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- 2021-06-23 发布
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河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期开学考试
高二(理科)数学
注意事项:
1.你现在拿到的这份试卷是满分150分,作答时间为120分钟
2.答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
3.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分。)
1.已知为正数,则“”是“ ”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 由命题“存在,使”是假命题,得的取值范围是,则实数的值是( )
A. 2 B. C. 1 D.
3. 如图,空间四边形中,点分别在上, , ,则 ( )
A. B.
C. D.
4. 设点为双曲线(, )上一点, 分别是左右焦点, 是的内心,若, , 的面积满足,则双曲线的离心率为( )
A. 2 B.
C. 4 D.
5.如图,面,B为AC的中点, ,且P到直线BD的距离为则的最大值为( )
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
6.如图,在长方体中,点分别是棱上的动点, ,直线与平面所成的角为,则的面积的最小值是( )
A. B. C. D.
7.如图,60°的二面角的棱上有两点,直线分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于.已知,则的长为( )
A. B. 7
C. D. 9
8.已知是同一球面上的四个点,其中是正三角形, 平面, ,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
9.若直线与曲线有交点,则( )
A. 有最大值,最小值 B. 有最大值,最小值
C. 有最大值,最小值 D. 有最大值,最小值
10.在四面体中, 分别是的中点,若,则( )
A. B. C. 1 D. 2
11.若直线始终平分圆的周长,则的最小值为
A. 1 B. 5 C. D.
12.如图,在长方体中, , ,点在棱上,且,则当的面积最小时,棱的长为
A. B. C. D.
第II卷(非选择题 90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分。)
13. 已知是双曲线 的左焦点,若点,以线段的长为直径的圆与双曲线左,右两支在轴上方的交点分别为,则______.
14. 如图所示,四棱锥的底面为矩形, , ,且,记二面角的平面角为,若,则的取值范围是___________
15.设抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线相交于两点,与抛物线的准线相交于点, ,则与的面积之__________.
16. 给出如下命題:
①命题 “在中,若,则” 的逆命題为真命题;
②若动点到两定点的距离之和为,则动点的轨迹为线段;
③若为假命题,则都是假命題;
④设,则“”是“”的必要不充分条件
⑤若实数成等比数列,则圆锥曲线的离心率为;
其中所有正确命题的序号是_________.
三、解答题(本大题共6个小题,70分。)
17. (本题10分)如图,在四棱锥中, 平面, ,.
(1)求证: ;
(2)求多面体的体积.
18. (本题12分)已知抛物线的焦点到准线的距离为,直线与抛物线交于两点,过这两点分别作抛物线的切线,且这两条切线相交于点.
(1)若的坐标为,求的值;
(2)设线段的中点为,点的坐标为,过的直线与线段为直径的圆相切,切点为,且直线与抛物线交于两点,求的取值范围.
19. (本题12分)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,
(Ⅰ)求证:A1C1⊥BC1;
(Ⅱ)求证:AC1∥平面CDB1.
20. (本题12分)如图,直线与圆 且与椭圆相交于两点.
(1)若直线恰好经过椭圆的左顶点,求弦长
(2)设直线的斜率分别为,判断是否为定值,并说明理由
(3)求,面积的最小值.
21. (本题12分)如图,已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于两点,过作准线的垂线,垂足为为原点.
(1)求证: 三点共线;
(2)求的大小.
22. (本题12分)如图,在四棱锥中,,,,平面底面,.和分别是和的中点,求证:
(Ⅰ)底面;
(Ⅱ)平面;
(Ⅲ)平面平面.
河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期开学考试
高二(理科)数学
参考答案解析
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
B
A
B
B
C
A
C
C
A
A
二、填空题
13 .
【解析】.由于F为双曲线的左焦点,在x轴上F点的右侧有一点A,
以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M,N,
不妨设A为椭圆的右焦点,则F(﹣5,0),A(5,0),|FN|﹣|NA|=8,
由双曲线的对称性得到|FM|=|NA|,
∴|FN|﹣|FM|=8
则=
14.
【解析】由题意易得: ,∴△CPA≌△CBA,
过P作PO⊥AC于O点,连OB,则OB⊥AC,
∴∠POB为二面角的平面角
,
即,又
∴的取值范围是
15.
【解析】
由题意可得抛物线的焦点的坐标为,准线方程为。
如图,设,过A,B分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为E,N,则
,解得。
把代入抛物线,解得。
∴直线AB经过点与点,
故直线AB的方程为,代入抛物线方程解得。
∴。
在中, ,
∴
∴。答案:
16. .①②④
【解析】①命题“在中,若,则”的逆命题为“在中,若,则”,是真命题;②若动点到两定点的距离之和为,则动点的轨迹为线段,正确,原因是只有线段上的点到定点的距离之和为;③若为假命题,则都是假命题,错误,原因是只要中有一个是假命题,就有为假命题;④设,由能得到,反之由不一定有.则“”是“”的必要不充分条件;⑤若实数
成等比数列,则,.若,圆锥曲线表示焦点在轴上的双曲线,此时,,,圆锥曲线的离心率为,命题⑤错误.因此,本题正确答案是①②④.
三、简答题
17.
(I) 面面
面
又面
(II)解:连接
平面
为直角三角形且为直角.
18. (1)由抛物线的焦点到准线的距离为,得,
则抛物线的方程为.
设切线的方程为,代入得,
由得,
当时,点的横坐标为,
则,
当时,同理可得.
综上得。
(2)由(1)知, ,
所以以线段为直径的圆为圆,
根据对称性,只要探讨斜率为正数的直线即可,
因为为直线与圆的切点,
所以, ,
所以,
所以,
所以直线的方程为,
由消去整理得,
因为直线与圆相交,所以。
设,则,
所以,
所以,
设,因为,所以,
所以,
所以.
19.
证明(法一: 故有,A. 法二: ;由直三棱柱;;平面;
平面,平面, 平面,
(连接相交于点O,连OD,易知// , 平面 , 平面,故//平面.
20.
(1)由题意直线斜率存在,设直线
因为直线与圆相切,
所以
解得
当时,由解得,所以
当时,同理
所以。
(2)(ⅰ)当直线的斜率不存在时,得;
(ⅱ)当的斜率存在时,设直线
因为直线与圆相切,
所以
整理得所以①,
由消去y整理得,
由直线与圆相交得
设
则 ,②
所以③,
将①②代入③式得
综上可得
(3)由(2)知
记直线与圆的切点为
设
所以,
则
所以当时, .
21.
(1)设直线
由消去y整理得
设
则
因为
所以,
所以,
又线段有公共点,
所以三点共线.
(2)因为
所以,
所以,
所以
22.
(Ⅰ)因为平面底面,且垂直于这两个平面的交线,
所以底面.
(Ⅱ)因为,,是的中点,
所以,且.
所以为平行四边形.
所以,.
又因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅲ)因为,并且为平行四边形,
所以,.
由(Ⅰ)知底面,
所以,
所以平面.
所以.
因为和分别是和的中点,
所以.
所以.
所以平面.
所以平面平面.