2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二下学期第二次阶段性考试数学（理）试题 解析版 14页

绝密★启用前 安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二下学期第二次阶段性考试数学（理）试 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是 （ ）‎ A．假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数 B．假设a，b，c都是偶数 C．假设a，b，c至少有两个偶数 D．假设a， b，c都是奇数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c都是奇数”，故选A． ‎ 考点：反证法与放缩法.‎ ‎2．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为是实数，所以的绝对值大于0”，你认为这个推理（ ）‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 是正确的 ‎【答案】A ‎【解析】0的绝对值等于0，不大于0，大前提错误．‎ ‎3．记为虚数集,设,则下列类比所得的结论正确的是（ ）‎ A. 由,类比得 B. 由,类比得 C. 由,类比得 D. 由,类比得 ‎【答案】B ‎【解析】分析：依次判断每个结论是否正确，注意类比后变量的取值范围.‎ 详解：设，则；A错误；，C错误；，则，但不能比较大小，即是错误的，D错误，只有B正确.‎ 故选B.‎ 点睛：对于选择题中要只有一个命题正确的选项问题，可以用特殊值法进行排除，即举反例说明某些命题是错误，最后只剩下一个命题一定是正确.本题说明实数集的结论有许多在虚数集中不能成立，因此在解题时不能随便引用.‎ ‎4．复数,则共轭复数的虚部为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用复数的运算法则计算化简，再求出即得.‎ 详解：,，虚部为.‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查复数的运算与复数的概念，复数的概念问题可先利用复数的运算法则把复数化为形式，再由复数的概念进行判断求解.‎ ‎5．设,则的展开式中常数项是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：应用微积分基本定理求出，再由二项展开式通项公式求得常数是第几项，从而得常数项.‎ 详解：，‎ 展开式通项为 ，‎ 令，，‎ ‎∴常数项为，‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查微积分基本定理和二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题的关键，本题还考查了学生的计算能力，属于中等题.‎ ‎6．从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数,则能被整除的三位数有( )个 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：只有各数字和能被3整除，此数才能被3整除，因此考虑3个数字和是 ‎3的倍数的选法有0,1,2和1,2,3两种，分类计算即可.‎ 详解：由题意所求三位数的个数为，‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查数字排列问题，此问题中有一个特殊元素0，不能作为多位数的首位，因此要按有无数字0分类，当然本题要求被3整除，因此按数字和为3的倍数分类，在有0的一类中，对首位先安排数字，即特殊元素、特殊位置优先考虑.解题时一定要注意是用分类加法原理还是用分步乘法原理，注意它们的区别.‎ ‎7．设，令，，若，则数列的前项和为，当时，的最小整数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：可先计算（），寻找规律，归纳出，求得，再由裂项相消法求得和，然后解不等式可得.‎ 详解：，‎ 同理，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎ ，‎ ‎，则，∴的最小值为2017.‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查导数的运算法则和归纳推理，考查裂项相消法求和，有一定的难度.首先对的通项，可先求出数列的前几项，然后用归纳推理的方法归纳出通项公式，根据的表达式，数列的前项要用裂项相消法求和，在数列求和中，裂项相消法、错位相减法是针对特殊类型的数列的求和方法，一定要记住其类型.‎ ‎8．在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有( )种不同的选法.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：关键是既会钳工又会车工的2人的选择，这2人可分类：只选1人且当钳工，只选1人且当车工，2人都选，其中1人钳工1人车工，2人都当钳工，2人都当车工，或者2人都不选，用分类加法原理.‎ 详解：由题意选法有： 185，‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定事件完成的方法，象本题有“全能”选手的问题中，一般是按照“全能”选手进行分类：2名“全能”选手只有1人进行某一项工作；2人都选，一人一项工作或2人做同一项工作；2人都不选，这样完成分类，每一类分别进行计算再相加即得.‎ ‎9．现有， ， ， ， 五位同学全部保送到清华、北大和武大3所大学，若每所大学至少保送1人，且同学必须保送到清华，则不同的保送方案共有（ ）‎ A. 36种 B. 50种 C. 75种 D. 100种 ‎【答案】B ‎【解析】先将五人分成三组，只有2,2,1或者3,1,1，共有种分组方法.有A的那组去清华，剩下的两组去北大和武大，全排列有2种方法，故共有25×2=50种方法 故选：B ‎10．数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为 A. 55 B. 90 C. 425 D. 512‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有种；若3天做完，则有种；以此类推，若9天做完，则有种；若10天做完，则有种；故总数为.‎ 故选D.‎ ‎11．将一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同染色方法总数为（ ）‎ A．120 B．125 C．130 D．135‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：将五棱锥的顶点染色有种方法,可设五棱锥底面的项点分别为.先涂,有 种方法,再涂.两点颜色可相同也可不同,分成两类.一类同色,则有种涂色方法,可知共有种方法,另一类同色,则共有种涂色方法,可知共有 种方法,综上所述可得不同染色方法总数为种.故本题答案选A.‎ 考点：排列组合．‎ ‎12．设，（其中为自然对数的底数),若函数有个零点，则的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：问题转化为直线与函数 有四个交点，利用导数研究函数的性质，作出图象（草图），观察分析.‎ 详解：当时，， ，由知在有一个零点，在上有一个零点，－1也是它的零点，且满足；‎ 当时， ， ，由知在上有一个零点，且，‎ 都是极大值点，－1是极小值点，注意到，，，∴当时，直线与函数 有四个交点，‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查导数与复合函数，用导数研究函数的性质这个方法大家都会，此时中有一个关键点就是求复合函数的导数，对函数，其导数为，这是复合函数的求导法则.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．已知 ,若,则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：利用赋值法求得参数，再由二项式定理求得系数.‎ 详解：令得，∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为－5.‎ 点睛：在二项式定理中求展开式中的系数和通常用赋值法，例如，，，，等等，可根据表达式的形式确定所赋值.‎ ‎14．从正方体的个顶点中任取个顶点连成一条直线,在所有的直线中能构成异面直线的有__________对.(用数字作答)‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：按两点间连线分类：一类是正方体的棱，一类是正方体的面对角线，一类是正方体的体对角线.‎ 详解：，‎ 故答案为174.‎ 点睛：本题考查异面直线的概念，解题关键是正确分类，正方体的8个顶点连线中有棱、面对角线和体对角线三类，因此就按此分类，第一条直线分别为棱、面对角线和体对角线时，第二条直线也分别为棱、面对角线和体对角线，这样利用“算两次”的方法可求出结论.‎ ‎15．甲、乙、丙三位教师分别在六安一中、二中、一中东校区的三所中学里教不同的学科语文，数学,英语,已知:①甲不在一中工作,乙不在二中工作;②在一中工作的教师不教英语学科；③在二中工作的教师教语文学科；④乙不教数学学科.可以判断乙工作地方和教的学科分别是__________，__________．‎ ‎【答案】 一中东校区 英语 ‎【解析】分析：从乙的一个判断开始进行推理.‎ 详解：乙不教数学学科，则乙教语文或英语，又乙不在二中工作，而在二中的教语文，因此乙教英语，由在一中工作的教师不教英语学科知乙不在一中，那乙只能在一中东校区.‎ 故答案为一中东校区　英语 点睛：本题考查推理，掌握合情推理与演绎推理的概念与方法是解题的基础，本题属于基础题.‎ ‎16．已知函数及其导数,若存在,使得,则称是的一个“巧值点”则下列函数中有“巧值点”的是__________．‎ ‎①；②；③ ；④⑤‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】分析：求出各函数的导函数，解方程，有解的则有“巧值点”，无解的则没有“巧值点”.‎ 详解：①，得或，有“巧值点”；②，无解，无“巧值点”；③，方程有解，有“巧值点”；④，方程无解，无“巧值点”；⑤，方程有解，，有“巧值点”.‎ 故答案为①③⑤.‎ 点睛：本题是一种信息迁移题，考查学生的创新意识，解题关键是掌握新概念的实质，本题实际上是考查初等函数的求导，以及解方程（确定方程是否有解），属于中等题型.‎ 三、解答题 ‎17．（1）求证：；‎ ‎（2）求 被除的余数.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）把组合数化为阶乘表示即可证明；‎ ‎（2）利用（1）的结论把 化为，然后利用二项式系数的性质及二项式定理展开可证．‎ 详解： (1)证明: 即证 ‎(2)证明:因为(1)‎ 所以 ‎ 而又 ‎ 所以除所得余数为 点睛：组合数，它有许多性质：‎ ‎（1）；（2）；（3）；（4）；‎ ‎（5）；（6）；‎ ‎（7）；（8）．‎ ‎18．已知函数 ,数列满足,.‎ ‎(1)是否存在,使得在处取得极值,若存在,求的值,若不存在,说明理由；‎ ‎(2)求的值,请猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】(1)不存在(2) ‎ ‎【解析】分析：（1）假设是极值点，即，由此得，而此时，不可能是极值点，从而得结论不存在；‎ ‎（2）由得递推式，由依次代入可求得，并猜想，然后用数学归纳法证明即可．‎ 详解：（1） ，‎ 若在处取得极值,则,得,‎ 此时,所以在上单调递增,不存在极值.‎ 所以不存在,使得在处取得极值.‎ ‎(2)由 ‎ ‎,又,，‎ ‎，‎ ‎，‎ 猜想.‎ 用数学归纳法证明 时显然成立.‎ ‎②假设当时猜想成立,则 则当时 ‎ ‎ 当时,猜想成立 由①②可知对一切,成立 点睛：数学中存在性命题可以假设存在，然后想办法计算推理求出参数值之类的，如果能求出说明存在，如果不能求出，说明不存在．‎ ‎19．将现有名男生和名女生站成一排照相.(用数字作答)‎ ‎(1)两女生相邻,有多少种不同的站法?‎ ‎(2)两名女生不相邻,有多少种不同的站法?‎ ‎(3)女生甲不在左端,女生乙不在右端,有多少种不同的站法?‎ ‎(4)女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)有多少种不同的站法?‎ ‎【答案】（1）1440（2）3600（3）3720（4）2520‎ ‎【解析】分析：（1）把两女生捆绑作为一个元素与5名男生进行排列；‎ ‎（2）先把5名男生排列后，再把2名女生插入到男生间的空档；‎ ‎（3）先把7人全排列，然后减去女生甲在左端的排列数及女生乙在右端的排列数，同时加上女生甲在左端同时女生乙在右端的排列数；‎ ‎（4）女生甲要么在乙的左端，要么在乙的右端，因此只要用全排列除以2即得．‎ 详解： (1) ‎ ‎(2) ‎ ‎(3) ‎ ‎(4) ‎ 点睛：对女生甲不在左端,女生乙不在右端排列数，可以先采取特殊元素与特殊位置优先安排的方法：第一类女生甲站在右端，其他5人全排列，第二类女生甲排在中间5个位置中的一个，女生乙除了右端还有5个位置可安排，然后再排列5名男生，即=3720.‎ ‎20．按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)‎ ‎(1) 个不同的小球放入个不同的盒子；‎ ‎(2) 个不同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；‎ ‎(3) 个相同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；‎ ‎(4) 个不同的小球放入个不同的盒子,恰有个空盒.‎ ‎【答案】（1）4096（2）1560（3）10（4）2160‎ ‎【解析】试题分析：解 (1)46＝4 096； 3分 ‎(2)＝1 560； 6分 ‎(3)＋4＝10；或＝10； 9分 ‎(4)＝2 160. 12分 考点：排列组合的运用 点评：主要是考查了排列组合的运用，属于中档题。‎ ‎21．函数（为实数且是常数）‎ ‎(1)已知的展开式中的系数为,求的值；‎ ‎(2)已知,若在定义域中取任意值时,都有恒成立,求出的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】分析：（1）由二项展开式通项公式求得的系数，让它等于，可求得；‎ ‎（2）由得，因此可利用导数求得的最小值，再解不等式 可得的范围．‎ 详解： (1) ,‎ 由,解得: ,‎ 因为,所以 ‎(2) ,‎ 要使，只需 设，令，得 在单调递减，单调递增 ‎ ‎ 故当时.‎ 点睛：本题考查的一个知识点是二项式定理，的展开式的通项第项为，一般把此式整理成关于的单项式，再由的系数求得．‎ ‎22．已知函数 .‎ ‎(1)当时,求函数的极小值；‎ ‎(2)若函数在有个零点,求实数的取值范围；‎ ‎(3)在(2)的条件下,若函数在的三个零点分别为,求证: .‎ ‎【答案】（1）当时,函数有极小值.（2）（3）见解析 ‎【解析】分析：（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间，从而可得极小值；‎ ‎（2）首先的零点即是的零点，由二次函数的性质可得结论；‎ ‎（3）由（1）知，求得导函数，确定出的单调性与极值点，再由有三个零点，得出的范围，同时由零点存在定理得三个零点各自的范围，从而得证．‎ 详解： (1)当 时，，，‎ 则,解得,,解得或,‎ 函数在区间内单调递增,在区间和内单调递减,‎ 当时,函数有极小值.‎ ‎ (2)设 函数在上有个零点等价于函数在上有 个零点且，要使函数在上有个零点,则 ‎，解得，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎(3)由(Ⅱ)得, ， .‎ ‎ ，‎ 则，解得,解得或，‎ ‎，，‎ 则，解得，解得或.‎ 函数在区间内单调递增,在区间和内单调递减.‎ 若函数在上的三个零点分别为,不妨设 则，即，解得.‎ 又当时, ；‎ 当时， ；当时, ；‎ 当时, ，‎ 由函数零点存在性定理可得，‎ ‎.‎ 点睛：本题考查导数与极值的关系，由导数确定极值的方法：求出导函数，解方程的解，如在时，有时，则是极大值点，在时，有时，则是极小值点．‎