高三数学总复习学案69 9页

学案69　正态分布 导学目标： 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ 自主梳理 ‎1．正态分布密度曲线及性质 ‎(1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝__________________________(其中实数μ和σ (σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线．‎ ‎(2)正态分布密度曲线的特点 ‎①曲线位于x轴________，与x轴不相交；‎ ‎②曲线是单峰的，它关于直线________对称；‎ ‎③曲线在________处达到峰值____________；‎ ‎④曲线与x轴之间的面积为____；‎ ‎⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；‎ ‎⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．‎ ‎2．正态分布 ‎(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b (a0)和N(μ2，σ) (σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)‎ A．μ1<μ2，σ1<σ2‎ B．μ1<μ2，σ1>σ2‎ C．μ1>μ2，σ1<σ2‎ D．μ1>μ2，σ1>σ2‎ 探究点一　正态曲线的性质 例1　‎ 如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．‎ 变式迁移1　若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.‎ ‎(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；‎ ‎(2)求正态总体在(－4,4]的概率．‎ 探究点二　服从正态分布的概率计算 例2　设X～N(5,1)，求P(61>σ2>σ3>0‎ B．0<σ1<σ2<1<σ3‎ C．σ1>σ2>1>σ3>0‎ D．0<σ1<σ2＝1<σ3‎ ‎2．(2011·佛山月考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ4)等于(　　)‎ A．0.158 8 B．0.158 ‎7 ‎ C．0.158 6 D．0.158 5‎ ‎5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，‎ 大约应有57人的分数在下列哪个区间内？(　　)‎ A．(90,110] B．(95,125]‎ C．(100,120] D．(105,115]‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6.‎ 设三个正态分布N(μ1，σ) (σ1>0)，N(μ2，σ) (σ2>0)，N(μ3，σ) (σ3>0)的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________．‎ ‎7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．‎ ‎8．(2011·青岛模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)设X～N(10,1)．‎ ‎(1)证明：P(13)＝.]‎ ‎3．C　[‎ ‎∵P(ξ<4)＝0.8，‎ ‎∴P(ξ>4)＝0.2，‎ 由题意知图象的对称轴为直线x＝2，‎ P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，‎ ‎∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.‎ ‎∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.]‎ ‎4．D　[由φ(x)＝＝对照得σ＝2，μ＝0，∴E(ξ)＝μ＝0，σ＝＝2.]‎ ‎5．A　[由正态分布N(μ，σ2)性质知，x＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.]‎ 课堂活动区 例1　解题导引　要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．‎ 解　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20.‎ 由＝，解得σ＝.‎ 于是正态分布密度曲线的解析式是 φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．‎ 均值和方差分别是20和2.‎ 变式迁移1　解　(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，‎ 得σ＝4，‎ 故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是 φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．‎ ‎(2)P(－41.]‎ ‎2．B　[∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．‎ 又P(ξ>c＋1)＝P(ξ110)＝P(X>μ＋3σ)，‎ P(X<50)＝P(X<μ－3σ)，‎ ‎∴P(X>110)＝P(X<50)，故C正确. ]‎ ‎4．B　[由于X服从正态分布N(3,1)，‎ 故正态分布曲线的对称轴为X＝3.‎ 所以P(X>4)＝P(X<2)，‎ 故P(X>4)＝＝0.158 7.]‎ ‎5．C　[由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.‎ 因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.‎ 由于一共有60人参加考试，‎ ‎∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：‎ ‎60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)，‎ ‎60×0.997 4≈60(人)，‎ 故大约应有57人的分数在(100,120]区间内．]‎ ‎6．μ2<μ1<μ3　σ1<σ3<σ2‎ ‎7．0.8‎ 解析　∵ξ服从正态分布(1，σ2)，‎ ‎∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.‎ ‎∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8.‎ ‎8．0.16‎ 解析　∵μ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)‎ ‎＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.‎ ‎9．(1)证明　因为X～N(10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间[1,2]和[18,19]关于直线x＝10对称，所以ʃφμ，σ(x)dx＝ʃφμ，σ(x)dx，‎ 即P(160，所以P(X≥x0)＝P(X－60≥x0－60)‎ ‎＝＝0.022 8，(12分)‎ 所以P(|X－60|