017<0,则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n=________.
解析:因为a1>0,a2 016+a2 017>0,a2 016·a2 017<0,所以d<0,a2 016>0,a2 017<0,所以S4 032==>0,S4 033==4 033a2 017<0,所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4 032.
答案:4 032
5.(2020·湖北仙桃、天门、潜江模拟)已知数列{an}满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),设bn=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等差数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
解:(1)因为数列{an}满足(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),所以将n=1代入得3a1=2a2-12.又a1=2,所以a2=9.将n=2代入得4a2=3a3-24,
所以a3=20.从而b1=1,b2=3,b3=5.
(2)数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.理由如下:
将(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2)可得=,
化简可得-=2,即bn+1-bn=2,
所以数列{bn}是以1为首项,
2为公差的等差数列.
(3)由(2)可得bn=1+2(n-1)=2n-1,
所以an=(n+1)bn=(n+1)·(2n-1)=2n2+n-1.
6.(2020·安徽蚌阜模拟)在数列{an},{bn}中,设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1,an+1=an+2,3b1+5b2+…+(2n+1)bn=2n·an+1,n∈N*.
(1)求an和Sn;
(2)当n≥k时,bn≥8Sn恒成立,求整数k的最小值.
解:(1)因为an+1=an+2,所以an+1-an=2,所以{an}是等差数列.
又a1=1,所以an=2n-1,
从而Sn==n2.
(2)因为an=2n-1,所以3b1+5b2+7b3+…+(2n+1)bn=2n·(2n-1)+1,①
当n≥2时,3b1+5b2+7b3+…+(2n-1)bn-1=2n-1·(2n-3)+1.②
①-②可得(2n+1)bn=2n-1·(2n+1)(n≥2),即bn=2n-1.
而b1=1也满足上式,故bn=2n-1.
令bn≥8Sn,则2n-1≥8n2,即2n-4≥n2.
又210-4<102,211-4>112,结合指数函数增长的性质,可知整数k的最小值是11.