数学卷·2019届湖南省衡阳市第八中学高二下学期期中考试（2018-04） 14页

‎2018年衡阳市八中高二学考第一次模拟考试（期中）‎ 数学试题 命题人：吕建设 彭源 刘喜 审题人：钟小霖 请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；‎ 附加题20分：文科做21,22题，理科做23,24题，切记一定“A”要填涂 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1. 函数的定义域是 ‎ A． B．C． D．‎ ‎2.设集合，集合，若，则 A． B． C． D．‎ ‎3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 ‎ A．圆柱 B．三棱柱 ‎ ‎ C．球 D．四棱柱 ‎4.已知函数，设，则 ‎....‎ ‎5.设的内角的对边分别为，若，则 ‎....‎ ‎6.若实数满足，则的最小值为 ‎....‎ ‎7.如图，在正方体中，与所成角的大小为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图为一半径为的扇形其中扇形中心角为，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 ‎9.已知向量，，则下列结论正确的是 ‎....‎ ‎10.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是k.Com]‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．‎ ‎11．从56名男教师和42名女教师中，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为14的样本．那么这个样本中的男教师的人数是　　　　　　.‎ ‎12.在各项均为正数的等比数列中，,则.‎ ‎13.执行如图所示的程序框图,若输入的的值为1,则输出的的值是_____. ‎ ‎14.的值是.‎ ‎15.已知圆和点，则过点A且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．‎ 三解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分6分）已知函数 .[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎（1）求的最大值；（2）若，求的值.‎ ‎17．（本小题满分8分）‎ 某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清.‎ ‎(1) 试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；‎ ‎(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分8分）‎ 若等差数列满足，且.‎ （1） 求的通项公式；‎ （2） 设数列满足，，求数列的前项和.‎ ‎19.（本小题满分8分）‎ 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,‎ ‎（1）证明：直线平面;‎ ‎（2）若△面积为，求四棱锥的体积.‎ ‎20.（本小题满分10分）‎ 已知函数，（）是偶函数．‎ ‎（1）求的值 ‎（2）设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围．‎ 附加题 文科做：‎ ‎21.（10分）已知函数的部分图象如图．‎ ‎（）求函数的解析式及单调递增区间 ‎（）求函数在区间上的最值，并求出相应的值．‎ 22. ‎（10分）‎ 已知函数 （1） 若函数在R上单调递增，求实数的取值范围 （2） 是否存在实数，使不等式对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由 理科做：‎ ‎23. （10分）定义在上的单调递减函数:‎ 对任意都有，．‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并证明之；‎ ‎（2）若对任意，不等式（为常实数）都成立，求的取值范围； ‎ ‎24.（10分）已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．‎ ‎2018年衡阳市八中高二学考第一次模拟考试 数学试题 命题人：吕建设 彭源 刘喜 审题人：钟小霖 请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；附加题20分，文科选做21,22题，理科选做23,24题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1. 函数的定义域是 ‎ A． B．C． D．‎ ‎2.设集合，集合，若，则 A． B． C． D．‎ ‎3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 ‎ A．圆柱 B．三棱柱 ‎ ‎ C．球 D．四棱柱 ‎4.已知函数，设，则 ‎....‎ ‎5.设的内角的对边分别为，若，则 ‎....‎ ‎6.若实数满足，则的最小值为 ‎....‎ ‎7.如图，在正方体中，与所成角的大小为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图为一半径为的扇形其中扇形中心角为，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 ‎9.已知向量，，则下列结论正确的是 ‎....‎ ‎10.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ A． B． C． D．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D D B C A C D D B C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．‎ ‎11．从56名男教师和42名女教师中，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为14的样本．那么这个样本中的男教师的人数是　　8　　　　.‎ ‎12.在各项均为正数的等比数列中，,则3.‎ ‎13.执行如图所示的程序框图,若输入的的值为1,则输出的的值是__13___. ‎ ‎14..=0.‎ ‎15.已知圆和点，则过点A且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．‎ 三解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分6分）已知函数 .[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎（1）求的最大值；（2）若，求的值.‎ ‎17．（本小题满分8分）‎ 某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清.‎ ‎(1) 试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；‎ ‎(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分8分）‎ 若等差数列满足，且.‎ （1） 求的通项公式；‎ （2） 设数列满足，，求数列的前项和.‎ 解：（1）设等差数列的公差为.‎ 数列的通项公式为.‎ （2） 由（1）知，‎ ‎ 又适合上式 ‎ 数列是首项为，公差为的等差数列.‎ ‎19.（本小题满分8分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,‎ ‎（1）证明：直线平面;‎ ‎（2）若△面积为，求四棱锥的体积.‎ ‎；‎ ‎20.（本小题满分10分）‎ 已知函数，（）是偶函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围．‎ 解：（1）∵（）是偶函数，‎ ‎∴对任意，恒成立 即：恒成立，∴‎ ‎（2）由于，所以定义域为，也就是满足 ‎∵函数与的图象有且只有一个交点，‎ ‎∴方程在上只有一解 ‎ 即：方程在上只有一解 ‎ 令，则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解 当时，解得，不合题意；‎ 当时，记，其图象的对称轴 ‎∴函数在上递减，而 ‎∴方程（*）在无解 当时，记，其图象的对称轴 所以，只需，即，此恒成立 ‎∴此时的范围为 综上所述，所求的取值范围为 ‎21.（10分）已知函数的部分图象如图．‎ ‎（）求函数的解析式及单调递增区间 ‎（）求函数在区间上的最值，并求出相应的值．‎ ‎（）由图像可知，‎ 又，故．‎ 周期，又，‎ ‎∴．∴，，‎ ‎，．．‎ 单调递增区间 ‎（），，‎ ‎∴，．‎ 当时，，．‎ 当时，，．‎ 所以，．‎ 22. ‎（10分）‎ 已知函数 （1） 若函数在R上单调递增，求实数的取值范围 （1） 是否存在实数，使不等式对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由 ‎（2）‎ 理科选做：‎ ‎23. （10分）定义在上的单调递减函数:‎ 对任意都有，．‎ ‎（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明之；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，不等式（‎ 为常实数）都成立，求的取值范围； ‎ 解:（Ⅰ）为上的奇函数 证明：取得 ‎∴,取得 即：对任意都有 ‎∴∴为上奇函数 ‎（Ⅱ）∵‎ ‎∴‎ ‎∵在上单减 ‎∴在上恒成立 ‎∴‎ ‎∴在上恒成立 在上恒成立 ‎∴当时，‎ ‎∴即 ‎24.（10分）已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ 因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．‎ 令，‎ 则，‎ 令，则在区间内单调递增，‎ 又，[来源:学+科+网]‎ 所以存在唯一的，使得，‎ 且当时，，单调递增，‎