上海市17区县高三一模（数学文科）分类汇编：专题五 解析几何 21页

专题五 解析几何 汇编2013年3月 ‎（杨浦区2013届高三一模 文科）17．若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，‎ ‎∠=，则到轴的距离为 ………（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ． ． ． ．‎ ‎17．；‎ ‎（普陀区2013届高三一模 文科）16. 【文科】双曲线（）的焦点坐标为…………………………（ ）‎ ‎（A）. （B）.‎ ‎16.‎ B ‎（C）. （D）.‎ ‎（黄浦区2013届高三一模 文科）5．若双曲线的一条渐近线过点P(1, 2)，则b的值为_________． 5．4 ‎ ‎（静安区2013届高三一模 文科）7．（文）设圆过双曲线右支的顶点和焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . 7．（文） ‎ ‎（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ ）．‎ ‎. . . ‎ ‎（黄浦区2013届高三一模 文科）13．已知抛物线上一点(m>0)到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶 点在直线MF上的射影为点P，则点P的坐标为　　　　　．13．；　‎ ‎（闵行区2013届高三一模 文科）4．已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则的值是 . 4．； ‎ ‎（静安区2013届高三一模 文科）4．（文）设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .‎ ‎4．（文）3 ‎ ‎（闸北区2013届高三一模 文科）7．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为　　　　．7．； ‎ ‎（崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线：与抛物线的准线交于两点，，则 双曲线的实轴长等于……………………………………………………………………（　　）‎ ‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎ 17、 ‎ ‎（虹口区2013届高三一模）14、设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值等于 ． 14、；‎ ‎（松江区2013届高三一模 文科）7．抛物线的焦点为椭圆 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ▲ ．7． ‎ ‎（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，‎ 与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为____________．文 ‎ ‎ （闸北区2013届高三一模 文科）4．设双曲线的右顶点为，右焦点为．过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点，则的面积为　　　　．4．； ‎ ‎（青浦区2013届高三一模）3．抛物线的焦点坐标是____ ．‎ ‎（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________．‎ ‎ 文 ‎（普陀区2013届高三一模 文科）12.【文科】若、是椭圆的左、右两个焦点，是椭圆上的动点，则的最小值为 . 12.1 ‎ ‎（金山区2013届高三一模）11．双曲线C：x2 – y2 = a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为__________．11． ‎ ‎（杨浦区2013届高三一模 文科）3．抛物线的焦点到准线的距离为 . 3．2；‎ ‎（虹口区2013届高三一模）4、双曲线的两条渐近线的夹角大小等于 ． 4、； ‎ ‎（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆．‎ ‎（1）直线：与圆相交于、两点，求；‎ ‎（2）如图，设、是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线、与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． ‎ ‎21、（14分）解：（1）圆心到直线的距离．‎ 圆的半径，．………………4分 ‎（2），，则，，，．………………8分 ‎：，得．‎ ‎：，得．…………12分 ‎………………14分[来源:学科网]‎ ‎（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）‎ 设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为的直角三角形．过Ｂ1作直线l交椭圆于P、Q两点．‎ ‎(1) 求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2) 若，求直线l的方程；‎ ‎(3) 设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈，求△B2PQ的面积的取值范围．‎ ‎22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为,右焦点为. ‎ 因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90º，得c=2b…………1分 在Rt△AB1B2中，，从而.………………3分 因此所求椭圆的标准方程为： …………………………………………4分 ‎(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为：,代入椭圆方程得,…………………………6分 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则y1、y2是上面方程的两根，因此， ‎ ‎，又，所以 ‎ ‎………………………………8分 由，得=0，即，解得； ‎ 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分 ‎ ‎(3) 当斜率不存在时，直线，此时，………………11分 当斜率存在时，设直线，则圆心到直线的距离，‎ 因此t=，得………………………………………13分 联立方程组：得，由韦达定理知，‎ ‎，所以，‎ 因此. ‎ 设，所以，所以…15分 综上所述：△B2PQ的面积……………………………………………16分 ‎ ‎（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．‎ 设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．‎ ‎(1)若，求线段中点M的轨迹方程；‎ ‎ (2) 若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积；‎ ‎ (3) 若M是抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列．‎ 解：(1) 设，，焦点，‎ 则由题意，即……………………………………2分 所求的轨迹方程为，即…………………………4分 ‎(2) ，，直线，……………………5分 由得，，‎ ‎……………………………………………7分 ‎， ……………………………………………8分 ‎ ……………………………………………9分 ‎(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．‎ 点的坐标为．‎ 设直线AB：，代入抛物线得，……………………11分 所以，……………………………………………12分 又，，‎ 因而，‎ 因而……………14分 而，故．……………………………………………16分 ‎（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）‎ ‎　　如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于 两点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．‎ 试探究：① 以为直径的圆与轴的位置关系？‎ ‎ ② 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？‎ 若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．‎ y x A B O F1‎ F2‎ ‎23、解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以 ‎ ‎，椭圆E的方程为 ‎ ‎（2）①由，得方程 由直线与椭圆相切得 ‎ 求得，，中点到轴距离 ‎ ‎。‎ 所以圆与轴相交。 ‎ ‎（2）②假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为， 。‎ 由得 所以，即 所以定点为。 ‎ ‎（青浦区2013届高三一模）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分，第3小题满分2分.‎ 设直线交椭圆于两点，交直线于点．‎ ‎（1）若为的中点，求证：；‎ ‎（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；‎ ‎（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．‎ 解：（1）解法一：设 ‎………………………2分 ‎ ，………………4分 又………………………7分 解法二（点差法）：设 ‎，‎ 两式相减得 即……………………………………………………3分 ‎ ………………………………………………………………………7分 ‎（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，则为的中点．………………………9分 证法一：由方程组 ‎……………………………………………………………………………………………10分 因为直线交椭圆于两点，‎ 所以，即，设、、‎ 则 ，……………………12分 又因为，所以 ‎，故E为CD的中点．……………………………14分 证法二：设 则，‎ 两式相减得 即………………………………………………………9分 又，即 ……………………………………………………12分 得，即为的中点．……………………………14分 ‎（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点．则为中点的充要条件是 ‎．…………………16分 ‎（黄浦区2013届高三一模 文科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分6分．‎ 给定椭圆：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的 ‎“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C和其“准圆”的方程； ‎ ‎（2）过椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，求的方程；‎ ‎（3）若点是椭圆的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围．‎ ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ 解：（1）由题意知，且，可得，‎ 故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为． ………………4分 ‎（2）由题意可得点坐标为，设直线过且与椭圆C只有一个交点，‎ 则直线的方程可设为，将其代入椭圆方程可得 ………………6分 ‎，即，‎ 由，解得， ………………8分 所以直线的方程为，的方程为，‎ 或直线的方程为，的方程为．　　　　　　 ………………10分 ‎ ‎（3）由题意，可设，则有，‎ 又A点坐标为，故， ………………12分 故 ‎, …………………………14分 又，故， ‎ 所以的取值范围是． …………………………16分 ‎（普陀区2013届高三一模 文科）20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ ‎（第20题图）‎ 已知动点到点和直线的距离相等.‎ （1） 求动点的轨迹方程；‎ （2） 记点，若，求△的面积.‎ ‎20.【解】‎ ‎（1）由题意可知，动点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为 设方程为，其中，即……2分 所以动点的轨迹方程为……2分 ‎（2）过作，垂足为,根据抛物线定义，可得……2分 ‎ 由于，所以是等腰直角三角形 ‎………2分 ‎ 其中…………2分 所以…………2分 ‎（嘉定区2013届高三一模 文科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 如图，已知椭圆的左、右顶点分别为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．‎ ‎（1）设动点满足，求点的轨迹；‎ x O M B N y A T F ‎·‎ ‎（2）若，，求点的坐标．‎ ‎21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）‎ ‎（1）由已知，，，…………（1分）设，……（2分）‎ 由，得，…（5分）‎ 化简得，．所以动点的轨迹是直线．……（6分）‎ ‎（2）将和代入得， ，……（1分）‎ 解得，……（2分）‎ 因为，，所以，．…………（3分）‎ 所以，．…………（4分）‎ 又因为，，‎ 所以直线的方程为，直线的方程为．……（5分）‎ 由 ，…………（6分）‎ 解得 ．…………（7分）‎ 所以点的坐标为．……（8分）‎ ‎（静安区2013届高三一模 文科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．‎ 已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、、都是正数，过点和的直线与原点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）（文）过点作直线交椭圆于另一点，求长度的最大值；‎ ‎（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点．证明：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点．‎ ‎22．解：（1）在椭圆中，由已知得 1分 过点和的直线方程为，即，该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得： 3分 解得：；所以椭圆方程为 4分 ‎（2）（文）设，则，，‎ 其中 6分 当时，取得最大值，所以长度的最大值为 9分 ‎（3）将代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，所以，解得 11分 设、，则，，因为以为直径的圆过点，所以，即， 13分 而=，所以 ‎，解得 14分 如果对任意的都成立，则存在，使得以线段为直径的圆过点．‎ ‎，即．所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点． 16分 ‎（闵行区2013届高三一模 文科）（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．‎ x y F Q A B l O 已知椭圆的方程为，右焦点为，直线的倾斜角为，直线与圆相切于点，且在轴的右侧，设直线交椭圆于两个不同点.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求的面积.‎ 解：‎ ‎（文）（1）设直线的方程为，‎ 则有，得 ……………………………………3分 又切点在轴的右侧，所以，……………………………2分 所以直线的方程为 …………………………………2分 ‎（2）设 由得 …………………………2分 ‎ ……………2分 又，所以到直线的距离 ……2分 所以的面积为 ……………1分 对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.‎ ‎（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）若双曲线的方程为，过点且与的伴随曲线相切的直线交曲线于、两点，求的面积（为坐标原点）‎ ‎（3）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程.‎ ‎22．解：（1）∵， ………………………1分 由，得，即 可得 ………………………3分 ‎∴的渐近线方程为 ………………………4分 ‎（2）双曲线的伴随曲线的方程为，设直线的方程为，由与圆相切知 即 ‎ 解得 ……………………………6分 当时，设、的坐标分别为、‎ 由 得，即，‎ ‎∵，= ∴‎ ‎∴ ………………………8分 ‎∴‎ 由对称性知，当时，也有 …………………………10分 ‎（3）设，，又、，‎ ‎∴直线的方程为…………①‎ 直线的方程为…………② …………………………12分 由①②得 ……………………………………14分 ‎∵ 在双曲线上 ‎∴ ∴ ……………………………………16分 ‎（杨浦区2013届高三一模 文科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．‎ 已知椭圆的两个焦点分别是、，且焦距是椭圆上一点到两焦点距离的等差中项. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点 ‎，求的取值范围. ‎ ‎21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．‎ ‎（1）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . ………1分 由题意得 ， ‎ ‎. ………4分 故椭圆的方程为 . ………6分 ‎（2）解：当轴时，显然. ………7分 当与轴不垂直时，可设直线的方程为.‎ 由 消去整理得 . ‎ ‎ ………9分 设，线段的中点为，‎ 则 . ………10分 所以 ，.‎ 线段的垂直平分线方程为.‎ 在上述方程中令，得. ………12分 当时，；当时，.‎ 所以，或. ………13分 综上，的取值范围是. ………14分 ‎（闸北区2013届高三一模 文科）17．‎ ‎（文）（本题满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分）‎ 设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点．‎ ‎（1）求数量积的取值范围；‎ ‎（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．‎ ‎17．（文）解：（1）由题意，可求得，． （1分）‎ 设，则有， （3分）‎ ‎ （2分）‎ 所以，． （1分）‎ ‎（2）设直线的方程为， （1分）‎ 代入，整理得，（*） （2分）‎ 因为直线过椭圆的左焦点，所以方程*有两个不相等的实根．‎ 设，，中点为，则 ‎，，． （2分）‎ 线段的垂直平分线的方程为． （1分）‎ 令，则．（2分）‎ 因为，所以．即点横坐标的取值范围为． （1分）‎