人教A版理科数学课时试题及解析（60）随机数与几何概型 5页

课时作业(六十)　[第60讲　随机数与几何概型]‎ ‎[时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．如图K60－1，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为(　　)‎ 图K60－1‎ A. B. C. D. ‎3．如图K60－2，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为(　　)‎ 图K60－2‎ A．5.3 B．‎4.3 C．4.7 D．5.7‎ ‎4．已知Ω＝{(x，y)|3x＋y≤4，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤y}，若向区域Ω内随机投入一点P，则点P落入区域A的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是(　　)‎ A．2－ B．1－ C．2－ D．1－ ‎6． 某人向平面区域|x|＋|y|≤内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，先向△ABC内随机掷点，则点落在△PBC内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎8． 某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中靶点与靶心的距离小于2的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9． 在不等式组所表示的平面区域内，点(x，y)落在x∈[1,2]区域内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．利用随机模拟方法计算y＝x2与y＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1区间的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND，然后进行平移与伸缩变换a＝a1]　　　　.‎ ‎11． 在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．‎ ‎12．若不等式组表示的平面区域为M，(x－4)2＋y2≤1表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N内的概率是________．‎ ‎13． 已知集合M＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}表示的区域为A，集合N＝{(x，y)|y≤x2,0≤x≤1,0≤y≤1}表示的区域为B，向区域A内随机抛掷一粒豆子，则豆子落在区域B内的概率为________．‎ ‎14．(10分)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.‎ ‎(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎15．(13分)设O为坐标原点，点P的坐标(x－2，x－y)．‎ ‎(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；‎ ‎(2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．‎ ‎16．(12分)设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A，B除外)，将线段AB分成了三条线段．‎ ‎(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；‎ ‎(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．‎ 课时作业(六十)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．A　[解析] 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.‎ ‎2．A　[解析] 阴影部分的面积是整个圆的面积的.‎ ‎3．B　[解析] 根据随机模拟的思想，这个面积是10×＝4.3.‎ ‎4．D　[解析] 如图，区域Ω为三角形区域OAB，区域A为三角形区域OBC，所求的概率为△OBC与△OAB的面积之比，即P＝＝.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．B　[解析] 如图，当蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2时，蚂蚁要在图中的空白区域内．△ABC为等腰三角形，易知AD＝4，△ABC的面积是12，由于三角形内角和等于π，图中的三个扇形的面积之和等于一个半径为2的圆的面积的一半，即三个扇形的面积之和等于2π，故空白区域的面积是12－2π，所求的概率为＝1－.正确选项为B.‎ ‎6．A　[解析] 区域|x|＋|y|≤是边长为2的一个正方形区域(如下图)，由图知所求概率P为.‎ ‎7．D　[解析] 根据＋＋2＝0知，点P是△ABC的BC边上中线的中点，故△PBC的面积等于△ABC面积的.‎ ‎8．B　[解析] 射中区域的面积与整个圆形靶的面积的比值是.‎ ‎9．B　[解析] 如图，题中不等式组所表示的平面区域的面积是，在这个区域中带形区域1≤x≤2的面积是1，故所求的概率是.‎ ‎10．10.72　[解析] 最后两组变换后为(－0.8,3.2)和(－0.4,1.2)，这两个点都在所求区域内，变换后的区域是{(x，y)|－2≤x≤2,0≤y≤4}，这个面积是16，落在所求面积区域内的样本点数为67，故所求区域的面积为16×0.67＝10.72.‎ ‎11．1－　[解析] 半径为1的球的体积是π，正方体的体积是8，故所求的概率是1－＝1－.‎ ‎12.　[解析] 如图所示：P＝＝.‎ ‎13.　[解析] 根据题意这是一个几何概型问题，所求的概率是抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的区域的面积与区域M的面积的比．P＝＝x3＝.‎ ‎14．[解答] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．‎ 当a>0，b>0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.‎ ‎(1)基本事件共12个：‎ ‎(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 事件A中包含9个基本事件，‎ 事件A发生的概率为P(A)＝＝.‎ ‎(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．‎ 构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．‎ 所以所求的概率为＝.‎ ‎15．[解答] (1)记抽到的卡片标号为(x，y)，所有的情况分别如下表：‎ ‎(x，y)‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,3)‎ P(x－2，‎ x－y)‎ ‎(－1,0)‎ ‎(－1，‎ ‎－1)‎ ‎(－1，‎ ‎－2)‎ ‎(0,1)‎ ‎(0,0)‎ ‎(0，－1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,0)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 其中基本事件是总数为9，随机事件A“|OP|取最大值”包含2个基本事件，故所求的概率为P(A)＝.‎ ‎(2)设事件B为“P点在第一象限”．‎ 若 则其所表示的区域面积为3×3＝9.‎ 由题意可得事件B满足 即如图所示的阴影部分，‎ 其区域面积为1×3－×1×1＝.‎ ‎∴P(B)＝＝.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段为2,2,2时能构成三角形，则构成三角形的概率P＝.‎ ‎(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6－x－y，则全部结果所构成的区域：即 这个区域是坐标平面内以点O(0,0)，A(6,0)，B(0,6)为顶点的三角形，其面积为×6×6＝18.‎ 若三条线段能够构成三角形，则还应满足任意两边之和大于第三边，即满足即 这个区域是以D(0,3)，E(3,0)，F(3,3)为定点的三角形，其面积是.‎ 故所求的概率P＝＝.‎